2023-2024学年湖南省长沙市航空中职学校高二上学期期中数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市航空中职学校高二上学期期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，判断题，填空题，计算题，应用题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列叙述正确的是（ ）
A．数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1表示同一数列
B．1，2，3，4，5，…，100表示的是无穷数列
C．小于12的正整数构成的数列是有穷数列
D．小于12的正整数构成的数列是无穷数列
2．（2分）下列不是等比数列的是（ ）
A．0，0，0，0，…B．1，1，1，1…C．2，2，2，2…D．3，3，3，3…
3．（2分）数列1，3，5，7，9…的一个通项公式是（ ）
A．an＝2n+1B．an＝2n﹣1C．an＝﹣2n﹣1D．an＝n+2
4．（2分）等比数列，﹣1，…的第5项是（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）数列的通项公式为an＝2n+5，则这个数列是（ ）
A．公差为2的等差数列B．公差为5的等差数列
C．首项为2的等差数列D．首项为5的等差数列
6．（2分）设数列，，2，，…，则2​是这个数列的（ ）
A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项
7．（2分）数列{an}中，有an＝4an﹣1，n≥2，数列各项均不为零，则数列为（ ）
A．等比数列
B．即是等差数列又是等比数列
C．等差数列
D．即不是等差数列又不是等比数列
8．（2分）4，G，9是等比数列，则G＝（ ）
A．6B．18C．±6D．±18
9．（2分）已知在等差数列{an}中，a1＝3，a17＝35，则d＝（ ）
A．0B．﹣2C．2D．4
10．（2分）等比数列的首项是﹣5，公比是﹣2，则它的第6项是（ ）
A．﹣160B．160C．90D．10
二、判断题（每题2分，共12分）
11．（2分）常数列既是等差数列也是等比数列． （判断对错）
12．（2分）等差数列6，4，2…的公差为﹣2． （判断对错）
13．（2分）数列﹣2，﹣8，﹣32，﹣124是等比数列． （判断对错）
14．（2分）等差数列的公差和等比数列的公比都可以为零． （判断对错）
15．（2分）在等差数列{an}中，若a3+a8＝30，则a5+a6＝30． （判断对错）
16．（2分）任意两个数均有等比中项存在． （判断对错）
三、填空题（每空2分，共16分）
17．（2分）16与﹣2的等差中项A＝ ．
18．（2分）等比数列5，﹣10，20…的公比为 ．
19．（2分）等差数列{an}中，a4＝7，d＝2，则S10＝ ．
20．（2分）已知数列{an}的通项公式是，则a3＝ ．
21．（2分）在数列{an}中，，则a1＝ ．
22．（2分）已知数列{an}满足an﹣1﹣an＝9，则该数列的公差d＝ ．
23．（2分）等比数列3，﹣6，12，﹣24……的通项公式为 ．
24．（2分）在等比数列{an}中，a5＝6，a7＝24，则q＝ ．
四、计算题（每题5分，共20分）
25．（20分）（1）2﹣（1﹣x）＝﹣2；
（2）2x2﹣3x﹣5＝0；
（3）；
（4）。
五、应用题（前4题每题6分，第5题8分，共32分）
26．（6分）写出等差数列10，8，6，…的通项公式，并求出这个数列的第20项．
27．（6分）在等差数列{an}中，a4＝﹣15，公差d＝3，求a1和S10．
28．（6分）在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝6，求通项公式和S5．
29．（6分）等差数列{an}中，a5＝﹣3，a9＝﹣15，判断﹣48是否为数列中的项，如果是，请指出是第几项？
30．（8分）在等比数列{an}中，a5＝162，公比q＝3，前n项和Sn＝242，求首项a1，和项数n。
2022-2023学年湖南省长沙市航空中职学校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）下列叙述正确的是（ ）
A．数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1表示同一数列
B．1，2，3，4，5，…，100表示的是无穷数列
C．小于12的正整数构成的数列是有穷数列
D．小于12的正整数构成的数列是无穷数列
【分析】根据数列的定义以及数列的分类逐项分析判断即可。
【解答】解：A、根据数列的定义，可知数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1不是同一数列，故A表述错误；
B、数列1，2，3，4，5，…，100的项数有限，数列为有穷数列，故B表述错误；
C、小于12的正整数构成的数列的项数有限，数列为有穷数列，故C表述正确；
D、小于12的正整数构成的数列的项数有限，数列为有穷数列，故D表述错误；
故选：C。
2．（2分）下列不是等比数列的是（ ）
A．0，0，0，0，…B．1，1，1，1…C．2，2，2，2…D．3，3，3，3…
【分析】由等比数列的定义结合选项即可得解.
【解答】解：等比数列中不能出现0，则选项A错误，
选项BCD均为公比为1的等比数列，
故选：A。
3．（2分）数列1，3，5，7，9…的一个通项公式是（ ）
A．an＝2n+1B．an＝2n﹣1C．an＝﹣2n﹣1D．an＝n+2
【分析】根据数列的规律写出数列的通项公式即可。
【解答】解：数列1，3，5，7，9，…，
可写为2×1﹣1，2×2﹣1，2×3﹣1，2×4﹣1，2×5﹣1，…，
由此可推理出数列的通项公式an＝2n﹣1，
故选：B。
4．（2分）等比数列，﹣1，…的第5项是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，直接写出第5项即可.
