专题1.2 直线的方程（8类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc13572" 【考点1：点斜式方程】 PAGEREF _Tc13572 \h 1
\l "_Tc9811" 【考点2：斜截式方程】 PAGEREF _Tc9811 \h 2
\l "_Tc16487" 【考点3：两点式方程】 PAGEREF _Tc16487 \h 3
\l "_Tc2720" 【考点4：截距式方程】 PAGEREF _Tc2720 \h 5
\l "_Tc14042" 【考点5：一般式方程】 PAGEREF _Tc14042 \h 8
\l "_Tc29857" 【考点6：直线过定点问题】 PAGEREF _Tc29857 \h 9
\l "_Tc19232" 【考点7：两条直线平行的判定及应用】 PAGEREF _Tc19232 \h 11
\l "_Tc8578" 【考点8：两条直线垂直的判定及应用】 PAGEREF _Tc8578 \h 13
【考点1：点斜式方程】
【知识点：点斜式方程】
1．（2023秋•天津期末）经过点A（0，﹣3）且斜率为2的直线方程为（ ）
A．2x﹣y﹣3＝0B．2x+y+3＝0C．x﹣2y﹣6＝0D．x+2y+6＝0
【分析】直接代入点斜式方程求解即可．
【解答】解：因为直线经过点A（0，﹣3）且斜率为2，
所以直线的方程为y+3＝2（x﹣0），
即2x﹣y﹣3＝0，
故选：A．
2．（2022春•满洲里市校级期末）已知直线l的倾斜角为60°，且经过点（0，1），则直线l的方程为（ ）
A．y=3xB．y=3x−2C．y=3x+1D．y=3x+3
【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可．
【解答】解：由题意知：直线l的斜率为3，则直线l的方程为y=3x+1．
故选：C．
3．（2021秋•湖南期中）过点（1，﹣1）且方向向量为（﹣2，3）的直线的方程为（ ）
A．3x﹣2y﹣5＝0B．2x﹣3y﹣5＝0C．3x+2y﹣1＝0D．2x+3y+1＝0
【分析】直接利用直线的斜率和方向向量的关系和点斜式求出直线的方程．
【解答】解：过点（1，﹣1）且方向向量为（﹣2，3）的直线方程为y+1=−32(x−1)，
整理得：3x+2y﹣1＝0．
故选：C．
4．（2021秋•宜春期末）已知直线的倾斜角α＝30°，且过点A（4，3），则该直线的方程为 3x﹣3y+9﹣43=0 ．
【分析】根据直线的倾斜角求出斜率，再根据点斜式写出直线方程，化为一般式方程．
【解答】解：直线的倾斜角α＝30°，所以直线的斜率为k＝tan30°=33，
又因为直线过点A（4，3），
所以直线的方程为y﹣3=33（x﹣4），
3x﹣3y+9﹣43=0．
故答案为：3x﹣3y+9﹣43=0．
【考点2：斜截式方程】
【知识点：斜截式方程】
1．（2021秋•揭东区期末）倾斜角为45°，在y轴上的截距为2022的直线方程是（ ）
A．x﹣y+2022＝0B．x﹣y﹣2022＝0C．x+y﹣2022＝0D．x+y+2022＝0
【分析】根据已知条件，结合斜率与倾斜角的关系，以及截距的定义，即可求解．
【解答】解：∵所求直线的倾斜角为45°，∴k＝tan45°＝1，
∵所求直线在y轴上的截距为2022，
∴直线方程为x﹣y+2022＝0．
故选：A．
2．（2022春•黄浦区校级月考）已知直线在l在y轴上的截距为4，倾斜角为α，且sinα=45，则直线l的斜截式方程为 y=±43x+4 ．
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系，求得直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程．
【解答】解：∵直线在l在y轴上的截距为4，倾斜角为α，且sinα=45，
∴csα＝±1−sin2α=±35，斜率tanα=sinαcsα=±43，
∴直线l的斜截式方程为y=±43x+4，
故答案为：y=±43x+4．
3．（2022春•儋州校级期中）已知直线l的斜率为−43，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程．
【分析】设直线l的方程为：y=−43x+b，求得其与坐标轴的交点坐标，代入面积公式可求b的值，从而得到直线l的方程．
