2023-2024学年广东省数学九年级上学期期末模拟试题

这是一份2023-2024学年广东省数学九年级上学期期末模拟试题，共17页。试卷主要包含了已知抛物线的解析式为y=.等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若关于的方程，它的一根为3，则另一根为（ ）
A．3B．C．D．
2．如图，⊙O的半径为5，将长为8的线段PQ的两端放在圆周上同时滑动，如果点P从点A出发按逆时针方向滑动一周回到点A，在这个过程中，线段PQ扫过区域的面积为( )
A．9πB．16πC．25πD．64π
3．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，在下列四个选项中，可能性最大的是（ ）
A．点数小于4B．点数大于4C．点数大于5D．点数小于5
4．如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点CB．点D
C．线段BC的中点D．线段FC的中点
5．下列事件是必然事件的是（ ）
A．明天太阳从西方升起
B．打开电视机，正在播放广告
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．任意一个三角形，它的内角和等于180°
6．已知关于x的方程x2+ax﹣6＝0的一个根是2，则a的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
7．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
8．二次函数y＝x2﹣6x图象的顶点坐标为（ ）
A．（3，0）B．（﹣3，﹣9）C．（3，﹣9）D．（0，﹣6）
9．已知抛物线的解析式为y=（x-2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）.
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（1，2）
10．如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ）
A．24﹣4πB．32﹣4πC．32﹣8πD．16
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是_____cm1．
12．如图，点M是反比例函数（）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为______．

13．张华在网上经营一家礼品店，春节期间准备推出四套礼品进行促销，其中礼品甲45元/套，礼品乙50元/套，礼品丙70元/套，礼品丁80元/套，如果顾客一次购买礼品的总价达到100元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，张华会得到支付款的80%．
①当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付_________元；
②在促销活动中，为保证张华每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的六折，则x的最大值为________．
14．某养鱼专业户为了估计鱼塘中鱼的总条数，他先从鱼塘中捞出100条，将每条鱼作了记号后放回水中，当它们完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捞出100条鱼，发现其中带记号的鱼有10条，估计该鱼塘里约有________ 条鱼.
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，若AD＝3，CE＝5，则CD等于_____．
16．如图，点是矩形中边上一点，将沿折叠为，点落在边上，若，，则________．
17．关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是________．
18．反比例函数图像经过点（2，－3），则它的函数表达式是 ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，抛物线的顶点为，且抛物线与直线相交于两点，且点在轴上，点的坐标为，连接.
（1） ， ， （直接写出结果）；
（2）当时，则的取值范围为 （直接写出结果）；
（3）在直线下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出的最大面积及点坐标.
20．（6分）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为多少？
21．（6分）（1）计算：﹣|﹣3|+ cs60°； （2）化简：
22．（8分）计算：+2﹣1﹣2cs60°+（π﹣3）0
23．（8分）如图①，在平行四边形中，以O为圆心，为半径的圆与相切于点B，与相交于点D.
（1）求的度数.
（2）如图②，点E在上，连结与交于点F，若，求的度数.
24．（8分）如图，P是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点P作PA⊥x轴于点A，以AP为斜边在右侧作等腰Rt△APQ，已知直角顶点Q的纵坐标为﹣2，连结OQ交AP于B，BQ＝2OB．
（1）求点P的坐标；
（2）连结OP，求△OPQ的面积与△OAQ的面积之比．
25．（10分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的最小整数值；
（2）当时，求的值．
26．（10分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，“幸福”小区为了方便住在A区、B区、和C区的居民（A区、B区、和C区之间均有小路连接），要在小区内设立物业管理处P．如果想使这个物业管理处P到A区、B区、和C区的距离相等，应将它建在什么位置？请在图中作出点P．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到3+t=2，然后解关于t的一次方程即可．
【详解】设方程的另一根为t，
根据题意得：3+t=2，
解得：t=-1，
即方程的另一根为-1．
故选：C．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，，．
2、B
【分析】如图，线段PQ扫过的面积是图中圆环面积．作OE⊥PQ于E，连接OQ求出OE即可解决问题．
【详解】解：如图，线段PQ扫过的面积是图中圆环面积，
作OE⊥PQ于E，连接OQ．
∵OE⊥PQ，
∴EQ＝PQ＝4，
∵OQ＝5，
∴OE＝，
∴线段PQ扫过区域的面积＝π•52﹣π•32＝16π，
故选：B．
本题主要考查了轨迹，解直角三角形，垂径定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线.
