专题2.1 椭圆（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc116593822" 【考点1：椭圆的定义与标准方程】 PAGEREF _Tc116593822 \h 1
\l "_Tc116593823" 【考点2：椭圆的焦点三角形问题】 PAGEREF _Tc116593823 \h 5
\l "_Tc116593824" 【考点3：椭圆的几何性质】 PAGEREF _Tc116593824 \h 10
\l "_Tc116593825" 【考点4：与椭圆有关的最值或范围问题】 PAGEREF _Tc116593825 \h 17
【考点1：椭圆的定义与标准方程】
【知识点：椭圆的定义】
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a【知识点：椭圆的标准方程】
(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程是eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.
(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2.
(3)求椭圆标准方程的两种思路方法
①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
②待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体思路是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
1．（2022·江苏·南京市第二十九中学高二开学考试）椭圆x225+y29=1，△ABC的顶点B、C分别是椭圆的焦点，顶点A在椭圆上，则sinB+sinC+sinAsinB+sinC-sinA的值为（ ）
A．35B．45C．19D．9
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义可得|AB|+|AC|，结合正弦定理将sinB+sinC+sinAsinB+sinC-sinA转化为边的关系，由此可求其值.
【详解】由题意可知，a=5,b=3，所以c=4，又△ABC的顶点B、C分别是椭圆的焦点，所以|AB|+|AC|=2a=10,|BC|=2c=8，所以由正弦定理可得sinB+sinC+sinAsinB+sinC-sinA=AC+AB+BCAC+AB-BC=10+810-8=9，
故选：D．
2．（河南省南阳市第二完全学校高级中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题）设F1，F2是椭圆x24+y23=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则△PF1F2的面积为（ ）
A．2B．3C．32D．52
【答案】C
【分析】由题意结合椭圆的定义求出PF1=52,PF2=32，又因为F1F2=2c=2，由余弦定理可求出cs∠F1PF2，再求出sin∠F1PF2，由三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】因为椭圆的方程为：x24+y23=1，则a=2,b=3,c=1，
F1，F2是椭圆x24+y23=1的两个焦点，P是椭圆上一点，
因为点P到两个焦点的距离之差为1，
所以假设PF1>PF2，则PF1-PF2=1PF1+PF2=2a=4，
解得： PF1=52,PF2=32，又因为F1F2=2c=2，
在△PF1F2中，由余弦定理可得：cs∠F1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1⋅PF2=522+322-222×52×32=35，
所以sin∠F1PF2=45，
所以△PF1F2的面积为：S=12PF1⋅PF2sin∠F1PF2=12×52×32×45=32.
故选：C.
3．（2023·上海·高三专题练习）已知平面上动点P到两个定点1,0和-1,0的距离之和等于4，则动点P的轨迹方程为__．
【答案】x24+y23=1
【分析】利用椭圆的定义求解轨迹方程.
【详解】平面上动点P到两个定点1,0和-1,0的距离之和等于4，
满足椭圆的定义，可得c=1，a=2，则b=3，
动点P的轨迹方程为：x24+y23=1，
故答案为：x24+y23=1.
4．（2023·全国·高三专题练习）求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A3,0；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；
(3)经过点P-23,1，Q3,-2两点；
【答案】(1)x29+y2=1或x29+y281=1
(2)x212+y29=1或x29+y212=1
(3)x215+y25=1
【分析】（1）分焦点在x轴、焦点在y轴上，设椭圆方程并代入A点坐标可得答案；
（2）根据a=2ca-c=3和b2=a2-c2可得答案；
（3）设方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，代入P、Q坐标可得答案；
解：（1）若焦点在x轴上，设方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
∵椭圆过点A3,0，∴9a2=1得a=3，
∵2a=3×2b，∴b=1，∴方程为x29+y2=1，
若焦点在y轴上，
设方程为x2b2+y2a2=1a>b>0，
∵椭圆过点A3,0，∴9b2=1得b=3，
又2a=3×2b，∴a=9，∴方程为x29+y281=1.
