2023-2024学年江西省南昌市第二中学高二上学期第二次月考数学试题

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1. 将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（ ）
A. B. 4C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线l上任意一点，再根据题意可得也在直线上，进而根据两点间的斜率公式与直线的斜率相等列式求解即可.
【详解】设直线l上任意一点，将直线l沿x轴正方向平移2个单位，则P点移动后为，再沿y轴负方向平移3个单位，则点移动后为．
∵都在直线l上，∴直线l的斜率．
故选：A．
2. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行六面体的特征和空间向量的线性运算依次对选项的式子变形，即可判断.
【详解】A：
，故A正确；
B：
，故B错误；
C：
，故C错误；
D：
，故D错误；
故选：A
3. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含
【答案】C
【解析】
【分析】求得两个圆的圆心和半径，求得圆心距，由此确定正确选项.
【详解】圆的圆心为，半径为，
可化为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距,
，
所以两个圆的位置关系是相交.
故选：C
4. 已知空间中三点，，，则（ ）
A. 与是共线向量B. 与向量方向相同的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是D. 平面的一个法向量是
【答案】D
【解析】
【分析】根据共线向量定理，单位向量，法向量，向量夹角定义，依次计算，即可得到答案；
【详解】对A，，又不存在实数，使得，与不是共线向量，故A错误；
对B，，与向量方向相同的单位向量是，故B错误；
对C，，，故C错误；
对D，设为面的一个法向量，，，取，平面的一个法向量是，故D正确；
故选：D
5. 已知椭圆的左右焦点分别，，焦距为4，若以原点为圆心，为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，则此椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知，又以原点为圆心，为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，从而有，于是可得，从而得椭圆方程。
【详解】∵以原点为圆心，为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，∴这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，∴，又即，∴，
∴椭圆方程为。
故选：A。
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，解题关键时确定的值，本题中注意椭圆的对称轴，从而确定关系。
6. 已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】设点、，由中点坐标公式可得，所以，
因为，两式作差得，即，
即，所以，，
因此，直线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
7. 已知，分别为双曲线C：左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理和双曲线的定义可得是正三角形，从而．在中，由余弦定理即可得到答案.
【详解】由，结合正弦定理得，
因为，所以，．
又，即，
则，所以．
设，则，
又，则，解得，
所以，，
所以是正三角形，从而．
在中，由，
得，得，所以．
故选：C．
8. 劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地——心远农场（如图1）．现某社团为农场节水计划设计了如下喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点坐标，代入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得结论．
【详解】以B为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，
记BM⊥OC且垂足为M，AD⊥y轴且垂足为D，
设抛物线方程，
由题意可知：，，，所以，
所以，代入抛物线方程可得，所以，
所以抛物线方程为，
又因为在抛物线上，所以，解得，所以，
所以，所以OA的高度为，
故选：B．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知直线，其中，则（ ）
A. 直线l过定点
B. 当时，直线l与直线垂直
C. 若直线l与直线平行，则
D. 当时，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数
【答案】ABD
【解析】
【分析】A. 令判断；B.由两直线的位置关系判断；C. 由两直线的位置关系判断；D.由直线的方程判断.
【详解】对于A，当时，，与a的取值无关，故直线l过定点，所以A正确；
对于B，当时，直线l的方程为，其斜率为1，
而直线的斜率为，
所以当时，直线l与直线垂直，所以B正确；
对于C，若直线l与直线平行，则，解得或，所以C错误；
对于D，当时，直线l的方程为，横截距和纵截距分别是，1，互为相反数，所以D正确.
故选：ABD
10. 以下关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（ ）
A. 双曲线与椭圆有相同的焦点
B. 过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有2条
C. 设A，B是两个定点，k是非零常数，若，则动点P的轨迹是双曲线的一支
D. 动圆P过定点且与定直线l：相切，则圆心P的轨迹方程是
【答案】AD
【解析】
【分析】求出双曲线与椭圆的焦点坐标即可判断A；求出双曲线的实轴长及过右焦点的直线垂直x轴时所截弦长即可判断B；由双曲线的定义即可判断C；根据抛物线的定义即可判断D．
【详解】对于A，双曲线的焦点为，椭圆的焦点为，故A正确；
对于B，由双曲线的方程知，右焦点，实轴长为10，所以过右焦点与双曲线左右两支各交于一点且满足弦长为10的直线只有1条；过右焦点的直线垂直x轴时，得两交点坐标为、，此时弦长为，所以过右焦点与双曲线右支相交于两点且满足弦长为10的直线有2条，综上，过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条，故B错误；
对于C，当时，动点P的轨迹是一条射线，当时，动点P的轨迹是双曲线的一支，故C错误；
对于D，因为动圆P过定点且与定直线l：相切，即P点到的距离与到直线l：的距离相等，根据抛物线的定义可得，P点的轨迹是为以为焦点，为准线的抛物线，所以点P的轨迹方程为，故D正确．
故选：AD．
11. 已知过抛物线C：的焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则的值可能为（ ）
A. B. 3C. 4D.
【答案】CD
【解析】
【分析】设出直线PQ方程，与抛物线方程联立求出P，Q横坐标的关系，再利用抛物线定义结合均值不等式求出的范围作答.