3、D
【解析】根据所有可能的的6种结果中，看哪种情况出现的多，哪种发生的可能性就大．
【详解】掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后共有6种等可能的情况，
即：点数为1，2，3，4，5，6；其中点数小于4的有3种，点数大于4的有2种，点数大于5的有1种，点数小于5的有4种，
故点数小于5的可能性较大，
故选：D．
本题考查了等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是关键．
4、D
【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．
【详解】解：两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是：线段FC的中点．
故选：D．
本题比较容易，考查识别图形的中心对称性．要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．
5、D
【分析】必然事件就是一定会发生的事件，依次判断即可.
【详解】A、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故不符合题意；
B、打开电视机，正在播放广告是随机事件，故不符合题意；
C、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意；
D、任意一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件，故符合题意；
故选：D．
本题是对必然事件的考查，熟练掌握必然事件知识是解决本题的关键.
6、C
【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．利用方程解的定义将x＝2代入方程式即可求解．
【详解】解：将x＝2代入x2+ax﹣6＝2，得22+2a﹣6＝2．
解得a＝2．
故选C．
本题考查的是一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
7、C
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选C．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC是解此题的关键．
8、C
【分析】将二次函数解析式变形为顶点式，进而可得出二次函数的顶点坐标．
【详解】解：∵y＝x2﹣6x＝x2﹣6x+9﹣9＝（x﹣3）2﹣9，
∴二次函数y＝x2﹣6x图象的顶点坐标为（3，﹣9）．
故选：C．
此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.
9、B
【解析】根据顶点式y=（x-h）2+k的顶点为（h，k），由y=（x-2）2+1为抛物线的顶点式，顶点坐标为（2，1）．
故选：B．
10、A
【解析】试题分析：连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD=45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴．
∵AB=8，
∴AD=BD=4，
∴S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD=S△ABC-S△ABD-（S扇形AOD-S△ABD）
=×8×8-×4×4-+××4×4
=16-4π+8=24-4π．
故选A．
考点： 扇形面积的计算．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，
∵∠CAC′=15°，
∴∠C′AB=∠CAB﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，AC′=AC=5，
∴阴影部分的面积=×5×tan30°×5=．
12、1
【解析】解：设A的坐标是（m，n），则mn=2，则AB=m，△ABC的AB边上的高等于n，则△ABC的面积=mn=1．故答案为1．
点睛：本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，△ABC的面积=|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
13、1 25
【分析】① 当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付45+80-5=1元．
②设顾客每笔订单的总价为M元，当0＜M＜100时，张军每笔订单得到的金额不低于促销前总价的六折，当M≥100时，0.8（M-x）≥0.6M，对M≥100恒成立，由此能求出x的最大值．
【详解】解：（1）当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付：45+80-5=1元．
故答案为：1．
（2）设顾客一次购买干果的总价为M元，当0＜M＜100时，张军每笔订单得到的金额不低于促销前总价的六折，当M≥100时，0.8（M-x）≥0.6M，解得，0.8x≤0.2M.
∵M≥100恒成立,
∴0.8x≤200
解得：x≤25.
故答案为25.
本题考查代数值的求法，考查函数性质在生产、生活中的实际应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．
14、1000
【解析】试题考查知识点：统计初步知识抽样调查
思路分析：第二次捞出来的100条鱼中有10条带记号的，说明带记号的鱼约占整个池塘鱼的总数的十分之一．
具体解答过程：
第二次捞出来的100条鱼中有10条带记号的，说明带记号的鱼约占整个池塘鱼的总数的比例为：
∵先从鱼塘中捞出后作完记号又放回水中的鱼有100条
∴该鱼塘里总条数约为：
（条）
试题点评：
15、
【分析】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝1，进而得出DE＝2，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝1，
∴AE＝CE＝1，
∵AD＝3，
∴DE＝2，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD＝，
故答案为：.
此题考查勾股定理的应用以及直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝1．
16、5
【分析】由矩形的性质可得AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，由折叠的性质可求BF=BC=10，EF=CE，由勾股定理可求AF的长，CE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，
∵将△BCE沿BE折叠为△BFE，
在Rt△ABF中，AF==6
∴DF=AD-AF=4
在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2=CE2，
∴16+（8-CE）2=CE2，
∴CE=5
故答案为：5
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
17、且
【解析】一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠1且△=b2-4ac=（-3）2-4×a×1=9-4a＞1，解不等式组即可求出a的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程ax2-3x+1=1有两个不相等的实数根，
∴a≠1且△=b2-4ac=（-3）2-4×a×1=9-4a＞1，
解得：a＜且a≠1．
故答案是：a＜且a≠1．
考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根与△=b2-4ac有如下关系：（1）△＞1⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=1⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜1⇔方程没有实数根．
18、．
【解析】试题分析：设反比例函数的解析式是．则，得，则这个函数的表达式是．故答案为．
考点：1．待定系数法求反比例函数解析式；2．待定系数法．
三、解答题(共66分)
19、（1）1，-1，1；（2）；（3）最大值为，点.
