专题1.5 直线与圆、圆与圆的位置（7类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h \l "_Tc9359" 【考点1：直线与圆的位置关系的判断及求参】 PAGEREF _Tc9359 \h 1
\l "_Tc29207" 【考点2：直线与圆位置关系中的最值问题】 PAGEREF _Tc29207 \h 3
\l "_Tc23739" 【考点3：直线与圆的交点坐标、弦长】 PAGEREF _Tc23739 \h 5
\l "_Tc25812" 【考点4：圆的切线方程、切点坐标、切线长】 PAGEREF _Tc25812 \h 8
\l "_Tc19724" 【考点5：圆与圆的位置关系的判断及求参】 PAGEREF _Tc19724 \h 11
\l "_Tc18841" 【考点6：圆的公共弦、公切线】 PAGEREF _Tc18841 \h 13
\l "_Tc3624" 【考点7：圆与圆位置关系中的最值问题】 PAGEREF _Tc3624 \h 16
【考点1：直线与圆的位置关系的判断及求参】
【知识点：直线与圆的位置关系的判断及求参】
①直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．
②两种研究方法
1．（2023秋•昭阳区校级月考）直线3x+4y﹣5＝0与圆x2+y2＝1的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法判断
【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离d，可判断直线与圆相切．
【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径r＝1，
所以圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5＝0的距离d=532+42=1＝r，
所以直线与圆相切，
故选：B．
2．（2021秋•上虞区期末）对任意实数k，直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．与k有关
【分析】将直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0化为（3x﹣y）k+2x﹣2＝0，求得直线过的定点，然后判断点与圆的位置关系即可．
【解答】解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5，则圆的圆心为（1，1），半径为5，
直线（3k+2）x﹣ky﹣2＝0可化为（3x﹣y）k+2x﹣2＝0，
由3x−y=02x−2=0，解得x=1y=3，
所以直线过定点（1，3），
因为（1﹣1）2+（3﹣1）2＝4＜5，
所以点（1，3）在圆内，
所以直线与圆相交．
故选：A．
3．（2022秋•大理市校级月考）若圆x2+y2＝1上总存在两个点到点（a，1）的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣22，0）∪（0，22）B．（﹣22，22）
C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，1）
【分析】求出圆的圆心与半径，利用两点间距离公式列出不等式求解即可．
【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心（0，0），半径为1，圆x2+y2＝1上总存在两个点到点（a，1）的距离为2，
可得：1＜(a−0)2+(1−0)2＜3，解得a∈（﹣22，0）∪（0，22）．
故选：A．
4．（2022春•信州区期末）已知直线y＝kx﹣2与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，则实数k的取值范围是（ ）
A．(−∞，34]B．(−∞，34)C．[34，+∞)D．(34，+∞)
【分析】由题意利用点到直线的距离小于半径，求出k的范围即可．
【解答】解：由题意可知圆的圆心坐标为（1，0），半径为1，
因为直线y＝kx﹣2与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，所以|k−2|1+k2＜1，
解得k∈（34，+∞）．
故选：D．
5．（2021秋•萍乡期末）若圆x2+y2﹣2x+4y﹣a＝0与直线（2m﹣1）x+my﹣3＝0始终有交点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣5，75）B．[75，+∞）C．（﹣5，+∞）D．（75，+∞）
【分析】由题意首先将圆的方程转化为标准方程，然后确定直线所过的定点，最后利用点与圆的位置关系即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：圆的方程即（x﹣1）2+（y+2）2＝a+5，
