绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟（四）数学试卷(含答案)

这是一份绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟（四）数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．在空间直角坐标系中,,,,若,则( )
A.-2B.2C.-3D.3
3．椭圆中以为弦的中点的弦所在的直线方程为( )
A.B.C.D.
4．2019年1月1日,济南轨道交通1号线试运行,济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验,征求意见”活动.市民可以通过济南地铁APP抢票,小陈抢到了三张体验票,准备从四位朋友小王,小张,小刘,小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动,则小王和小李至多一人被选中的概率为( )
A.B.C.D.
5．已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且与椭圆交于P、Q两点,则（是椭圆的右焦点）的周长为( )
A.B.24C.D.16
6．如果椭圆和双曲线的离心率互为倒数,那么就称这组椭圆与双曲线互为“有缘曲线”．已知椭圆的方程为,中心在原点、焦点在y轴上的双曲线是椭圆的“有缘曲线”,则双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
7．过抛物线焦点的直线交E于A,B两点,线段AB中点M到x轴距离为1,则( )
A.2B.C.3D.4
8．已知点,,若圆上存在点P（不同于点A,B）使得,则实数r的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法中,正确的是( )
A.过,两点的直线方程为
B.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
C.过点且与直线相互平行的直线方程是
D.经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
10．已知曲线,则下列说法正确的是( )
A.若,,且,则曲线C是椭圆
B.若,则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C.若,则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D.曲线C可以是抛物线
11．已知双曲线的一条渐近线过点,点F为双曲线C的右焦点,那么下列结论中正确的是( )
A.双曲线C的离心率为
B.双曲线C的一条渐近线方程为
C.若点F到双曲线C渐近线的距离为,则双曲线C的方程为
D.设O为坐标原点,若,则
12．如图,棱长为2的正方体中,P为线段上动点（包括端点）.则以下结论正确的为( )
A.三棱锥体积为定值
B.异面直线成角为
C.直线与面所成角的正弦值
D.当点P为中点时,三棱锥的外接球表面积为
三、填空题
13．若直线与直线平行,则实数a的值为_________.
14．如图,在三棱锥中,D是BC的中点,若,,,则等于____________.
15．已知直线,,圆,则直线l截圆C所得弦长的最小值为_____________.
16．已知抛物线的焦点为F,平行y轴的直线l与圆交于A,B两点（点A在点B的上方）,l与C交于点D,则周长的取值范围是____________
四、解答题
17．数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能,为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式,同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一,提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人,并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值和第25百分位数;
（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查,并从中随机抽取两名幸运市民,求两名幸运市民年龄都在内的概率．
18．已知圆C的圆心在x轴上,且经过点,．
（1）求线段AB的垂直平分线方程;
（2）求圆C的标准方程;
（3）若过点的直线l与圆C相交于M,N两点,且,求直线l的方程．
19．为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会,某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中,甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是,乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率;
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
20．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线分别交抛物线于A,B两点．
（1）若以AB为直径的圆的方程为,求抛物线的标准方程;
（2）过点A,B分别作抛物线的切线,证明：,的交点在定直线上．
21．如图,在四棱锥中,底面ABCD,,,,,E为棱PD的中点,F是线段PC上一动点．
（1）求证：平面平面PAB;
（2）若直线BF与平面ABCD所成角的正弦值为时,求点C到平面AEF的距离．
22．已知椭圆的左焦点为,离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设O为坐标原点,T为直线上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q．当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积．
参考答案
1．答案：C
解析：直线的斜率为,
因此,该直线的倾斜角为,
故选：C.
2．答案：C
解析：因为,
所以,
所以,
即,解得.
故选：C.
3．答案：A
解析：设以为弦的中点的弦的两端点为,,
所以,
又因为弦为椭圆中的弦,
所以,两式作差得,
整理得：,
即,
因此所求直线方程为：,即.
4．答案：D
解析：设小王和小李都被选中为事件M,则,
则小王和小李至多一人被选中的概率为,
故选D.
5．答案：D
解析：由题意抛物线准线为,,
,解得．
,,
的周长为．
故选：D．
6．答案：A
解析：因为椭圆,故,
则,故,,,,分别为椭圆的半实轴、半虚轴、半焦距,离心率）,
则双曲线的离心率,因为双曲线的中心在原点、焦点在轴上,
所以（,,分别为双曲线的的半实轴、半虚轴、半焦距）,即,
所以=,所以双曲线的渐近线方程为,
故选：A．
7．答案：B
解析：如图所示,
由抛物线,得,
设,,
由线段AB中点M到x轴距离为1,
可知,
所以,
又由抛物线定义可知,
故选：B.
8．答案：A
解析：根据直径对的圆周角为,
结合题意可得以AB为直径的圆和圆有交点,
因为点P（不同于点A,B）,显然两圆相切时不满足条件,故两圆相交．
而以AB为直径的圆的方程为,两个圆的圆心距为3,
故|,求得,
故选：A．
9．答案：BC
解析：对A,当或时,式子＝无意义,故A不正确;
对B,直线与两坐标轴交点坐标为,故围成的三角形的面积是,故B正确;
对C,与直线平行,所求直线设为,将点代入得,所以所求直线为,即,故C正确;
对D,斜率为-1以及过原点的直线在两个坐标轴上截距都相等,故经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为或,故D错误.
故选：BC.
