2023-2024学年广东省九年级数学第一学期期末统考模拟试题

这是一份2023-2024学年广东省九年级数学第一学期期末统考模拟试题，共20页。试卷主要包含了已知如图，把二次函数配方后得等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A．B．C．D．
2．下列关于x的一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，
点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC= 40°，则∠OBC的度数是（ ）
A．80°B．40°C．50°D．20°
4．如图，所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是 （ ）
A．第一象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第一、四象限
5．已知如图：为估计池塘的宽度，在池塘的一侧取一点，再分别取、的中点、，测得的长度为米，则池塘的宽的长为（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2B．C．D．
7．在以下四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
8．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使，连接AE交CD于点F，则（ ）
A．67.5°B．65°C．55°D．45°
9．如图为4×4的正方形网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心
10．把二次函数配方后得（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．由4m＝7n，可得比例式＝____________.
12．如图，点A（m，2），B（5，n）在函数（k＞0，x＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k的值为 ．
13．某物体对地面的压强P（Pa）与物体和地面的接触面积S（m2）成反比例函数关系（如图），当该物体与地面的接触面积为0.25m2时，该物体对地面的压强是______Pa．
14．已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AB = 6，∠BDC = 30°，则菱形的面积为 ．
15．在本赛季比赛中，某运动员最后六场的得分情况如下：17、15、21、28、12、19，则这组数据的方差为______.
16．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么的值是__________.
17．将函数y=5x2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应函数的表达式为__________．
18．若方程的一个根，则的值是__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）爸爸有一张“山西大剧院”的演出门票，计划通过“掷筹码”的游戏将门票奖励给哥哥或者弟弟，游戏规则如下：准备两个质量均匀的筹码，在第一个筹码的一面画上“×”，另一面画上“○”；在第二个筹码的一面画上“○”，另一面画上“△”．随机掷出两个筹码，当筹码落地后，若朝上的一面都是“○”，则哥哥获得门票；否则，弟弟获得门票．你认为这个游戏公平吗？说明理由．
20．（6分）如图，下列网格由小正方形组成，点都在正方形网格的格点上.
（1）在图1中画出一个以线段为边，且与面积相等但不全等的格点三角形；
（2）在图2和图3中分别画出一个以线段为边，且与相似（但不全等）的格点三角形，并写出所画三角形与的相似比.（相同的相似比算一种）
（1）
（2）
21．（6分）已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y＜0时，直接写出x的取值范围是 ．
22．（8分）如图，在四边形中，，与交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
23．（8分）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为1．当△ABC是等腰三角形时，求k的值
24．（8分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．
（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝AC，求AM的长；
（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．
①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；
②求AM、MN的长；
（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长．
25．（10分）某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx-1．其图象如图所示．
⑴a＝ ；b＝ ；
⑵销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
⑶由图象可知，销售单价x在 时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
26．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用一角相等且夹边对应成比例两个三角形相似，根据各个选项条件筛选即可．
【详解】解：根据勾股定理，AC=，BC=，AB=
所以，,,,则+=
所以，利用勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形
所以,=
A.不存在直角，所以不与△ABC相似；
B.两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=≠2，所以不与△ABC相似；
C.选项中图形是直角三角形，且两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=2，故C中图形与所给图形的三角形相似．
D. 不存在直角，所以不与△ABC相似.
故选：C．
此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，及判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
2、D
【解析】利用一元二次方程的根的判别式逐项判断即可.
【详解】一元二次方程的根的判别式为，逐项判断如下：
A、，方程有两个不相等的实数根，不符题意
B、，方程有两个相等的实数根，符合题意
C、，方程有两个不相等的实数根，不符题意
D、，方程没有实数根，符合题意
故选：D.
本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根.
3、C
【解析】∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=40°
∴∠BOC=80°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=（180°-80°）÷2=50°
故选C．
4、C
【分析】根据输入程序，求得y与x之间的函数关系是y=-，由其性质判断所在的象限．
【详解】解：x的倒数乘以-5为-，即y=-，则函数过第二、四象限，故选C．
对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
5、C
【分析】根据三角形中位线定理可得DE=BC，代入数据可得答案．
【详解】解：∵线段AB，AC的中点为D，E，
∴DE=BC，
∵DE=20米，
∴BC=40米，
故选：C．
此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6、D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到答案
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
故选择：D.
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握利用根的判别式求参数的值.