【解答】解：设直线l的方程为：y=−43x+b，
所以直线l与两坐标轴的交点坐标分别为（0，b），（34b，0），
由题意可得12×|b|×|34b|＝6，
解得b＝±4，
所以直线l的方程为：y=−43x±4．
【考点3：两点式方程】
【知识点：两点式方程】
1．（2021秋•福建月考）经过点P1（3，﹣2），P2（5，﹣4）的直线方程是（ ）
A．x﹣y﹣5＝0B．x﹣y﹣1＝0C．x+y﹣5＝0D．x+y﹣1＝0
【分析】根据已知条件，结合斜率公式，以及直线的点斜式公式，即可求解．
【解答】解：∵P1（3，﹣2），P2（5，﹣4），
∴k=−2−(−4)3−5=−1，
∴所求直线的方程为y﹣（﹣2）＝﹣（x﹣3），即x+y﹣1＝0．
故选：D．
2．（2021秋•昌平区校级期中）经过M（3，2）与N（6，2）两点的直线的方程为（ ）
A．x＝2B．y＝2C．x＝3D．x＝6
【分析】利用直线的两点式即可求解．
【解答】解：经过M（3，2）与N（6，2）两点的直线的方程为y−2x−3=2−26−3，即y＝2．
故选：B．
3．（2021秋•合肥期末）已知点A（3，2），B（﹣1，4），则经过点C（2，5）且经过线段AB的中点的直线方程为（ ）
A．2x+y﹣1＝0B．2x﹣y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0
【分析】由题意，利用线段的中点公式求得线段AB的中点M的坐标，再利用两点式求出直线的方程．
【解答】解：∵点A（3，2），B（﹣1，4），∴线段AB的中点M（1，3），
则经过点C（2，5）且经过线段AB的中点M（1，3）的直线方程为 y−35−3=x−12−1，
即 2x﹣y+1＝0，
故选：C．
4．（2022春•汉中期中）已知直线l过点G（1，﹣3），H（﹣2，1），则直线l的方程为 4x+3y+5＝0 ．
【分析】根据两点的坐标求得直线l的斜率，再由点斜式写出直线方程即可．
【解答】解：直线l的斜率为−3−11−(−2)=−43，
所以直线l的方程为y﹣1=−43（x+2），即4x+3y+5＝0．
故答案为：4x+3y+5＝0．
5．（2021秋•宜春期末）已知三角形的三个顶点A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），求：
（1）AC边所在直线的方程
（2）BC边上中线所在直线的方程．
【分析】（1）根据直线方程的截距式方程列式，化简即得AC边所在直线的方程；
（2）由线段的中点坐标公式，算出BC中点D的坐标，从而得到直线AD的斜率k=−113，再由直线方程的点斜式列式，化简即得BC边上中线所在直线的方程．
【解答】解：（1）∵A（﹣5，0）、C（0，2），
∴直线AC的截距式方程为x−5+y2=1，化简得2x﹣5y+10＝0
即AC边所在直线的方程为：2x﹣5y+10＝0；
（2）∵B（3，﹣3），C（0，2），
∴BC中点为D（32，−12），
直线AD的斜率为k=−12−032+5=−113
因此，直线AD的方程为y=−113（x+5），
化简得x+13y+5＝0，即为BC边上中线所在直线的方程．
【考点4：截距式方程】
【知识点：截距式方程】
（多选）1．（2020秋•博兴县期中）已知直线l过点P（2，4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为（ ）
A．x﹣y+2＝0B．x+y﹣6＝0C．x＝2D．2x﹣y＝0
【分析】分直线l过原点与不过原点两类讨论，当直线过原点时，直接写出直线方程，当直线不过原点时，设出直线的截距式方程x+y＝m，代入P点坐标求得m值，则直线方程可求．
【解答】解：当直线l过原点时，直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；
当直线l不过原点时，设直线方程为x+y＝m，则m＝2+4＝6，
∴直线方程为x+y﹣6＝0．
∴直线l的方程可能为2x﹣y＝0或x+y﹣6＝0．
故选：BD．
2．（2022•成都模拟）已知a＞0，b＞0，直线xa+y=b在x轴上的截距为1，则a+9b的最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．10
【分析】由已知求得ab＝1，再由基本不等式求a+9b的最小值．
【解答】解：由直线xa+y=b在x轴上的截距为1，得ab＝1，