【分析】（1）将代入求得k值，求得点A的坐标，再将A、B的坐标代入即可求得答案；
（2）在图象上找出抛物线在直线下方自变量的取值范围即可；
（3）设点P的坐标为 ，则点Q的坐标为，求得的长，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）∵直线经过点，
∴，
解得：，
∵直线与x轴交于点A，
令，则，
点A的坐标为，
∵抛物线与直线相交于两点，
∴，
解得：，
故答案为：，，；
（2）∵抛物线与直线相交于A，两点，
观察图象，抛物线在直线下方时，，
∴当时，则的取值范围为：，
故答案为：；
（3）过点P作y轴的平行线交直线于点Q，
设点P的坐标为 ，则点Q的坐标为，
∴，
，
∴，
当时，的面积有最大值为，此时P点坐标为；
故答案为：面积有最大值为，P点坐标为；
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用数形结合的思想解决数学问题．
20、饲养室的最大面积为75平方米
【分析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3-3x=30-3x，表示出总面积S=x（30-3x）=-3x2+30x=-3（x-5）2+75即可求得面积的最值
【详解】设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x=30﹣3x，
则总面积S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型．
21、（1）；（2）
【分析】（1）分别计算平方根、绝对值、特殊角的三角函数值，然后根据实数的运算法则计算即可.
（2）利用完全平方公式及单项式乘多式展开后，合并同类项即可.
【详解】（1）﹣|﹣3|+ cs60°
（2）
本题考查了实数的运算，整式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键.
22、
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值、二次根式化简等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：原式＝3+﹣2×+1
＝
本题是一道关于零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值、二次根式化简等知识点的计算题目，熟记各知识点是解题的关键.
23、（1）； （2）.
【分析】（1）根据题意连接，利用圆的切线定理和平行四边形性质以及等腰直角三角形性质进行综合分析求解；
（2）根据题意连接，，过点O作于点H ，证明是等腰直角三角形，利用三角函数值进行分析求解即可.
【详解】解：（1）连接，如下图，
∵是圆的切线，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，又，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，，过点O作于点H ，如下图，
∵ ，
∴，
∵，
∴也是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
本题考查圆的综合问题，熟练掌握切线和平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质是解题的关键.
24、（1）点P的坐标（1，﹣4）；（2）△OPQ的面积与△OAQ的面积之比为1．
【分析】（1）过Q作QC⊥x轴于C，先求得AC＝QC＝2、AQ＝2、AP＝4，然后再由AB∥CQ，运营平行线等分线段定理求得OA的长，最后结合AP=4即可解答；
（2）先说明△OAB∽△OCQ，再根据相似三角形的性质求得AB和PB的长，然后再求出△OPQ和△OAQ的面积，最后作比即可．
【详解】解：（1）过Q作QC⊥x轴于C，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴∠PAQ＝∠CAQ＝41°，
∴AC＝QC＝2，AQ＝2，AP＝4，
∵AB∥CQ，
∴，
∴OA＝AC＝1，
∴点P的坐标（1，﹣4）；
（2）∵AB∥CQ，
∴△OAB∽△OCQ，
∴，
∴AB＝CQ＝，
∴PB＝，
∴S△OAQ＝OA•CQ＝×1×2＝1，S△OPQ＝PB•OA+PB•AC＝1，
∴△OPQ的面积与△OAQ的面积之比＝1．
本题考查了一次函数的图像、相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理以及三角形的面积，掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．
25、（1）1；（2）
【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围，进而得出a的最小整数值；
（2）利用根与系数的关系得出x1+x2和x1x2，进而得出关于a的一元二次方程求出即可．
【详解】（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
，，，
∴，且，
∴，
故的最小整数值为1；
（2）由题意：，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理，得：，
解之，得：，满足，
故的值为：．
本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
26、见解析
【分析】物业管理处P到B，A的距离相等，那么应在BA的垂直平分线上，到A，C的距离相等，应在AC的垂直平分线上，那么到A区、B区、C区的距离相等的点应是这两条垂直平分线的交点；
【详解】解：如图所示：
本题主要考查了作图—应用与设计作图，掌握作图—应用与设计作图是解题的关键.