据此可得a+5＞0，∴a＞﹣5，
直线方程即m（2x+y）﹣（x+3）＝0，故直线恒过定点（﹣3，6），
满足题意时，定点应该在圆内或者圆上，
故（﹣3﹣1）2+（6+2）2≤a+5，即a≥75，
综上可得，实数a的取值范围是[75，+∞）．
故选：B．
6．（2022春•沙坪坝区校级期末）若圆x2+y2+2x+4y﹣3＝0上到直线x+2y+a＝0的距离等于2的点恰有3个，则实数a的值为 5+10或5−10 ．
【分析】首先将圆的方程整理为标准方程，然后结合圆的性质得到关于a的方程，解方程即可确定实数a的值．
【解答】解：圆的方程即（x+1）2+（y+2）2＝8，则圆的圆心为（﹣1，﹣2），半径为r=22，
则满足题意时，圆心到直线x+2y+a＝0的距离为2，
即|−1−4+a|1+4=2，解得：a=5±10．
故答案为：5+10或5−10．
【考点2：直线与圆位置关系中的最值问题】
【知识点：直线与圆位置关系中的最值问题】
1．（2022•西城区校级开学）过点（1，1）的直线l与圆C：x2﹣4x+y2＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是（ ）
A．2B．22C．32D．4
【分析】根据题意，设M（1，1），圆x2+y2﹣4x＝0的圆心为C，分析圆C的圆心以及半径，求出C到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得当d最大时，弦长|AB|最小，而d的最大值为|MC|，据此计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设M（1，1），圆C：x2+y2﹣4x＝0的圆心为C，
圆C：x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，圆心C为（2，0），半径r＝2，
圆心到直线l的距离为d，则|AB|=2×r2−d2=2×4−d2，
当d最大时，弦长|AB|最小，
∵M在圆C内部，故d的最大值为|MC|=1+1=2，
则|AB|的最小值为2×4−2=22，
故选：B．
2．（2021秋•六盘水月考）直线x+y+3＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣3）2+y2＝2上，则△ABP面积的最小值为（ ）
A．6B．62C．12D．122
【分析】根据题意，求出AB的长，再分析P到AB距离的最小值，由三角形面积公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，如图，直线x+y+3＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
则A（﹣3，0），B（0，﹣3），则|AB|＝32，
圆（x﹣3）2+y2＝2的圆心到直线x+y+3＝0的距离d=|3+3|2=32，
圆（x﹣3）2+y2＝2的半径为2，
则P到AB距离的最小值为32−2=22，
故△ABP面积的最小值S=12×32×22=6；
故选：A．
3．（2022春•秦州区校级期中）已知直线l：x﹣y+4＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，则C上各点到l的距离的最小值为 22−2 ．
【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，减去半径得答案．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
则圆心坐标为（1，1），半径为2，
∵圆心（1，1）到直线l：x﹣y+4＝0的距离d=|1−1+4|2=22＞2，
∴C上各点到l的距离的最小值为22−2．
故答案为：22−2．
【考点3：直线与圆的交点坐标、弦长】
【知识点：直线与圆的交点坐标、弦长】
1．圆弦长问题的两个主要考查角度
(1)已知直线与圆的方程求圆的弦长．
(2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等．
2．求解弦长问题的两个方法
1．（2022春•晋江市期末）直线l：3x+4y﹣1＝0被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0所截得的弦长为（ ）
A．25B．4C．23D．22
【分析】将圆C的方程化为标准形式，可得圆心坐标及半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理，得解．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0化为标准形式为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，
所以圆心C（1，2），半径为3，
所以点C到直线l：3x+4y﹣1＝0的距离为|3+8−1|32+42=2，
因此所求弦长为232−22=25．