7、B
【分析】旋转180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8、A
【分析】由三角形及正方形对角线相互垂直平分相等的性质进行计算求解，把各角之间关系找到即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，CE=CA，
∴∠ACE=45°+90°=135°，∠E=22.5°，
∴∠AFD=90°-22.5°=67.5°，
故选A．
主要考查到正方形的性质，等腰三角形的性质和外角与内角之间的关系．这些性质要牢记才会灵活运用．
9、B
【解析】试题解析：由图可得：OA=OB=OC=，
所以点O在△ABC的外心上，
故选B.
10、B
【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．
【详解】解：
=
=
故选：B
本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据比例的基本性质，将原式进行变形，即等积式化比例式后即可得.
【详解】解：∵4m＝7n，
∴.
故答案为：
本题考查比例的基本性质，将比例进行变形是解答此题的关键.
12、2．
【解析】试题分析：∵将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积为8，∴5﹣m=4，∴m=2，∴A（2，2），∴k=2×2=2．故答案为2．
考点：2．反比例函数系数k的几何意义；2．平移的性质；3．综合题．
13、1
【分析】直接利用函数图象得出函数解析式，进而求出答案．
【详解】设P＝，把（0.5，2000）代入得：
k＝1000，
故P＝，
当S＝0.25时，
P＝＝1（Pa）．
故答案为：1．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析会死是解题关键．
14、18
【详解】∵ABCD是菱形，两条对角线相交于点O，AB=6
∴CD=AB=6，AC⊥BD，且OA=OC，OB=OD
在Rt△COD中，∵CD=6，∠BDC=30°
∴
∴
∴
15、.
【分析】先计算出这组数据的平均数，然后根据方差公式求解．
【详解】解：平均数=
所以方差是S2=

=
故答案为：.
本题考查方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差
S2= ,它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16、
【分析】根据三角形的重心和平行线分线段成比例解答即可．
【详解】∵△ABC的中线AD、CE交于点G，
∴G是△ABC的重心，
∴，
∵GF∥BC，
∴，
∵DC=BC，
∴ ，
故答案为：.
此题考查三角形重心问题以及平行线分线段成比例，解题关键是根据三角形的重心得出比例关系．
17、y=5（x+2）2+3
【分析】根据二次函数平移的法则求解即可.
【详解】解：由二次函数平移的法则“左加右减”可知，二次函数y=5x2的图象向左平移2个单位得到y=，由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=的图象向上平移3个单位可得到函数y=，故答案是：y=．
本题主要考查二次函数平移的法则，其中口诀是：“左加右减”、 “上加下减”,注意数字加减的位置.
18、
【分析】将m代入方程，再适当变形可得的值.
【详解】解：将m代入方程得，即，
所以.
故答案为：2020.
本题考查了一元二次方程的代入求值，灵活的进行代数式的变形是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、游戏不公平，理由见解析．
【分析】首先根据题意列表，然后由表格求得所有等可能的结果，由当概率相等时，这个游戏是否公平，即可求得答案．
【详解】解：游戏不公平，理由如下：
随机投掷两个筹码的结果列表如下：
由上表可知，投掷筹码的结果共有4种，每种结果出现的可能性相同，其中，筹码朝上的一面都是“○”的结果有1种，其他结果有3种．
即哥哥获得门票的概率为，弟弟获得门票的概率为．
∵，
∴游戏不公平．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
20、（1）画图见解析；（2）画图见解析；图2：；图3：.
【分析】（1）根据等底、等高的两个三角形面积相等，检验网格特征画出图形即可；
（2）根据相似三角形的性质画出图形即可.
【详解】（1）如图所示，即为所求.（答案不唯一）
（2）如图所示，和即为所求，
∵BC=，AC=2，AE=，BE=5，AB=，
∴=，
∴△ABE∽△CAB，
∴相似比；
∵BC=，AC=2，AF=2，BF=5，AB=，
∴=，
∴△AFB∽△CAB，
相似比，
本题考查相似三角形的判定与性质及网格的特征，正确找出对应边是解题关键
21、（1）y＝x1﹣x﹣1；（1）﹣1＜x＜1．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（1）结合函数图象解答．
【详解】解：（1）把A（﹣1，0），B（1，0）分别代入y＝x1+mx+n，得
．
解得．
故该抛物线解析式是：y＝x1﹣x﹣1；
（1）由题意知，抛物线y＝x1﹣x﹣1与x轴交于点A（﹣1，0），B（1，0）两点，且开口方向向上，所以当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜1．
故答案是：﹣1＜x＜1．
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法求解析式.
22、 (1)见详解；（2）四边形ABCF的面积S=6.