又a＞0，b＞0，∴a+9b≥29ab=6，
当且仅当a＝9b，即a＝3，b=13时等号成立．
故选：B．
3．（2021秋•湖北期末）过点（1，2）作直线l，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l有（ ）条．
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用直线的截距式求出直线的方程．
【解答】解：过点（1，2）作直线l，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线，
设经过原点时，y＝kx，
故直线的方程为y＝2x；
当不经过原点时，设直线的方程为x|a|+y|a|=1，整理得a＝±3；
所以直线的方程为x+y+3＝0或x+y﹣3＝0或x﹣y+3＝0．
满足的直线有x+y﹣3＝0．
故直线有2条；
故选：B．
4．（2020秋•瑶海区校级期中）过点A（3，﹣1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是 x+3y＝0，或x+y﹣2＝0 ．
【分析】分类讨论，用待定系数法求得要求的直线的方程．
【解答】解：当过点A（3，﹣1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线经过原点时，
它的斜率为−13=−13，它的方程是y=−13x，即x+3y＝0．
当过点A（3，﹣1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线不经过原点时，
设它方程为x+y＝k，把点A代入，可得3﹣1＝k，求得k＝2，它的方程是x+y﹣2＝0．
综上，所求的直线的方程为 x+3y＝0，或x+y﹣2＝0，
故答案为：x+3y＝0，或x+y﹣2＝0．
5．（2021春•玉林月考）已知直线mx+3y﹣12＝0在两个坐标轴上截距之和为7，则实数m的值为 4 ．
【分析】由已知分别求出直线在坐标轴上截距，建立关于m的方程即可求解．
【解答】解：因为直线mx+3y﹣12＝0在两个坐标轴上截距之和为7，
故m≠0，
所以4+12m=7，
所以m＝4．
故答案为：4．
6．（2022•庐阳区校级开学）经过点A（﹣3，4）且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的方程 y=−43x或x+2y﹣5＝0 ．
【分析】根据题意，设直线在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距为2b，可分两类情况即b＝0和b≠0讨论可解．
【解答】解：∵直线在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，设直线在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距为2b，
①b＝0时，即直线过原点，可设直线方程为y＝kx，又经过点A（﹣3，4），
则直线方程为：y=−43x，
②当b≠0时，设直线方程为x2b+yb=1，又直线过A（﹣3，4），
则直线方程为：x+2y﹣5＝0，
故答案为：y=−43x或x+2y﹣5＝0．
7．（2021秋•湖州期中）已知直线l经过点P（4，6）．
（Ⅰ）当l在两坐标轴上的截距相等时，求l的方程；
（Ⅱ）若l与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，当三角形AOB的面积最小时，求l的方程．
【分析】（Ⅰ）l在两坐标轴上的截距相等，当直线不经过原点时，设它的方程为x+y＝n，把点P（4，6）代入，能求出l的方程；当直线过原点时，设它的方程为y＝kx，把点P（4，6）代入，能求出l的方程，由此能求出直线l的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为xa+yb=1(a＞0，b＞0)，则4a+6b=1，从而1≥24a⋅6b，ab≥96，由此能求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）∵l在两坐标轴上的截距相等，
当直线不经过原点时，设它的方程为x+y＝n，把点P（4，6）代入可得n＝10，
故l的方程为x+y＝10，即x+y﹣10＝0．……………………………（3分）