故选：A．
2．（2021•武昌区模拟）若直线y＝kx+1与圆（x﹣2）2+y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k的取值范围是（ ）
A．（0，43）B．（−14，43）C．（0，34）D．（−14，34）
【分析】由题意画出图形，求出直线过P与A两点时的斜率，再求出直线与圆相切时的斜率，数形结合得答案．
【解答】解：直线y＝kx+1过定点P（0，1），作出直线与圆如图：
当直线过P（0，1）与A（4，0）时，k=−14；
由圆心（2，0）到直线kx﹣y+1＝0的距离等于2，得|2k+1|k2+1=2，解得k=34．
∴若直线y＝kx+1与圆（x﹣2）2+y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，
则k的取值范围是（−14，34）．
故选：D．
3．（2022春•越秀区校级月考）已知直线x+y﹣5＝0与圆C：x2+y2﹣4x+2y+m＝0相交于A，B两点，且|AB|＝4，则数m＝（ ）
A．﹣9B．﹣19C．﹣4D．﹣7
【分析】由直线与圆相交弦长计算半径，然后求解．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x+2y+m＝0，可化为（x﹣2）2+（y+1）2＝5﹣m，
圆心（2，﹣1）到直线x+y﹣5＝0的距离为：d=42=22，
|AB|=4=2r2−d2，故r2＝12＝5﹣m，得m＝﹣7，
故选：D．
4．（2022•温江区模拟）直线mx﹣y﹣4m+1＝0与圆x2+y2＝25相交，所得弦长为整数，这样的直线有（ ）条
A．10B．9C．8D．7
【分析】由直线的方程可得过的定点的坐标，求出圆心到直线的距离d，可得最短的弦长，最长的弦长，求出在这之间的弦长的值，并求出直线的条数．
【解答】解：直线mx﹣y﹣4m+1＝0过定点（4，1），圆半径为5，圆心到直线的距离d=|4m−1|1+m2，
最短弦长为2r2−d2=25−17=32∈（5，6），恰有一条，但不是整数；
最长的弦长为直径10，也恰有1条；
弦长为6，7，8，9的直线各有2条，
所以共有9条，
故选：B．
5．（2022春•奉贤区校级期末）已知直线l：2mx﹣y﹣8m﹣3＝0和圆C：x2+y2﹣6x+12y+20＝0，m＝ −16 时，l被C截得的弦长最短．
【分析】由题意，根据直线l：2mx﹣y﹣8m﹣3＝0恒过P（4，﹣3），且当PC⊥l时弦AB的长度最短，结合直线垂直时斜率的关系求解即可．
【解答】解：圆的C方程可化为：（x﹣3）2+（y+6）2＝25，直线l：2mx﹣y﹣8m﹣3＝0，即2m（x﹣4）﹣（y+3）＝0恒过P（4，﹣3），
如图所示，当圆心C（3，﹣6）到直线l的距离最大时，弦AB的长度最短，
此时PC⊥l，又kPC=−3+64−3=3，所以直线l的斜率为−13，则2m=−13，∴m=−16，
故答案为：−16．
6．（2022春•兴庆区校级期中）已知直线l：kx﹣y+2k＝0，则圆x2+2x+y2+4y﹣4＝0截直线l所得的弦长的最小值是 4 ；直线l与曲线y=3−4x−x2有两个公共点，则实数k的取值范围是 （6−216，12] ．
【分析】由直线系方程可得直线l所过定点，求出定点到圆心的距离，再由垂径定理求弦长的最小值；把曲线方程变形，画出图形，数形结合求解实数k的取值范围．
【解答】解：直线l：kx﹣y+2k＝0过定点P（﹣2，0），
圆x2+2x+y2+4y﹣4＝0化为（x+1）2+（y+2）2＝9，圆心坐标为（﹣1，﹣2），
点P（﹣2，0）在圆内部，P到圆心的距离为(−2+1)2+22=5，
∴圆x2+2x+y2+4y﹣4＝0截直线l所得的弦长的最小值是29−5=4；
曲线y=3−4x−x2化为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（y≤3），
如图：
A（4，3），P（﹣2，0），kAP=3−04−(−2)=12，
由|2k−3+2k|k2+1=2，解得k=6−216或k=6+216（舍去）．
∴实数k的取值范围是（6−216，12]．
故答案为：4；（6−216，12]．
【考点4：圆的切线方程、切点坐标、切线长】
【知识点：圆的切线方程、切点坐标、切线长】
1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
1．（2022•安徽开学）过点A（﹣1，﹣3）作圆x2﹣4x+y2﹣2y+1＝0的切线，切点为B，则|AB|＝（ ）
A．2B．5C．3D．21
【分析】连接圆心C和点A，则△ABC是直角三角形，根据勾股定理即可求切线长．
【解答】解：连接圆心C和点A，则△ABC是直角三角形，
由x2﹣4x+y2﹣2y+1＝0⇒（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
故圆的圆心为C（2，1），半径r＝2，
故|AB|=|AC|2−|BC|2=(−1−2)2+(−3−1)2−22=21．