【详解】抛物线C：的焦点，准线，圆的圆心，半径1，设，
依题意，设直线PQ方程为：，由消去x并整理得：，
则有，，，同理，
于是得，当且仅当，即时取等号，
所以的值可能为4或，A，B不满足，C，D满足.
故选：CD
12. 如图，正方体的棱长为1，，，分别为线段，，上的动点（不含端点），则（ ）
A. 异面直线与成角可以为
B. 当为中点时，存在点，使直线与平面平行
C. 当，为中点时，平面截正方体所得的截面面积为
D. 存在点，使点与点到平面的距离相等
【答案】BC
【解析】
【分析】根据异面直线夹角的求解方法，线面平行的判定，以及正方体的截面面积的计算，结合几何体的结构特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：因为//，故与的夹角即为与的夹角，
又当与重合时，取得最大值，为；
当与点重合时，取得最小值，设其为，则，故；
又点不能与重合，故，故A错误；
对B：当为中点时，存在分别为的中点，满足//面，证明如下：
取的中点为，连接，如下所示：
显然//，又面面，故//面；
又易得//，面面，故//面；
又面，故面//面，
又面，故//面，故B正确；
对C：连接，如下所示：
因为////，故面即为平面截正方体所得截面；
又，故该截面为等腰梯形，又，，
故截面面积，故C正确；
对D：连接，取其中点为，如下所示：
要使得点到平面的距离等于点到平面的距离，只需经过的中点，显然当点分别为所在棱的中点时，不存在这样的点满足要求，故D错误.
故选：BC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 两平行直线和间的距离是____________．
【答案】##
【解析】
分析】根据给定条件，利用平行间距离公式计算作答.
【详解】直线化为：，
所以直线和间的距离是.
故答案为：
14. 在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线与圆相切，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】双曲线的渐近线方程为，与已知圆相切的只可能是，列出方程，从而可得答案.
【详解】解：由已知圆的方程可知圆心坐标为，半径为1．
双曲线的渐近线方程为，与已知圆相切的只可能是，
所以，得，故．
故答案为：.
15. 如图，椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，直线与交于点P，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据为钝角转化为，从而得到关于，的不等式，即可求解.
【详解】设椭圆的标准方程为，．
由题意，得，，，
则，．
因为为向量与的夹角，且为钝角，
所以，所以．
又，所以，
即，解得或，
因为，所以，
故答案为：．
16. 已知曲线的方程是，命题“曲线的图象既关于原点对称又关于轴对称”是_________命题（填“真”或“假”），若点在曲线上，则的最大值为_____．
【答案】 ①. 真 ②. ##
【解析】
【分析】利用对称性的定义可判断原命题的真假，化简曲线在第一象限内图象对应的方程，利用参数方程法结合三角恒等变换可求得的最大值.
【详解】在曲线上任取一点，则该点关于原点的对称点为，
因为，即点在曲线上，
点关于轴的对称点为，
则，即点在曲线上，
因此，命题“曲线的图象既关于原点对称又关于轴对称”是真命题，
同理可知，曲线关于轴对称，
当且时，曲线的方程为，
由题意可知，曲线可将椭圆按照平移得到，
作出曲线的图形如下图所示：
设，当取最大值时，则直线在轴上的截距最大，
此时点在第一象限，设点，
由，可得，不妨取，
则，
因为，则，
故当时，取最大值.
故答案为：真；.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点.从①直线相切；②圆关于直线对称；③圆的公切线长这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.
（1）求圆A的方程;
（2）当时，求直线l的方程.
【答案】（1）；
（2），或.
【解析】
【分析】（1）选①：根据圆的切线性质进行求解即可；
选②：根据圆与圆的对称性进行求解即可；
选③：根据两圆公切线的性质进行求解即可.