当直线过原点时，设它的方程为y＝kx，把点P（4，6）代入可得k=32，
故l的方程为y=32x，即3x﹣2y＝0．……………………………………（5分）
综上可得，直线l的方程为x+y﹣10＝0或3x﹣2y＝0．
（Ⅱ）设直线l的方程为xa+yb=1(a＞0，b＞0)，则4a+6b=1．………..（6分）
∴1≥24a⋅6b得ab≥96，当且仅当a＝8，b＝12时，等号成立，………..（8分）
此时△AOB面积最小，最小值为48．
∴直线l的方程为x8+y12=1，即3x+2y﹣24＝0．…………………（10分）
【考点5：一般式方程】
【知识点：一般式方程】
一般式方程：Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
1．（2021秋•潍坊月考）已知直线l：3x−y+3=0，下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角为π6
B．直线l的法向量为(3，1)
C．直线l的方向向量为(1，3)
D．直线l的斜率为−3
【分析】结合已知直线方程，分别求出直线的斜率，倾斜角及方向向量，法向量，然后检验各选项即可判断．
【解答】解：由题意可得直线的斜率k=3，故直线的倾斜角π3，AD错误，C正确；
与l垂直的直线斜率−33，
所以与l垂直的直线的一个方向向量为（1，−33），
又（3，1）与（1，−33）不平行，B错误．
故选：C．
2．（2021秋•荔湾区校级期末）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，0），直线l的一般式方程是 ．
【分析】利用中点坐标公式可得P，Q，再利用斜率的计算公式即可得出直线l的斜率，从而求出直线l的方程．
【解答】解：由题意，设P（x，1），Q（7，y），
∵线段PQ的中点坐标为（1，0），
∴x+72=11+y2=0，解得x＝﹣5，y＝﹣1，∴P（﹣5，1），
∴直线l的斜率=1−0−5−1=−16，
故直线l的方程为y﹣0=−16（x﹣1），即x+6y﹣1＝0，
故答案为：x+6y﹣1＝0．
3．（2021秋•南江县校级月考）已知A（1，2），B（3，4）．
（1）求直线AB的一般式方程；
（2）在x轴上求一点P，使得△PAB的面积为8，求P点坐标．
【分析】（1）根据已知条件，结合斜率公式，以及直线的点斜式方程，即可求解．
（2）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵A（1，2），B（3，4），
∴kAB=4−23−1=1，
故直线AB方程为y﹣2＝x﹣1，即x﹣y+1＝0．
（2）∵A（1，2），B（3，4），
∴|AB|=(1−3)2+(2−4)2=22，
设点P（t，0），
则P到直线AB的距离d=|t+1|2，
∵△PAB的面积为8，
∴12×22×|t+1|2=8，解得t＝7或t＝﹣9，
故P点坐标为（7，0）或（﹣9，0）．
【考点6：直线过定点问题】
【知识点：直线过定点问题】
1．（2022春•达州期末）直线（a﹣1）x﹣（a+1）y+2＝0恒过定点（ ）
A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）
【分析】根据直线的方程，建立二元一次方程组，再求出定点的坐标．
【解答】解：直线（a﹣1）x﹣（a+1）y+2＝0，
整理得a（x﹣y）﹣（x+y+2）＝0；
故x−y=0x+y+2=0，解得x=1y=1，
故恒过定点（1，1）．
故选：A．
2．（2022春•海淀区校级月考）不论m为何实数，直线x﹣2my﹣1+3m＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ）
A．（1，0）B．（2，3）C．（3，2）D．(1，32)
【分析】直线x﹣2my﹣1+3m＝0，即x﹣1+m（3﹣2y）＝0，由此能求出不论m为何实数，直线x﹣2my﹣1+3m＝0恒过定点的坐标．
【解答】解：直线x﹣2my﹣1+3m＝0，即x﹣1+m（3﹣2y）＝0，
令y=32，解得x＝1，可得它恒过一个定点(1，32)，
∴不论m为何实数，直线x﹣2my﹣1+3m＝0恒过一个定点，
则这个定点的坐标为（1，32）．
故答案为：D．
3．（2022•徐汇区校级开学）设直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0过定点P，则点P的坐标为 （0，2） ．