故选：D．
2．（2022春•玉溪期末）已知直线l经过点P（1，3），且l与圆x2+y2＝10相切，则l的方程为（ ）
A．x+3y﹣10＝0B．x﹣3y+8＝0C．3x+y﹣6＝0D．2x+3y﹣11＝0
【分析】直线l经过点P（1，3），且l与圆x2+y2＝10相切可知kl=−1kp，再使用点斜式即可．
【解答】解：∵直线l经过点P（1，3），且l与圆x2+y2＝10相切，
∴kl=−1kp=−13−01−0=−13，
∴直线l的方程为y−3=−13(x−1)，
即x+3y﹣10＝0．
故选：A．
3．（2022•浙江模拟）已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1（a，b＞0）与x轴和y＝x+1均相切，则a＝ 2 ，b＝ 1 ．
【分析】根据点到直线的距离公式得到方程组，求解即可．
【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1（a，b＞0），圆心为（a，b），半径r＝1，
由题意得d=|a−b+1|12+12=b＝1，解得a=2b=1，
故答案为：2；1．
4．（2021秋•尧都区校级期末）过点（﹣2，2）作圆x2+（y+2）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 2x﹣4y﹣7＝0 ．
【分析】求出已知圆的圆心坐标，设C（0，﹣2），P（﹣2，2），可得以PC为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，即可得到直线AB的方程．
【解答】解：圆x2+（y+2）2＝1的圆心坐标为（0，﹣2），半径为1，
点（﹣2，2）在圆x2+（y+2）2＝1的外部，
设C（0，﹣2），P（﹣2，2），则以PC为直径的圆的方程为（x+1）2+y2＝5，
与圆x2+（y+2）2＝1联立，消去二次项，可得直线AB的方程为2x﹣4y﹣7＝0．
故答案为：2x﹣4y﹣7＝0．
5．（2022•扬州开学）过点A（﹣1，2）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的切线，切点为B，则线段AB的长为 3 ．
【分析】根据圆的切线的性质和勾股定理即可求得线段AB的长．
【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的圆心C（1，2），半径r＝1，
则|AC|=(−1−1)2+(2−2)2=2，
则|AB|=|AC|2−r2−22−12=3，
故答案为：3．
6．（2021秋•长寿区校级月考）圆O：x2+y2＝1，点P是直线3x+4y+15＝0上的一个动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则|AB|的最小值为 423 ．
【分析】由题意画出图形，可得|AB|最短时，|OP|最短，利用点到直线的距离公式求出|OP|的最小值，从而可得|AB|的最小值．
【解答】解：圆O：x2+y2＝1，圆心O（0，0），半径r＝1，
由于PA，PB分别切圆O于点A，B，则|PA|＝|PB|，
OA⊥PA，OB⊥PB，
所以S四边形APBO＝2S△AOP＝|OA||PA|，
因为|OA|＝|OB|＝r＝1，所以S四边形APBO＝|PA|，
又PO⊥AB，所以S四边形APBO=12|AB||OP|，
所以|PA|=12|AB||OP|，
即|AB|=2|PA||OP|=2|OP|2−|OA|2|OP|=2|OP|2−1|OP|=21−1|OP|2，
所以|AB|最短时，|OP|最短，
所以点O到直线3x+4y+15＝0的距离即为|OP|的最小值，
所以|OP|min=155=3，
所以|AB|的最小值为21−19=423，
故答案为：423．
7．（2022春•贵阳月考）已知圆M：（x﹣2）2+y2＝4，直线l：3x﹣4y+m＝0．若P∈l，过点P可作两条与圆M分别相切于A，B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为 [﹣26，14] ．
【分析】由圆M的方程求得圆心坐标与半径，可得PM＝4，结合点到直线的距离公式可得M到直线l的距离d≤4，求解可得m的取值范围．
【解答】解：圆M：（x﹣2）2+y2＝4的圆心为M（2，0），半径r＝2，
过点P作圆M的两条切线，切点为A，B，连接PM，
若∠APB＝60°，则∠APM＝30°，又由MA⊥PA，
则|PM|＝2|MA|＝2r＝4，
若直线l：3x﹣4y+m＝0上存在点P，满足∠APB＝60°，
则有M到直线l的距离d=|3×2+m|32+(−4)2=|6+m|5≤4，
解得：﹣26≤m≤14，即m的取值范围为[﹣26，14]，
故答案为：[﹣26，14]．
【考点5：圆与圆的位置关系的判断及求参】
【知识点：圆与圆的位置关系的判断及求参】
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0).