综上所述，椭圆方程为x29+y2=1或x29+y281=1；
（2）由已知，有a=2ca-c=3解得a=23c=3，b2=a2-c2=9，
若焦点在y轴上，则x29+y212=1，
若焦点在x轴上，x212+y29=1，
∴所求椭圆方程为x212+y29=1或x29+y212=1；
（3）设方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，
则有12m+n=13m+4n=1，解得m=115n=15，
则所求椭圆方程为x215+y25=1；
5．（2023·全国·高三专题练习）（1）求两个顶点为（3，0），（－3，0），离心率为223的椭圆的标准方程；
（2）过点(3,-5)，且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程．
【答案】（1）x29＋y2＝1和y281＋x29＝1；（2）y220＋x24＝1.
【分析】（1）分焦点在x轴，y轴两种情况讨论，结合ca=223，b2＝a2－c2即得解；
（2）写出椭圆y225+x29=1的焦点坐标，利用椭圆定义，求解2a，结合b2＝a2－c2即得解
【详解】（1）如果焦点在x轴上，则a＝3，离心率ca=223，∴c＝22，∴b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆的标准方程为x29＋y2＝1；
如果焦点在y轴上，则b＝3，将ca=223代入b2＝a2－c2中，得a2－89a2＝9，
∴a2＝81，∴椭圆的标准方程为y281＋x29＝1.
故所求椭圆的标准方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1
（2）椭圆y225+x29=1的a＝5，b＝3，
∴c＝4，焦点为（0，－4），（0，4）．
由椭圆定义知，2a＝(3-0)2+(-5+4)2＋(3-0)2+(-5-4)2，
解得a＝25.由c2＝a2－b2得b2＝4.
∴所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1
6．（2022·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆x2100+y236=1上一点，它到椭圆的左焦点F1的距离是它到右焦点F2的距离的3倍，求点P的坐标．
【答案】254,±3394
【分析】由椭圆定义求得PF1，PF2，利用P分别在以F1、F2为圆心，半径为15、5的圆上，则圆方程联立可求得P点坐标．
【详解】解：由已知a=10,b=6，c=100-36=8，F1(-8,0)，F2(8,0)，
PF1+PF2=2a=20，而PF1=3PF2，
所以PF1=15，PF2=5，
因此点P在分别以F1、F2为圆心，半径为15、5的圆上，
因此(x+8)2+y2=225(x-8)2+y2=25，解得x=254y=±3394，
所以点P的坐标为254,±3394．
【考点2：椭圆的焦点三角形问题】
【知识点：椭圆的焦点三角形问题】
(1)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
(2)以椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
①|PF1|＋|PF2|＝2a.
②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
③S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc.
④焦点三角形的周长为2(a＋c)．
1．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：x225+y216=1的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义求解即可
【详解】由题意椭圆的长轴为2a=225=10，由椭圆定义知AF1+F1B=2a,AF2+BF2=2a
∴lABF2=AB+AF2+BF2=AF1+F1B+AF2+BF2=4a=20
故选：C
2．（2022·全国·高二课时练习）已知F1，F2是椭圆C:x25+y29=1的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1=F1F2，则△PF1F2的内切圆的半径r=（ ）
A．1B．5C．155D．2
【答案】C
【分析】根据椭圆方程求出a、b、c的值，即可得到F1F2、PF2、PF1的值，从而求出△PF1F2的面积，再利用等面积法求出内切圆的半径.
【详解】解：椭圆C:x25+y29=1中，a2=9，b2=5，则c2=a2-b2=4，、∴a=3，c=2，
∴F1F2=2c=4．∵PF1+PF2=2a=6，PF1=F1F2，∴PF2=2，
∵S△PF1F2=12×2×42-12=15，∴S△PP1F2=12PF1+PF2+F1F2r=15，
解得r=155．
故选：C．
3．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知F1，F2分别为椭圆C：x27+y23=1的左、右两焦点，P是C上的点，则使得△PF1F2是直角三角形的点P的个数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】由题意，分∠F1PF2为直角，∠PF1F2为直角，∠PF2F1为直角三种情况讨论，分析即得解
【详解】由题意，椭圆C：x27+y23=1，a2=7,b2=3,c2=4，故F1(-2,0),F2(2,0)；
若△PF1F2是直角三角形，
（1）若∠F1PF2为直角：
由于O为F1F2的中点，
故|PO|=12|F1F2|=c=7-3=2
设P(x,y)，则x2+y2=4
故点P为圆O与椭圆C的交点，
联立x27+y23=1x2+y2=4，可得47x2=1，即x=±72,y=±32
共有4个点
（2）若∠PF1F2为直角：
则xP=-2，则yP2=97,yP=±377，有2个点；
（3）若∠PF2F1为直角：
则xP=2，则yP2=97,yP=±377，有2个点；
综上，满足条件的点P的个数为8.