【分析】将直线转化为k（y﹣2）+2x﹣3y+6＝0，令2x−3y+6=0y−2=0，即可求解．
【解答】解：直线2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0，即k（y﹣2）+2x﹣3y+6＝0，
令2x−3y+6=0y−2=0，解得x＝0，y＝2，
故点P的坐标为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
4．（2022•安徽开学）直线l：（2m+1）x+（m+1）y＝3m+2（m∈R）经过的定点坐标是 （1，1） ．
【分析】将直线l转化为m（2x+y﹣3）+x+y﹣2＝0，令2x+y−3=0x+y−2=0，即可求解．
【解答】解：直线l：（2m+1）x+（m+1）y＝3m+2，即m（2x+y﹣3）+x+y﹣2＝0，
令2x+y−3=0x+y−2=0，解得x＝1，y＝1，
故直线l经过的定点坐标为（1，1）．
故答案为：（1，1）．
5．（2022•成都开学）（1）已知直线l的方程为ax+（a﹣1）y+3＝0，求直线l恒过定点的坐标；
（2）已知点A（﹣2，3），B（3，﹣1），M（1，﹣2），若过点M的直线l与线段AB有公共交点，求直线l的斜率k的取值范围．
【分析】（1）由已知结合直线系方程可求；
（2）先求出kMA，kMB，然后结合直线的位置关系可求．
【解答】解：（1）由已知可得ax+ay﹣y+3＝0，即a（x+y）﹣y+3＝0，
则x+y=0−y+3=0，
解得x＝﹣3，y＝3，
所以直线l恒过定点（﹣3，3）；
（2）因为kMA=3+2−2−1=−53，kMB=−2+11−3=12，
由过点M的直线l与线段AB有公共交点得k≤−53或k≥12，
故k的取值范围为{k|k≤−53或k≥12}．
【考点7：两条直线平行的判定及应用】
【知识点：两条直线平行的判定及应用】
1．（2022•镇江开学）经过点（﹣3，1），且平行于直线y＝3x的直线方程为（ ）
A．3x﹣y﹣10＝0B．3x﹣y+10＝0C．x+3y＝0D．x﹣3y＝0
【分析】由题意可设，所求直线方程为y＝3x+b，将点（﹣3，1）代入该直线，即可求解．
【解答】解：由题意可设，所求直线方程为y＝3x+b，
∵所求直线经过点（﹣3，1），
∴1＝3×（﹣3）+b，解得b＝10，
故所求直线方程为y＝3x+10．
故选：B．
2．（2022春•自贡期末）若直线x+ay﹣2＝0与直线a2x+y+1＝0平行，则a＝（ ）
A．﹣1或0B．﹣1C．1或0D．1
【分析】分a＝0和a≠0两种情况求解，根据两直线平行时的斜率关系即可求出a的值．
【解答】解：当a＝0时，两直线分别为x﹣2＝0，y+1＝0，此时两直线垂直，不平行，不合题意，
当a≠0时，因为直线x+ay﹣2＝0与直线a2x+y+1＝0平行，
所以1a2=a1≠−21，解得a＝1，
综上，a＝1，
故选：D．
3．（2022春•新邵县校级月考）已知直线y＝mx﹣2与直线x+ny＝0平行，则m，n的关系为（ ）
A．mn＝lB．mn+1＝0C．m﹣n＝0D．m﹣n+1＝0
【分析】根据题意，将直线的方程变形为一般式方程，由直线平行的判断方法分析mn的关系，即可得答案．
【解答】解：根据题意，直线y＝mx﹣2，即mx﹣y﹣2＝0，
若直线y＝mx﹣2与直线x+ny＝0平行，则有mn﹣（﹣1）＝0，即mn+1＝0，
故选：B．
4．（2022•临澧县校级开学）已知直线l：mx+y﹣1＝0，直线n：2x+（m﹣1）y+2＝0，若l∥n，则实数m＝ 2 ．
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：直线l：mx+y﹣1＝0，直线n：2x+（m﹣1）y+2＝0，l∥n，
则2m=m−11≠2−1，解得m＝2．
故答案为：2．
5．（2021秋•成都期末）已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．
（Ⅰ）求AC边所在的直线方程；
（Ⅱ）求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线l的方程．