10．答案：ABC
解析：若,则,
曲线表示焦点在y轴上的椭圆,
若,则,曲线表示焦点在x轴上的椭圆.故A,B正确;
对C,若,则,曲线表示焦点在x轴上的双曲线.故C正确;
对D,抛物线的标准方程为：,,,.故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABC
解析：显然经过点的双曲线的渐近线方程为,
即有,解得,双曲线C的离心率,A正确;
双曲线C的一条渐近线方程为,B正确;
双曲线C的半焦距,即,由选项B知,,
解得,因此双曲线C的方程为,C正确;
O为坐标原点,若,,得,则,D错误.
故选：ABC.
12．答案：ACD
解析：因为,所以四边形为平行四边形,所以,
又因为平面,平面,所以平面,
又P为线段上动点,所以P到平面距离为定值,故三棱锥体积为定值,
当点P与重合时,,故A正确;
因为,故与所成角等价于与所成角,为等边三角形,
所以异面直线,成角为,故B项错误;
以DA方向为x轴,DC方向为y轴,方向为z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
设平面的法向量为,则,
即,令,得,故,
设直线与面所成角为,
则,故C项正确;
当点P为中点时,,易得,平面,
又平面,所以,,,平面,
所以平面,即平面BDP,,,
所以,,的外接圆半径为,故所求问题等价于求以为半径的底面圆,
高为的圆柱的外接球表面积,设三棱锥的外接球半径为R,
则,故三棱锥的外接球表面积为,故D项正确.
故选：ACD.
13．答案：-3
解析：由题意得,即,解得或.
当时,两直线方程都为：,两直线重合;
当时,两直线方程分别为：,两直线平行.
故答案为：-3.
14．答案：
解析：由图可得.
故答案为：.
15．答案：
解析：由直线得,
则,所以直线l恒过,
因为,所以点在圆C内部,
由题圆心为,半径,
设圆心到直线直线l的距离为d,
由勾股定理可得：,
所以圆心到直线直线l距离d最大时弦长的最小,此时,
由图像可知圆心到直线直线l的距离d最大值为,
所以的最小值为.
故答案为：.
16．答案：
解析：如下图所示：
抛物线C的焦点,准线为,过点D作,垂足为点M,
由抛物线的定义得,圆的圆心为点F,半径长为1,
则的周长,
当直线l与圆相切时,则点A、B重合,此时,;
当直线l过点F时,则点A、D、F三点共线,则．
由于A、D、F不能共线,则,所以,,即,
因此,的周长的取值范围是,
故答案为：．
17．答案：（1）,第25百分位数为30
（2）
解析：（1）,
因为第一组的频率为,,
第二组的频率为,,
所以第25百分位数在第二组,设为x,则,
所以第25百分位数为30.
（2）年龄在的市民人数为,年龄在的市民人数为,
用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人,年龄在的人数为人,
设年龄在的4人为A,B,C,D,年龄在的2人为E,F,
从这6为市民中抽取两名的样本事件为,共15种,
其中2名年龄都在内的样本事件有种,
所以两名幸运市民年龄都在内的概率为．
18．答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1）设AB的中点为D,则．
由圆的性质,得,所以,得.
所以线段AB的垂直平分线的方程是.
（2）设圆C的标准方程为,其中,半径为,
由（1）得直线CD的方程为,
由圆的性质,圆心在直线CD上,化简得,
所以圆心,,
所以圆C的标准方程为.
（3）由（1）设F为MN中点,则,得,
圆心C到直线l的距离,
当直线l的斜率不存在时,l的方程,此时,符合题意;
当直线l的斜率存在时,设l的方程,即,
由题意得,解得;
故直线l的方程为,
即;
综上直线l的方程为或.
19．答案：（1）,;
（2）．
解析：（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A,B,C,
则,,,
即,,
所以,．
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
（2）有0个家庭回答正确的概率
,
有1个家庭回答正确的概率
,
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
20．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）设AB中点为M,A到准线的距离为,B到准线的距离为,
M到准线的距离为d,则且.
由抛物线的定义可知,,
所以,
由梯形中位线可得,所以,可得,
所以抛物线C的标准方程为.
（2）证明：设,
由,得,则,
所以直线的方程为,
直线的方程为,
联立得,解得,
即直线,的交点坐标为.
因为AB过焦点,
由题可知直线AB的斜率存在,故可设直线AB方程为,
代入抛物线中,得,
所以,故,所以,的交点在定直线上．
21．答案：（1）证明过程见解析;
（2）.
解析：（1）证明：因为,,则,
平面ABCD,平面ABCD,,
,PA、平面PAB,平面PAB,
平面PBC,因此,平面平面PAB.
（2）因为底面ABCD,,
以点A为坐标原点,AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、、、,
设,,其中,
易知平面ABCD的一个法向量为,
由已知可得,解得,
所以,F为PC的中点,即,
设平面AEF的法向量为,,,
则,取,可得,
,因为,
所以点C到平面AEF的距离为：.
22．答案：(1);
（2）
解析：（1）由已知得：,,所以
又由,解得,所以椭圆的标准方程为：.
（2）椭圆方程化为.
设T点的坐标为,则直线TF的斜率.
当时,直线PQ的斜率,直线PQ的方程是
当时,直线PQ的方程是,也符合的形式.
将代入椭圆方程得：.
其判别式.
设,
则,,.
因为四边形OPTQ是平行四边形,所以,即.
所以,解得.
此时四边形OPTQ的面积
.