1．（2022秋•桂林月考）圆C1：x2+y2﹣14x＝0与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝15的位置关系为（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
【分析】根据已知条件，结合两圆半径与圆心距之间的关系，即可求解．
【解答】解：圆C1：x2+y2﹣14x＝0的圆心O（7，0），半径r1＝7，
圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝15的圆心A（3，4），半径r2=15，
∵两圆心之间的距离|AO|=(7−3)2+(0−4)2=42∈(7−15，7+15)，
∴两圆相交．
故选：A．
2．（2022春•澄城县期末）已知圆O1：x2+y2=4，圆O2：x2+y2−2x−2y−4=0，则同时与圆O1和圆O2相切的直线有（ ）
A．4条B．2条C．1条D．0条
【分析】求出两个圆的圆心和半径，根据圆圆之间的位置关系的条件即可得到结论．
【解答】解：圆O1：x2+y2＝4圆心为O1（0，0），半径为R＝2，
圆O2：x2+y2﹣2x﹣2y﹣4＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝6，圆心为O2（1，1），半径为r=6，
则6+2＞|O1O2|=2＞6−2，
故圆O1和圆O2的位置关系是相交，
所以同时与圆O1和圆O2相切的直线有2条，
故选：B．
3．（2022•邯郸二模）已知圆C1：x2+y2＝25和圆C2：（x﹣3）2+y2＝a2，则“a＝2”是“圆C1与圆C2内切”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】直接利用两圆相内切的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果．
【解答】解：当圆C1：x2+y2＝25和圆C2：（x﹣3）2+y2＝a2，相内切时，
则3＝5﹣a或3＝a﹣5，
解得a＝2或8，
当a＝2时，两圆相内切．
故则“a＝2”是“圆C1与圆C2内切”的充分不必要条件；
故选：A．
4．（2022•临澧县校级开学）已知圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0与圆C2：x2+y2﹣14x﹣2y+a＝0，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）
A．14B．34C．14或45D．34或14
【分析】两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切，分别求出a，即可得出结论．
【解答】解：圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0，即（x﹣3）2+（y+2）2＝1，圆心（3，﹣2），半径为1，
圆C2：x2+y2﹣14x﹣2y+a＝0，即（x﹣7）2+（y﹣1）2＝50﹣a，圆心（7，1），半径为50−a，
∵两个圆有且只有一个公共点，
∴两个圆内切或外切，圆心距：(7−3)2+(1+2)2=5，
内切时，5=50−a−1，解得a＝14，外切时，5=50−a+1，解得a＝34，
故选：D．
5．（2022•安徽开学）若圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）外切，则r＝ 2 ．
【分析】根据已知条件，结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．
【解答】解：∵圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）外切，
∴(1−4)2+(0−0)2=1+r，解得r＝2．
故答案为：2．
【考点6：圆的公共弦、公切线】
【知识点：圆的公共弦、公切线】
①设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
②两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
③求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
1．（2022春•河南月考）已知圆O1：x2+y2=16和圆O2：x2+y2−6mx−8my+24m2=0有且仅有4条公切线，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）D．（﹣2，3）
【分析】先由公切线的条数判断两圆的位置关系，再列出方程，求解即可．
【解答】解：由圆O2：(x−3m)2+(y−4m)2=m2，
可得O2（3m，4m），半径为|m|，
则|O1O2|=9m2+16m2=5|m|，
∵有且仅有4条公切线，
∴圆O1、圆O2相外离，
有5|m|＞4+|m|，
解得m＜﹣1或m＞1，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
