青海省西宁市海湖中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段考试数学试卷(含答案)

这是一份青海省西宁市海湖中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如图,在平行六面体中,( )
A.B.C.D.
2．已知向量,,若,则m的值为( )
A.0B.C.2D.
3．如图,在平面直角坐标系中有三条直线,,,其对应的斜率分别为,,,则下面选项中正确的是( )
A.B.C.D.
4．已知点,,圆,则( )
A.A,B都在C内B.A在C外,B在C内
C.A,B都在C外D.A在C内,B在C外
5．将圆平分的直线是( )
A.B.C.D.
6．已知直线与互相平行,则a的值是( )
A.1B.0或2C.1或2D.2
7．若直线l经过点,且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( )
A.1B.2C.3D.4
8．已知双曲线C的方程为,则下列说法错误的是( )
A.双曲线C的实轴长为8
B.双曲线C的渐近线方程为
C.离心率为
D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为
二、多项选择题
9．已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件中不能确定点M,A,B,C共面的是( )
A.B.
C.D.
10．下列说法中,正确的有( )
A.直线在y轴上的截距是2
B.直线经过第一,二,三象限
C.过点,且倾斜角为的直线方程为
D.过点且在x轴,y轴上的截距相等的直线方程为
11．判断下列命题是正确的( )
A.当直线和的倾斜角相同时,则
B.已知两条直线与不重合,则是直线的必要条件.
C.直线外一点与该点在直线上的投影的距离就是点到直线的距离
D.若点A,B关于直线对称,则直线AB的斜率等于,且线段AB的中点在直线l上
12．已知圆M的方程为:,(),点,给出以下结论,其中正确的有( )
A.过点P的任意直线与圆M都相交
B.若圆M与直线无交点,则
C.圆M面积最小时的圆与圆有三条公切线
D.无论a为何值,圆M都有弦长为的弦,且被点P平分
三、填空题
13．已知,为双曲线的左,右焦点,点P在C上,,则的面积为________
14．若,,与的夹角为,则的值为________.
15．已知直线l的一个方向向量,平面的一个法向量,若,则________.
16．在中,,,若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则椭圆的离心率为________.
四、解答题
17．根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
（1）斜率为,且经过点;
（2）过点,且垂直于x轴;
（3）斜率为4,在y轴上的截距为;
（4）在y轴上的截距为3,且平行于x轴;
（5）经过点与直线垂直.
18．（1）求经过两点,的双曲线的标准方程;
（2）求经过两点,的椭圆的标准方程.
19．若圆C经过点和,且圆心C在直线上,求圆C的方程.
20．经过点作直线l交双曲线于A,B两点,且M为AB中点.
（1）求直线l的方程.
（2）求线段AB的长.
21．已知点,,动点满足直线AM与BM的斜率之积为,记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程,并说明C是什么曲线;
（2）若直线和曲线C相交于E,F两点,求.
22．如图,在直三棱柱中,,,D为BC的中点.
（1）证明:平面;
（2）证明:平面平面.
参考答案
1．答案：B
解析：连接,可得,又,
所以.
故选:B.
2．答案：B
解析：因为,,
所以由有:
所以.
故选:B
3．答案：A
解析：由题图可知,,,,且,
所以,,,
故选:A.
4．答案：D
解析：由题意,,所以A在C内,B在C外.
故选:D.
5．答案：C
解析：直线过圆心(1,2),选项C符合题意.
6．答案：D
解析：由于两条直线平行,所以,解得.
故选:D
7．答案：C
解析：试题分析:设直线l的截距式为,
直线l经过点,且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,
,,
解得,或.
直线l的条数为3.
8．答案：D
解析：因为双曲线C的方程为,为焦点x轴上的双曲线,
所以,,,
所以曲线C的实轴长为,渐近线方程为,离心率为,
双曲线C上的点到异支焦点的距离最小值为,双曲线C上的点到同支焦点的距离最小值为,
故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为,故A,B,C正确,D错误,
故选:D.