【分析】（1）根据平行四边形的判定推出即可．
（2）通过添加辅助线作高，再根据面积公式求出正确答案．
【详解】证明：（1）∵点E是BD的中点，
在中，
∴四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）过C作于H，过D作于Q，
∵四边形ABCD和四边形ABDF都是平行四边形，，
∴四边形ABCF的面积S=
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识点，解题的关键在于综合运用定理进行推理.
23、（5）详见解析
（4）或
【分析】（5）先计算出△=5，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（4）先利用公式法求出方程的解为x5=k，x4=k+5，然后分类讨论：AB=k，AC=k+5，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【详解】解：（5）证明：∵△=（4k+5）4-4（k4+k）=5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（4）解：一元二次方程x4-（4k+5）x+k4+k=0的解为x=，即x5=k，x4=k+5，
∵k＜k+5，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+5，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+5，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+5=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
5．根的判别式；4．解一元二次方程-因式分解法；5．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．
24、（1）；（2）①菱形，理由见解析；②AM=，MN＝；（3）1．
【分析】（1）利用相似三角形的性质求解即可．
（2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，由MA′∥AB，可得＝，由此构建方程求出x，解直角三角形求出OM即可解决问题．
（3）如图3中，作NH⊥BC于H．想办法求出NH，CM，利用相似三角形，确定比例关系，构建方程解决问题即可．
【详解】解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝，
∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°，
∴△ANM∽△ACB，
∴＝，
∵AN＝AC
∴＝，
∴AM＝．
（2）①如图2中，
∵NA′∥AC，
∴∠AMN＝∠MNA′，
由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′，
∴∠MNA′＝∠A′MN，
∴A′N＝A′M，
∴AM＝A′N，∵AM∥A′N，
∴四边形AMA′N是平行四边形，
∵MA＝MA′，
∴四边形AMA′N是菱形．
②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，
∵MA′∥AB，
∴
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴AM＝
∴CM＝，
∴CA′＝＝＝，
∴AA′＝＝＝，
∵四边形AMA′N是菱形，
∴AA′⊥MN，OM＝ON，OA＝OA′＝，
∴OM＝＝＝，
∴MN＝2OM＝．
（3）如图3中，作NH⊥BC于H．
∵NH∥AC，
∴△ABC∽△NBH
∴＝＝
∴＝＝
∴NH＝，BH＝，
∴CH＝BC﹣BH＝3﹣＝，
∴AM＝AC＝，
∴CM＝AC﹣AM＝4﹣＝，
∵CM∥NH，
∴△CPM∽△HPN
∴＝，
∴＝，
∴PC＝1．
本题考查了相似三角形的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点．
25、（1）-1，20；（2）当x=10时，该商品的销售利润最大，最大利润是25元；（3）7≤x≤13
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）利用配方法求出二次函数最值即可；
（3）根据题意令y=16，解方程可得x的值，结合图象可知x的范围．
【详解】解：（1）y=ax2+bx-1图象过点（5，0）、（7，16），
∴
解得：
故答案为-1，20
⑵∵
∴当x=10时，该商品的销售利润最大，最大利润是25元．
⑶根据题意，当y=16时，得：-x2+20x-1=16，
解得：x1=7，x2=13，
即销售单价7≤x≤13时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确利用二次函数图象是解题关键．
26、（1）y=-x2+x+2，x=1；（2）C（0，2）；y=−x+2；（1）Q1（1，0），Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=−求出对称轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（1）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+2的图象经过点A（-2，0），
∴-×（-2）2+b×（-2）+2=0，
解得：b=，
∴抛物线解析式为 y=-x2+x+2，
又∵y=-x2+x+2=-（x-1）2+，
∴对称轴方程为：x=1．
（2）在y=-x2+x+2中，令x=0，得y=2，
∴C（0，2）；
令y=0，即-x2+x+2=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，2）的坐标分别代入解析式，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y=−x+2．
∵抛物线的对称轴方程为：x=1，
可设点Q（1，t），则可求得：
AC=，
AQ=，
CQ=．
i）当AQ=CQ时，有=，
25+t2=t2-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q1（1，0）；
ii）当AC=AQ时，有
t2=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，有，
整理得：t2-8t+5=0，
解得：t=2±，
∴点Q坐标为：Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（1，0），Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
本题考查二次函数综合题，综合性较强，有一定难度，注意分类讨论是本题的解题关键．
一
二
○
△
×
（×，○）
（×，△）
○
（○，○）
（○，△）