故选：A．
2．（2022•河南模拟）已知圆C1：x2+y2−kx+2y=0与圆C2：x2+y2+ky−2=0的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）
【分析】先求出两圆公共弦所在直线，再通过直线说明所过的定点．
【解答】解：∵圆C1：x2+y2−kx+2y=0，圆C2：x2+y2+ky−2=0，将两圆方程对减得公共弦所在直线方程为：
k（x+y）﹣2（y+1）＝0，令x+y=0y+1=0，得x=1y=−1，∴公共弦所在直线过定点（1，﹣1），
故选：A．
3．（2022•威海三模）圆x2+y2+4x＝0与圆x2+y2+4y＝0的公共弦长为 22 ．
【分析】先求两圆公共弦方程，再利用弦心距，弦长，半径之间的关系求解．
【解答】解：设圆C1：x2+y2+4x=0与圆C2：x2+y2+4y=0交于A，B两点，
把两圆方程相减，化简得x﹣y＝0，
即lAB：x﹣y＝0，
圆心C1（﹣2，0）到直线AB的距离d=|−2|2=2，
又r1＝2而(|AB|2)2+d2=r12，
所以|AB|=2r12−d2=22，
故答案为：22．
4．（2022•河西区校级模拟）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ax+4ay﹣9＝0相交，且公共弦长为22，则a＝ ±104 ．
【分析】先求出两圆的公共弦直线方程，再结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．
【解答】解：圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ax+4ay﹣9＝0的方程相减即为公共弦所在直线方程，
2ax+4ay﹣5＝0，
圆x2+y2＝4的圆心（0，0）到公共弦距离d=54a2+16a2=52a2，
则公共弦长度为22=24−d2，解得a=±104．
故答案为：±104．
5．（2021秋•松山区校级期末）圆O1：x2+y2﹣2y＝0和圆O2：x2+y2﹣8y+12＝0的公切线的条数为 3 ．
【分析】根据已知条件，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解．
【解答】解：∵圆O1：x2+y2﹣2y＝0，
∴x2+（y﹣1）2＝1，
∴圆O1的圆心为O1（0，1），半径r1＝1，
∵圆O2：x2+y2﹣8y+12＝0，
∴圆O2的圆心为O2（0，4），半径r2＝2，
∵|O1O2|＝|4﹣1|＝3＝r1+r2，
∴圆O1与圆O2相外切，即公切线的条数为3条．
故答案为：3．
6．（2022春•贵州期末）若圆x2+y2＝1与圆（x﹣a）2+（y﹣4）2＝16有3条公切线，则正数a＝ 3 ．
【分析】根据条件可知两圆外切，由圆心距等于两圆半径之和列出方程，计算即可．
【解答】解：由圆x2+y2＝1与圆（x﹣a）2+（y﹣4）2＝16有3条公切线可知，两圆外切，
∴a2+42=5，∴a＝±3，又a＞0，∴a＝3，
故答案为：3．
7．（2022春•番禺区期末）写出与圆x2+y2＝1和圆（x﹣4）2+（y+3）2＝16都相切的一条切线方程 y＝1，或24x+7y+25＝0，或4x﹣3y﹣5＝0 ．
【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．
【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心坐标为O（0，0），半径r1＝1，
圆（x﹣4）2+（y+3）2＝16的圆心坐标为C（4，﹣3），半径r2＝4，
如图：
∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
∵kOC=−34，∴l1的斜率为43，设直线l1：y=43x+b，即4x﹣3y+3b＝0，
由|3b|5=1，解得b=53（负值舍去），则l1：4x﹣3y+5＝0；
由图可知，l2：y＝1；l2与l3关于直线y=−34x对称，
联立y=1y=−34x，解得l2与l3的一个交点为（−43，1），在l2上取一点（0，1），
该点关于y=−34x的对称点为（x0，y0），则y0+12=−34⋅x02y0−1x0=43，解得对称点为（−2425，−725）．
∴kl3=−725−1−2425+43=−247，则l3：y=−247（x+43）+1，即24x+7y+25＝0．
∴与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为：
y＝1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．
故答案为：x＝﹣1（填4x﹣3y﹣5＝0；24x+7y+25＝0都正确）．
【考点7：圆与圆位置关系中的最值问题】
【知识点：圆与圆位置关系中的最值问题】
1．（2022•昌吉州模拟）已知圆C1：(x−1)2+(y−1)2=1，圆C2：(x−4)2+(y−5)2=9，点M，N分别是圆C1、圆C2上的动点，点P为y＝﹣x上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是（ ）