【解答】解：易知，等比数列，﹣1，，…的第5项是.
故选：A。
5．（2分）数列的通项公式为an＝2n+5，则这个数列是（ ）
A．公差为2的等差数列B．公差为5的等差数列
C．首项为2的等差数列D．首项为5的等差数列
【分析】先利用an+1﹣an求解数列的公差，再利用an＝a1（n＝1时）求解首项即可。
【解答】解：∵数列的通项公式为an＝2n+5，
∴an+1﹣an＝2（n+1）+5﹣（2n+5）＝2，
∴A选项正确，B选项错误，
∴a1＝2+5＝7，
∴C选项错误，D选项错误，
故选：A。
6．（2分）设数列，，2，，…，则2​是这个数列的（ ）
A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项
【分析】根据数列，，2，，…的通项公式an＝即可求解．
【解答】解：∵数列，，2，，…的通项公式为an＝，
∴＝2​＝，
∴n＝7．
故选：B．
7．（2分）数列{an}中，有an＝4an﹣1，n≥2，数列各项均不为零，则数列为（ ）
A．等比数列
B．即是等差数列又是等比数列
C．等差数列
D．即不是等差数列又不是等比数列
【分析】根据an＝4an﹣1，n≥2即可求解．
【解答】解：∵an＝4an﹣1，n≥2，
∴＝4，
∴数列{an}为等比数列．
故选：A．
8．（2分）4，G，9是等比数列，则G＝（ ）
A．6B．18C．±6D．±18
【分析】由等比数列的性质可知.
【解答】解：因为4，G，9是等比数列，
则.
故选：C。
9．（2分）已知在等差数列{an}中，a1＝3，a17＝35，则d＝（ ）
A．0B．﹣2C．2D．4
【分析】直接根据a1＝3，a17＝35（a17＝a1+16d）的关系求解公差d即可。
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，
∴a17＝a1+16d，
∵a1＝3，a17＝35，
∴d＝2，
故选：C。
10．（2分）等比数列的首项是﹣5，公比是﹣2，则它的第6项是（ ）
A．﹣160B．160C．90D．10
【分析】直接根据等比数列的通项公式求解即可.
【解答】解：依题意，所求第6项为﹣5×（﹣2）5＝160.
故选：B。
二、判断题（每题2分，共12分）
11．（2分）常数列既是等差数列也是等比数列． × （判断对错）
【分析】根据等差数列和等比数列的定义结合数列中的特殊数列判断即可。
【解答】解：零数列是公差为0的等差数列，但不是等比数列，非零常数列既是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列，故题干表述错误。
故答案为：×。
12．（2分）等差数列6，4，2…的公差为﹣2． √ （判断对错）
【分析】根据等差数列6，4，2…即可求解．
【解答】解：等差数列6，4，2…的公差为4﹣6＝﹣2.
故答案为：√．
13．（2分）数列﹣2，﹣8，﹣32，﹣124是等比数列． × （判断对错）
【分析】根据等比数列的定义即可判断．
【解答】解：∵＝4，＝4，＝3.875，
∴数列﹣2，﹣8，﹣32，﹣124不是等比数列．
故答案为：×．
14．（2分）等差数列的公差和等比数列的公比都可以为零． × （判断对错）
【分析】根据等比数列的公比不能为零即可判断．
【解答】解：等差数列的公差可以为零，等比数列的公比不能为零．
故答案为：×．
15．（2分）在等差数列{an}中，若a3+a8＝30，则a5+a6＝30． √ （判断对错）
【分析】根据a5+a6＝a3+a8＝30即可判断．
【解答】解：∵在等差数列{an}中，a3+a8＝30，
∴a5+a6＝a3+a8＝30．
故答案为：√．
16．（2分）任意两个数均有等比中项存在． × （判断对错）
【分析】取特殊值即可判断．
【解答】解：当两个数分别为﹣1和2时，此时不存在等比中项．
故答案为：×．
三、填空题（每空2分，共16分）
17．（2分）16与﹣2的等差中项A＝ 7 ．
【分析】根据等差中项的定义即可求解．
【解答】解：16与﹣2的等差中项A＝＝7．
故答案为：7．
18．（2分）等比数列5，﹣10，20…的公比为 ﹣2 ．
【分析】根据等比数列5，﹣10，20…即可求解．
【解答】解：等比数列5，﹣10，20…的公比为＝﹣2．
故答案为：﹣2．
19．（2分）等差数列{an}中，a4＝7，d＝2，则S10＝ 100 ．
【分析】根据a4＝7，d＝2可求出a1，再根据等差数列的前n项和公式即可求解．
【解答】解：∵等差数列{an}中，a4＝7，d＝2，
∴a4＝a1+3d＝a1+6＝7，
∴a1＝1，