故选：C
4．（2022·江苏·南京市秦淮中学高二阶段练习）设点P为椭圆C:x2a2+y24=1（a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为（ ）
A．43B．23C．433D．233
【答案】C
【分析】结合余弦定理、椭圆的定义求得PF1⋅PF2，从而求得△PF1F2的面积.
【详解】设PF1=s,PF2=t，
根据椭圆的定义以及余弦定理得
s+t=2a2c2=4c2=4a2-4=s2+t2-2st⋅cs60°，
整理得st=163，即PF1⋅PF2=163，
所以△PF1F2的面积为12×163×sin60°=433.
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2=2π3，若△PF1F2的面积为93，则b=（ ）
A．9B．3C．4D．8
【答案】B
【分析】由椭圆定义与余弦定理，三角形面积公式求解
【详解】法一：设PF1=m，PF2=n，则m+n=2a，
2c2=m2+n2-2mncs2π3=m+n2-mn，∴4b2=mn．
又12mnsin2π3=93，∴2b2×32=93，解得b=3．
法二：由焦点三角形面积公式得S△F1PF=b2tanθ2=b2tanπ3=93⇒b=3
故选：B
6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x216+y29=1的左、右焦点分别是F1、F2，点P在椭圆上.若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）
A．95B．977C．94D．94或977
【答案】C
【分析】分析可知∠F1PF2必为锐角，则F1或F2是直角顶点，将x=±c代入椭圆方程，即可得解.
【详解】在椭圆x216+y29=1中，a=4，b=3，c=a2-b2=7，
将x=±7代入椭圆方程可得716+y29=1，可得y=±94，
所以，当F1或F2是直角顶点时，点P到x轴的距离为94；
设PF1=m，PF2=n，则m+n=8，
由余弦定理可得cs∠F1PF2=m2+n2-F1F222mn=m+n2-2mn-282mn=362mn-1
=18mn-1≥18m+n22-1=18，
当且仅当m=n=4时，等号成立，故∠F1PF2必为锐角.
综上所述，点P到x轴的距离为94.
故选：C.
7．（2022·全国·高二课时练习）经过椭圆x24+y2=1的左焦点F1，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△AF2B的周长为______．
【答案】8
【分析】利用椭圆的定义，即可求解周长.
【详解】由椭圆x24+y2=1，可得a＝2．
由椭圆的定义可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a=4．
所以△ABF2的周长=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a=8．
故答案为：8
8．（2022·全国·高三专题练习）若P是椭圆x24+y23=1上任意一点，F1、F2是焦点，则∠F1PF2的最大值为______．
【答案】π3
【分析】先根据椭圆的方程得到a,b,c，进而利用椭圆的基本性质确定最大角的位置，即可得到答案
【详解】解：根据椭圆的方程可知：x24+y23=1，∴a=2，b=3，c=1，
方法1：由椭圆的对称性可知，∠F1PF2的最大时，P在短轴端点，
此时F1P=PF2=F1F2=2，所以△F1PF2是正三角形，
∴∠F1PF2的最大值为π3；
方法2：在△F1PF2中，F1F22=F1P2+PF22-2F1PPF2cs∠F1PF2，
所以令F1P=x，则PF2=4-x，
所以4=x2+4-x2-2x4-xcs∠F1PF2即x4-xcs∠F1PF2=xx-4+6，
则cs∠F1PF2=6x4-x-1≥6x+4-x22-1=12（当且仅当x=4-x即x=2时，等号成立），
又因为0≤∠F1PF2<π，所以∠F1PF的最大值为π3
故答案为：π3
9．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））如图，己知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点，M，N为椭圆上两点，满足F1M//F2N，且F2N:F2M:F1M=1:2:3，则∠F1MF2的余弦值为___________.