A．4B．61−4C．61+4D．61−8
【分析】先将P到圆上点的距离最小值转化为P到圆心的距离，再利用对称性求出直线同侧的两点到直线上点的距离之和的最小值，从而得问题的最小值．
【解答】解：如图∵PM≥PC1﹣r1＝PC1﹣1，PN≥PC2﹣r2＝PC2﹣3，
∴PM+PN≥PC1+PC2﹣4，如图作出C1（1，1）关于y＝﹣x的对称点A，则A为（﹣1，﹣1），又C2为（4，5），
∴PC1+PC2=PA+PC2≥AC2=61，当且仅当A、P、C2三点共线时取得等号，
∴PM+PN≥PC1+PC2﹣4＝PA+PC2﹣4≥AC2﹣4=61−4，
|PM|+|PN|的最小值是61−4．
故选：B．
2．（2021秋•盐城期末）过圆C1：x2+y2＝1上的点P作圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最大值为（ ）
A．23B．21C．42D．35
【分析】如图所示，|PQ|=|PC2|2−|C2Q|2=|PC2|2−4，要求|PQ|的最大值，只要求|PC2|的最大值，结合圆与圆的相离的性质及两点间距离公式可求．
【解答】解：如图所示，|PQ|=|PC2|2−|C2Q|2=|PC2|2−4，
要求|PQ|的最大值，只要求|PC2|的最大值，
因为|PC2|≤|C1C2|+1=32+42+1＝6，
所以|PQ|≤32=42，即|PQ|的最大值42．
故选：C．
（多选）3．（2021秋•龙门县校级月考）点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（ ）
A．|PQ|的最小值为3
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为−43
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝0
【分析】根据题意，通过圆的方程分析两个圆的圆心和半径，对于A、B，由圆与圆的位置关系分析|PO|的最小值、最大值，可得A错误，B正确；对于C，由两个圆的圆心坐标，即可得两个圆心所在的直线斜率，可得C正确，对于D，分析两个圆的位置关系可得两圆外切，不存在公共弦，可得D错误，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1，其圆心C1（0，0），半径R＝1，
圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0，即（x﹣3）2+（y+4）2＝1，其圆心C2（3，﹣4），半径r＝1，
圆心距|C1C2|=16+9=5，
则|PO|的最小值为|C1C2|﹣R﹣r＝3，最大值为|C1C2|+R+r＝7，故A正确，B正确；
对于C，圆心C1（0，0），圆心C2（3，﹣4），则两个圆心所在的直线斜率k=−4−03−0=−43，C正确，
对于D，两圆圆心距|C1C2|＝5，有|C1C2|＞R+r＝2，两圆外离，不存在公共弦，D错误．
故选：ABC．
4．（2022•辽阳二模）若点P，Q分别圆C：x2+y2＝1与圆D：（x﹣7）2+y2＝4上一点，则|PQ|的最小值为 4 ．
【分析】根据两圆位置关系，数形结合即可求解．
【解答】解：∵C（0，0），r1＝1，D（7，0），r2＝2，
∴|CD|＝7＞r1+r2＝3，∴两圆相离，
∴|PQ|的最小值为：|CD|﹣r1﹣r2＝7﹣1﹣2＝4．
故答案为：4．
5．（2021•镇江三模）已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+b）2+（y+1）2＝1外切，则ab的最大值为 2 ．
【分析】由圆相切性质可求a+b，然后结合基本不等式可求．
【解答】解：由C1：（x﹣a）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+b）2+（y+1）2＝1外切，
可得，（a+b）2+1＝9即（a+b）2＝8，
∴ab≤(a+b2)2=2，
当且仅当a＝b时取等号，此时ab取得最大值2．
故答案为：2
6．（2021秋•启东市校级期末）已知圆x2+y2＝4的圆心为O，点P是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2上一动点，若在圆O上存在点Q使得∠QPO＝30°，则正数r的最大值为 4−2 ．
【分析】依题意，点P即满足x2+y2≤16，又满足（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2，作图观察即可得出结果．
【解答】解：要求r的最大值，考虑P在圆O外，
若存在Q使得∠QPO＝30°，则2OP≥sin30°=12，故OP≤4，
即P的轨迹为x2+y2≤16，
又P在（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2上，
由图象可知，r的最大值为4−2．
故答案为：4−2．
几何法
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解