9．答案：ABC
解析：设,
若点M与点A,B,C共面,则,
逐一检验各选项,可知只有选项D确定点M,A,B,C共面.
故选:ABC.
10．答案：BC
解析：对于A:令时,,故在y轴上的截距是2,A错.
对于B:直线的斜率为2,在x,y轴上的截距分别为,5,故直线经过第一,二,三象限,B对.对于C:过点,倾斜角为的直线方程为,故C对.对于D:当直线的截距不为0时,设直线的方程为:,把点代人直线得,所以直线方程为:,当截距为0时,设直线方程为:,把点代人直线得,直线方程为:,故D错.
故选:BC
11．答案：BCD
解析：A.两直线的倾斜角相同,直线的横截距或纵截距不相同,则直线,只有倾斜角相同,则直线有可能重合,故A错误;
B.两直线平行的充要条件是且或,
所以是直线的必要条件,故B正确;
C.根据点到直线的距离的定义,可知C正确;
D.若点A,B关于直线对称,则,所以直线AB的斜率等于,且线段AB的中点在直线l上,故D正确.
故选:BCD
12．答案：ACD
解析：因为点代入入圆的方程得,所以在圆M内,
所以过点P的任意直线与圆M都相交,A选项正确;
圆M圆心,直线,,
若圆M与直线无交点,,
,,,,B选项错误;
圆,当时,圆M半径最小则面积最小,
圆,,,
,
圆M面积最小时的圆M与圆Q外切所以有三条公切线,C选项正确;
无论a为何值,,,所以圆M都有弦长为的弦,
,,
,,
因为垂直弦平分弦,圆M都有弦长为的弦,且被点P平分,故D选项正确.
故选:ACD.
13．答案：
解析：双曲线,则,,所以,
利用双曲线定义知,,
两边平方得,且,
由余弦定理,
解得:,则.
故答案为:
14．答案：或
解析：,,
,,,
又与的夹角为,
,
解得:或1.
故答案为或1
15．答案：
解析：由,可知,则有,解之得,
故答案为:.
16．答案：
解析：如图,设,
由及余弦定理得,
所以.
因为椭圆以A,B为焦点,故,即,
又椭圆经过点C,所以.
所以,即.
所以.
故该椭圆的离心率是.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解析：（1）由点斜式方程得,整理得.
（2）因为直线过点,且垂直于x轴,
所以其方程为,即.
（3）因为斜率为4,在y轴上的截距为,
所以,即.
（4）因为在y轴上的截距为3,且平行于x轴,所以,即.
（5）由得,即该直线的斜率为,
即一个方向向量为所求直线的一个法向量,
故所求直线方程为,即.
18．答案：（1）;
（2）
解析：（1）由题意,设双曲线方程为,代入点,,
则,解得,
故双曲线的标准方程为.
（2）由题意,设椭圆的方程为1,代入点A,B,
则,解得.
故椭圆的标准方程为.
19．答案：
解析：因为,AB中点为,所以AB中垂线方程为,即,解方程组,得,
所以圆心C为.根据两点间的距离公式,得半径,
因此,所求的圆C的方程为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,,
代入双曲线方程得,,
两式相减得,即,
因为M为AB的中点,所以,,
所以,所以直线的斜率为
所以的方程为,即,
经验证符合题意,
所以直线l的方程为;
（2）将代入中得,
故,,
所以.
21．答案：（1）,曲线C是一个双曲线,除去左右顶点
（2）
解析：（1）设,则AM,BM的斜率分别为,,
由已知得,
化简得,
即曲线C的方程为,
曲线是一个双曲线,除去左右顶点.
（2）联立消去y整理得,
设,,则,
.
22．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）在直三棱柱中,
以为原点,为x轴,为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,
设,则,,,
,,,
则,,,
设平面的法向量,
则,取,得,
,且平面,则平面
（2）,,
设平面的一个法向量,
则,取,得,
又平面的法向量,则,则
平面平面.