（2）利用圆的垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
选①：因为圆A与直线相切，
所以圆A的半径为，
因此圆A的方程为；
选②：因为圆A与圆关于直线对称，
所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为，
所以圆A的方程为；
选③：设圆的圆心为，两圆的一条公切线为
两圆的圆心与两圆的一条公切线示意图如下：
设圆A的半径，
因此有：，
所以圆A的方程为；
【小问2详解】
三种选择圆A的方程都是，
当过点的动直线l不存在斜率时，直线方程为，
把代入中，得，
显然，符合题意，
当过点的动直线l存在斜率时，设为，直线方程为，圆心到该直线的距离为：，
因为，所以有，
即方程为：
综上所述：直线l的方程为，或.
18. 如图，已知直四棱柱中，底面是菱形，，，是的中点，是的中点.
（1）求异面直线和所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合空间向量的数量积运算即可求解；
（2）由（1）中的坐标系先求出平面的法向量，再结合空间向量的数量积运算即可求解.
【小问1详解】
解：连结，使.因为底面是菱形，所以，
以为原点，方向为轴､轴的正方向，以四棱柱上下底面的中心连线指向上底面的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.
设，由，底面是菱形，所以.
所以
，，，，
是的中点，是的中点
，，
，
设异面直线和所成角为，则
.
异面直线和所成角的余弦值为.
【小问2详解】
解：由（1）可得，
设平面的法向量为，则
，令，得，
由（1）知
设直线与平面所成角为，则
.
直线与平面所成角的正弦值为.
19. 在平面直角坐标系中，的周长为12，，边的中点分别为和，点为边的中点
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线与曲线的另一个交点为，线段的中点为，记，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，结合椭圆的定义，分析即得解；
（2）设直线的方程为：，与椭圆联立，分别表示的面积，结合韦达定理化简，令，再配方法求最值即得解.
【小问1详解】
依题意有：，且，
∴，
故点的轨迹是以和为焦点，长轴长为4的椭圆，
考虑到三个中点不可共线，故点不落在上，
综上，所求轨迹方程：.
【小问2详解】
设，，显然直线不与轴重合，
不妨设直线的方程为：,
与椭圆方程联立整理得：，
，，,
，,
∴,
令，则,
∵，∴，当，即时，
∴,
∴当直线轴时，∴.
20. 如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）先证，，再可证平面，进而可证平面；（Ⅱ）先建立空间直角坐标系，再算出平面和平面的法向量，进而可得平面与平面夹角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）在图1中，
因为，，是的中点，，所以
即在图2中，，
从而平面
又，所以平面．
（Ⅱ）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，，
所以为二面角的平面角，所以．
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
因为，
所以
得，．
设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，
则，得，取，
，得，取，
从而，
即平面与平面夹角的余弦值为．
考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用．
21. 某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，两个信号源相距10米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号早秒（注：信号每秒传播米），在时刻时，测得机器鼠距离点为4米.
（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求时机器鼠所在位置的坐标；
（2）游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
【答案】（1）
（2）没有“被抓“风险
【解析】
【分析】（1）设机器鼠位置为点，由双曲线的定义和方程可得的轨迹和方程，及时刻时的坐标；
（2）设直线的平行线的方程为，联立双曲线方程，由判别式为0，解得，再求平行线的距离，结合题意即可判断．
【小问1详解】
解：设机器鼠位置为点，由题意可得，
即，
可得的轨迹为双曲线的左支，且，，即有，，，
则的轨迹方程为，
时刻时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为；
【小问2详解】
解：设直线的平行线的方程为，
联立双曲线方程，可得，
即有，且，可得，
即与双曲线的左支相切，
切点即为双曲线左支上距离最近的点，
此时与的距离为，即机器鼠距离最小的距离为，
则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．
22. 设点为抛物线：（）的动点，是抛物线的焦点，当时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）当在第一象限且时，过作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点，，且，证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标；
（3）是否存在定圆：，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）定点为，详见解析；
（3），证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题可得，进而即得；
（2）由题可得，设，联立抛物线方程，利用韦达定理法结合条件可得，进而即得；
（3）取，结合条件可得，然后证明对任意的点，直线也与圆相切，设，切线为，利用韦达定理法结合条件求出直线方程，计算圆心到直线的距离即得.
【小问1详解】
∵当时，，
∴，
所以，
即抛物线的方程为；
【小问2详解】
∵在第一象限且时，
∴，
设，，
由，可得，
则，
∵，
同理，又
∴，即，
∴，即，
所以，即
所以直线恒过定点；
【小问3详解】
取，设的切线为，
则，即，
把代入，
解得，
直线，若直线与圆：相切，
则，又，
解得或（舍去），
下面证明过曲线上任意一点（除原点）作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切，
设，切线为，，
由，可得，
∴，
由，可得，
所以，
∴，即，
同理可得，
故，
所以直线，
所以圆心到直线的距离为
，
又，
∴，
综上，可得过曲线上任意一点，存在实数，使直线与圆相切.