【分析】（Ⅰ）由A、C两点坐标可以写出直线AC斜率，再代入A、C中的一个点就可以求出AC方程．（Ⅱ）求出AB中点，l与AC平行，从而斜率相等，即可设出l，代入A、C中点求得l．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知AC斜率为k=3−00−4=−34，所以AC边所在直线方程为y﹣0=−34（x﹣4），即3x+4y﹣12＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知l可设为3x+4y+m＝0，又AB边中点为（5，72），将点（5，72）代入直线l的方程得3×5+4×72+m＝0，解得m＝﹣29，所以l方程为3x+4y﹣29＝0．
6．（2021秋•泰州期末）已知两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．设m为实数，分别根据下列条件求m的值．
（1）l1∥l2；
（2）直线l2在x轴、y轴上截距之和等于6．
【分析】（1）根据已知条件，结合两直线平行的公式，即可求解．
（2）根据已知条件，分别令直线l2中的x＝0，y＝0，结合直线l2在x轴、y轴上截距之和等于6，即可求解．
【解答】解：（1）∵l1//l2，l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，
∴（3+m）×（5+m）＝4×2，∴m＝﹣7，m＝﹣1，
当m＝﹣7时，l1：2x﹣2y+13＝0，l2：x﹣y﹣4＝0，此时l1//l2，
当m＝﹣1时，l1：x+2y﹣4＝0，l2：x+2y﹣4＝0，此时l1，l2重合，
∴m＝﹣7．
（2）l2：2x+（5+m）y＝8，
令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y=85+m，
直线l1在x轴、y轴上截距之和等于6，
∴4+85+m=6，解得m＝﹣1．
【考点8：两条直线垂直的判定及应用】
【知识点：两条直线垂直的判定及应用】
1．（2022•辽宁开学）已知直线l经过点A（0，4），且与直线2x﹣y﹣3＝0垂直，则直线l的方程是（ ）
A．2x﹣y+4＝0B．x+2y+8＝0C．2x﹣y﹣4＝0D．x+2y﹣8＝0
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，求出直线l的斜率，再结合直线l经过点A（0，4），即可求解．
【解答】解：∵直线l与直线2x﹣y﹣3＝0垂直，
∴直线l的斜率为−12=−12，
∵直线l经过点A（0，4），
∴y=−12x+4，即x+2y﹣8＝0．
故选：D．
2．（2022春•南充期末）“m＝1”是“直线l1：（m﹣4）x+my+1＝0与直线l2：mx+（m+2）y﹣2＝0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用直线垂直的性质列出方程求出m，再根据充要条件的定义判断即可．
【解答】解：∵直线l1：（m﹣4）x+my+1＝0与直线l2：mx+（m+2）y﹣2＝0互相垂直，
∴（m﹣4）m+m（m+2）＝0，∴2m2﹣2m＝0，∴m＝0或m＝1，
∴m＝1是直线l1：（m﹣4）x+my+1＝0与直线l2：mx+（m+2）y﹣2＝0互相垂直的充分不必要条件，
故选：A．
3．（2022•成都开学）已知直线l1：2sinαx+y﹣1＝0，直线l2：x﹣csαy+1＝0，若l1⊥l2，则tanα＝（ ）
A．−12B．12C．2D．﹣2
【分析】结合直线垂直的条件及同角基本关系即可求解．
【解答】解：因为l1：2sinαx+y﹣1＝0，直线l2：x﹣csαy+1＝0，l1⊥l2，
所以2sinα﹣csα＝0，
则tanα=12．
故选：B．
4．（2022春•澄城县期末）已知直线l1：（m+2）x﹣（m﹣2）y+2＝0，直线l2：3x+（m+2）y﹣5＝0，若l1⊥l2，则m＝（ ）
A．2或﹣5B．﹣2或﹣5C．2或5D．﹣2或5
【分析】直接根据两条直线垂直的等价条件求m的值．
【解答】解：由题意知，l1⊥l2，则3（m+2）+[﹣（m﹣2）]×（m+2）＝0；
解得，m＝5或﹣2．
故选：D．
5．（2022春•达州期末）已知直线l经过点P（2，4）．
（1）若点Q（1，1）在直线l上，求直线l的方程；
（2）若直线l与直线4x﹣3y＝0垂直，求直线l的方程．
【分析】（1）根据已知条件，结合直线的斜率公式，求出斜率k，再结合直线的点斜式公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线l经过点P（2，4），即可求解．