∴S10＝10×1+＝100．
故答案为：100．
20．（2分）已知数列{an}的通项公式是，则a3＝ ﹣5 ．
【分析】根据数列{an}的通项公式，即可求出a3的值。
【解答】解：已知数列{an}的通项公式是，则a3＝（﹣2）3+3＝﹣5，
故答案为：﹣5。
21．（2分）在数列{an}中，，则a1＝ ﹣1 ．
【分析】将n＝1代入即可求解．
【解答】解：∵在数列{an}中，，
∴a1＝S1＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
22．（2分）已知数列{an}满足an﹣1﹣an＝9，则该数列的公差d＝ 9 ．
【分析】根据an﹣1﹣an＝9即可求解．
【解答】解：∵数列{an}满足an﹣1﹣an＝9，
∴该数列是等差数列，且公差d＝9．
故答案为：9．
23．（2分）等比数列3，﹣6，12，﹣24……的通项公式为 an＝3×（﹣2）n﹣1 ．
【分析】根据等比数列3，﹣6，12，﹣24……可知等比数列的首项和公比，再根据等比数列的通项公式即可求解．
【解答】解：∵等比数列3，﹣6，12，﹣24……的首项为3，公比为﹣2，
∴等比数列3，﹣6，12，﹣24……的通项公式为an＝3×（﹣2）n﹣1．
故答案为：an＝3×（﹣2）n﹣1．
24．（2分）在等比数列{an}中，a5＝6，a7＝24，则q＝ ±2 ．
【分析】根据a7＝a5q2即可求解．
【解答】解：∵在等比数列{an}中，a5＝6，a7＝24，
∴a7＝a5q2＝6q2＝24，
∴q2＝4，
∴q＝±2．
故答案为：±2．
四、计算题（每题5分，共20分）
25．（20分）（1）2﹣（1﹣x）＝﹣2；
（2）2x2﹣3x﹣5＝0；
（3）；
（4）。
【分析】（1）去掉括号，再求解即可；
（2）化为（x+1）（2x﹣5）＝0求解即可；
（3）可得y＝20﹣x，再代入2x﹣y＝25即可得解；
（4）可得y＝2x﹣5，再代入7x﹣3y＝20即可得解.
【解答】解：（1）依题意，2﹣1+x＝﹣2，解得x＝﹣3；
（2）由2x2﹣3x﹣5＝0，得（x+1）（2x﹣5）＝0，
解得x＝﹣1或；
（3）由x+y＝20，可得y＝20﹣x，
则2x﹣（20﹣x）＝25，解得x＝15，则y＝5；
（4）由2x﹣y＝5，可得y＝2x﹣5，
则7x﹣3（2x﹣5）＝20，解得x＝5，则y＝5.
五、应用题（前4题每题6分，第5题8分，共32分）
26．（6分）写出等差数列10，8，6，…的通项公式，并求出这个数列的第20项．
【分析】易知该等差数列的首项及公差，由此容易得解.
【解答】解：依题意，该等差数列{an}的首项为10，公差为﹣2，则an＝﹣2n+12，
∴a20＝﹣40+12＝﹣28，即这个数列的第20项为﹣28.
27．（6分）在等差数列{an}中，a4＝﹣15，公差d＝3，求a1和S10．
【分析】根据等差数列的通项公式以及前n项和公式即可求解．
【解答】解：∵在等差数列{an}中，a4＝﹣15，公差d＝3，
∴a1＝a4﹣3d＝﹣15﹣9＝﹣24，
∴S10＝10×（﹣24）+＝﹣105．
28．（6分）在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝6，求通项公式和S5．
【分析】根据a1＝2，a2＝6可求出公比q，再根据等比数列的通项公式以及前n项和公式即可求解．
【解答】解：∵在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝6，设公比为q，
∴q＝＝3，
∴an＝2×3n﹣1，S5＝＝242．
29．（6分）等差数列{an}中，a5＝﹣3，a9＝﹣15，判断﹣48是否为数列中的项，如果是，请指出是第几项？
【分析】根据a5＝﹣3，a9＝﹣15可求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可求解．
【解答】解：∵a5＝﹣3，a9＝﹣15，设公差为d，
∴a9＝a5+4d＝﹣3+4d＝﹣15，
∴d＝﹣3，
∴a5＝a1+4d＝a1﹣12＝﹣3，
∴a1＝9，
∴an＝9﹣3（n﹣1）＝﹣3n+12，
∵﹣3n+12＝﹣48，
∴n＝20，
∴﹣48是数列中的第20项．
30．（8分）在等比数列{an}中，a5＝162，公比q＝3，前n项和Sn＝242，求首项a1，和项数n。
【分析】根据a5＝162，公比q＝3和前n项和Sn＝242即可求解．
【解答】解：∵在等比数列{an}中，a5＝162，公比q＝3，
∴＝162，
∴a1＝2，
∵前n项和Sn＝242，
∴＝3n﹣1＝242，
∴n＝5．