第38讲 复数-备战2024年高考数学一轮复习精品导与练（新高考）

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1、复数的有关概念
(1)复数的意义：形如z＝a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做实部，b叫做虚部，复数集记作C，数集N、Z、Q、R、C的关系
(2)复数的模：z＝a＋bi，|z|＝ ．
(3)复数相等：z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1＝z2，则 ．
(4)共轭复数：z＝a＋bi， 互为共轭复数．
2、 复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝ （c＋di≠0)．
3、复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．
4、 复数的几何表示
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝ (a，b∈R)是一一对应关系．
1、【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|iz+3z|=（ ）
A．45B．42C．25D．22
2、【2022年全国甲卷】若z=−1+3i，则zzz−1=（ ）
A．−1+3iB．−1−3iC．−13+33iD．−13−33i
3、【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（ ）
A．a=1,b=−1B．a=1,b=1C．a=−1,b=1D．a=−1,b=−1
4、【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则（ ）
A．a=1,b=−2B．a=−1,b=2C．a=1,b=2D．a=−1,b=−2
5、【2022年新高考1卷】若i(1−z)=1，则z+z=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
6、【2022年新高考2卷】(2+2i)(1−2i)=（ ）
A．−2+4iB．−2−4iC．6+2iD．6−2i
7、（2021·全国高三专题练习（理））已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
8、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷））
已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
9、（2023年全国新高考Ⅱ卷）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数（其中i为虚数单位，）在复平面内对应的点为，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C．D．0
2、（2022·河北张家口·高三期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
3、（2022·山东枣庄·高三期末）已知为虚数单位，则（ ）．
A．1B．C．ID．
4、（2022·山东德州·高三期末）已知复数z满足，其中为虛数单位，则复数z在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5、（2022·山东临沂·高三期末）已知复数，为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
考向一 复数的有关概念
例1、已知复数z＝eq \f(m2－7m＋6,m2－1)＋(m2－5m－6)i(m∈R)，试求实数m分别取什么值时，z分别为：
(1) 实数；
(2) 虚数；
(3) 纯虚数．
变式1、（1）（2022·广东潮州·高三期末）已知i为虚数单位，复数，则z的虚部为（ ）
A．0B．－1C．－iD．1
（2）（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z是纯虚数，是实数，则（ ）
A．－B．C．－2D．2
（3）（2022·江苏常州·高三期末）是虚数单位，已知复数满足等式，则的模________．
变式2、（2022·河北唐山·高三期末）（多选题）已知复数（且），是z的共扼复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．B．C．D．
方法总结： (1)解决复数问题，首先要看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)对于复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组．特别要注意：纯虚数的充要条件是：a＝0且b≠0.
考向二 复数的运算
例2、（1）已知复数满足，其中为虚数单位，若复数的实部为，则实数（ ）
A．B．或C．D．
（2）（ ）
A．B．C．D．
（3）已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．B．C．D．
变式1、（1）（2022·河北保定·高三期末）（ ）
A．B．C．D．
（2）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
（3）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若．设，则（ ）
A．2iB．2C．D．
方法总结： (1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则．
(2)遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设z＝a＋bi，再通过四则运算，计算出a，b的值．
考向三 复数的几何意义
例3、(1)已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝eq \r(3)，则eq \f(y,x)的最大值为____
变式1、设复数z＝lg2(m2－3m－3)＋ilg2(m－2)，m∈R对应的向量为 eq \(OZ,\s\up6(→)).
(1) 若 eq \(OZ,\s\up6(→))的终点Z在虚轴上，求实数m及| eq \(OZ,\s\up6(→))|的值；
(2) 若 eq \(OZ,\s\up6(→))的终点Z在第二象限内，求实数m的取值范围．
变式2、（2021·陕西西安市·西安中学高三月考（文））已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．点的坐标为B．
C．的最大值为D．的最小值为
方法总结：准确理解复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up7(―→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up7(―→)).
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
(3)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(4)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．
1、（2022·江苏海安·高三期末）已知复数z满足(1－i)z＝2＋3i（i为虚数单位），则z＝（ ）
A．－＋iB．＋i
C．－iD．－－i
2、（2022·江苏如东·高三期末）已知复数z满足，则z＝（ ）
A．4＋3iB．4－3iC．3＋4iD．3－4i
3、（2022·江苏苏州·高三期末）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4、（2022·江苏无锡·高三期末）已知（为虚数单位，）为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
5、（2022·广东东莞·高三期末）（多选题）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6、（2022·江苏苏州·高三期末）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．若为复数，则
B．若为向量，则
C．若为复数，且，则
D．若为向量，且，则
7、（2021·福建·莆田二中高三期末）设，记为不大于的最大整数，为不小于的最小整数．设集合,，则在复平面内对应的点的图形面积是______