【解答】解：（1）直线l经过点Q（1，1）和点P（2，4），
则直线l的斜率k=4−12−1=3，
故直线l的方程为y﹣1＝3（x﹣1），即y＝3x﹣2．
（2）∵直线l与直线4x﹣3y＝0垂直，
∴可设直线l的方程为3x+4y+m＝0，
∵直线l过点P（2，4），
∴3×2+4×4+m＝0，解得m＝﹣22，
∴直线l的方程为3x+4y﹣22＝0．
6．（2021秋•杨陵区校级期末）已知直线l：3x+4y﹣7＝0．
（1）求直线l的斜率和在y轴上的截距；
（2）若直线m与l垂直，且过点P（﹣2，5），求m的方程．
【分析】（1）直接利用直线的方程求出直线的斜率和截距；
（2）利用直线垂直的充要条件求出直线的斜率，进一步利用点斜式求出直线的方程．
【解答】解：（1）由l：3x+4y﹣7＝0可得：y=−34x+74，
∴斜率为−34；截距为74；
（2）由直线m与l垂直得：k=43，且过点P（﹣2，5），
可得m的方程为y−5=43(x+2)，
整理得4x﹣3y+23＝0．
7．（2021秋•任丘市校级期末）已知直线l过点P（3，4）．
（1）若直线与直线4x﹣3y+5＝0垂直，求直线l的方程；
（2）若直线l在两坐标轴的截距相等，求直线l的方程．
【分析】（1）由已知条件可设直线l的方程为3x+4y+m＝0，再将点P（3，4）代入，即可求解．
（2）根据已知条件，分直线l过原点，直线l不过原点两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）∵直线l与直线4x﹣3y+5＝0垂直，
∴可设直线l的方程为3x+4y+m＝0，
∵直线l过点P（3，4），
∴3×3+4×4+m＝0，解得m＝﹣25，
故直线l的方程为3x+4y﹣25＝0．
（2）当直线l过原点时，斜率为43，由点斜式可得直线l的方程为y=43x，即4x﹣3y＝0，
当直线l不过原点时，设直线l的方程为x+y＝a，
∵直线l过点P（3，4），
∴a＝7，x+y﹣7＝0，
综上所述，所求直线l的方程为4x﹣3y＝0或x+y﹣7＝0．
8．（2021秋•武汉期末）已知直线l1：3x+2y+6＝0，直线l2：2x﹣3m2y+18＝0，直线l3：2mx﹣3y+12＝0．
（1）若l1与l2的倾斜角互补，求m的值；
（2）当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形．
【分析】（1）由l1与l2的倾斜角互补，列式求解m值即可；
（2）根据题意，让每两条直线分别垂直，由垂直充要条件，得到关于m的方程，再求出m的值．
【解答】解：（1）直线l1：3x+2y+6＝0的斜率为−32，
直线l2：2x﹣3m2y+18＝0的斜率为23m2，
∵l1与l2的倾斜角互补，∴−32+23m2=0，解得m=±23；
（2）由题意，若3x+2y+6＝0和2x﹣3m2y+18＝0垂直，
则3×2+2×（﹣3m2）＝0，解得m＝±1，
经验证当m＝1时，后面两条直线平行，构不成三角形，故m＝﹣1；
同理，若3x+2y+6＝0和2mx﹣3y+12＝0垂直
则6m﹣6＝0，解得m＝1，应舍去；
若2x﹣3m2y+18＝0和2mx﹣3y+12＝0垂直，
则4m+9m2＝0，解得m＝0或m=−49，经验证均符合题意，
故m的值为：0，﹣1，−49．形式
几何条件
方程
适用范围
点斜式
过一点(x0，y0)，斜率k
y－y0＝k(x－x0)
与x轴不垂直的直线
形式
几何条件
方程
适用范围
斜截式
纵截距b，斜率k
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
形式
几何条件
方程
适用范围
两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与x轴、y轴均不垂直的直线
形式
几何条件
方程
适用范围
截距式
横截距a，纵截距b
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
l1与l2平行
的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
l1与l2重合
的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
l1与l2垂直
的充要条件
A1A2＋B1B2＝0