【答案】14
【分析】延长MF1与椭圆交于点L，由椭圆对称性有F1L=F2N，设F2N=F1L=t可得F2L=ML=4t、F2M=2t，应用余弦定理即可求∠F1MF2的余弦值．
【详解】解：延长MF1与椭圆交于点L，又F1M//F2N，
∴根据对称性可知，F1L=F2N，设F2N=F1L=t，则F2M=2t，F1M=3t，
从而2a=F2M+F1M=5t，故F2L=4t，
在△LMF2中，注意到F2L=4t=ML，
∴ cs∠LMF2=MF22+ML2-LF222MF2⋅ML=14，
在△MF1F2中，有cs∠F1MF2=cs∠LMF2=14．
故答案为：14
【考点3：椭圆的几何性质】
【知识点：椭圆的几何性质】
[方法技巧]
求椭圆离心率的三种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[提醒] 在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．
1．（2022·全国·高二课时练习）若方程x26-m+y2m-2=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．2,6B．4,6C．2,4D．2,4
【答案】D
【分析】根据焦点在x轴上的椭圆满足的条件列式求解即可.
【详解】因为x26-m+y2m-2=1表示焦点在x轴上的椭圆，所以6-m>m-2m-2>0,解得2故选：D
2．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为（ ）
A．x212+y29=1B．x212+y29=1或x29+y212=1
C．x29+y212=1D．x23+y29=1
【答案】B
【分析】首先根据已知条件得到a:b:c=2:3:1，a-c=3，即可得到a=23，b=3，c=3，再分类讨论即可得到答案.
【详解】因为短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，
所以a:b:c=2:3:1，设a=2k，b=3k，c=k，k>0，
因为焦点到椭圆上点的最短距离为a-c=3，
所以2k-k=3，即k=3.a=23，b=3，c=3.
当焦点在x轴时，椭圆的方程为x212+y29=1，
当焦点在y轴时，椭圆的方程为x29+y212=1.
故选：B
3．（2022·天津市汇文中学高二阶段练习）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1,F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若∠F1PF2为直角，则椭圆E的离心率为（ ）
A．53B．23C．23D．13
【答案】A
【分析】设PF1=m，根据题干条件得到PF2=2m，由勾股定理得到PF1=255c，PF2=455c，作出辅助线，求出点P坐标为-35c,45c，代入椭圆方程，求出9c4-50a2c2-25a4=0，求出离心率.
【详解】设∠PF1F2=θ，则tanθ=2，因为∠F1PF2为直角，
所以PF2PF1=2，设PF1=m，则PF2=2m，
由勾股定理得：PF22+PF12=F1F22，即m2+2m2=2c2，
解得：m=255c，所以PF1=255c，PF2=455c，
过点P作PM⊥x轴于点M，
则PM=PF1⋅PF2F1F2=45c，
由勾股定理得：F1M=F1P2-PM2=25c，
所以OM=OF1-F1M=35c，
所以点P坐标为-35c,45c，
将P-35c,45c代入椭圆方程x2a2+y2b2=1中，
925c2a2+1625c2b2=1，
又b2=a2-c2，
解得：9c4-50a2c2-25a4=0，
方程两边同时除以a4，得：9e4-50e2-25=0，
解得：e2=5或59，
因为e∈0,1，
所以e=53.
故选：A
4．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知F是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，A是C的上顶点，直线l：3x-4y=0与C交于M，N两点．若MF+NF=6，A到l的距离不小于85，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．53,1B．0,53C．0,32D．32,1
【答案】B
【分析】据MF+NF=NF1+NF=2a=6，得到a=3，根据点A到直线l距离d，求出b≥2，从而求出c得范围，从而求出答案.
【详解】设椭圆的左焦点为F1，A是C的上顶点，连接MF1,NF1，如下图所示：
由椭圆的对称性可知，M,N关于原点对称，则OM=ON
又OF1=OF ，∴四边形MFNF1为平行四边形
∴MF=NF1 ，
又MF+NF=NF1+NF=2a=6，解得：a=3
A到l的距离为：d=-4b5≥85，
解得：b≥2，即a2-c2=9-c2≥2
∴0故选：B.
5．（多选）（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高二阶段练习）已知椭圆x2m+y24=1的焦距为2，则m的值为（ ）
A．2B．3C．5D．8
【答案】BC
【分析】就m>4、0【详解】由椭圆的焦距2c=2，知c=1，又c2=a2-b2，
故当m>4时，m-4=1,m=5，
当0故选：BC
6．（2022·湖南·雅礼中学高二阶段练习）已知椭圆的短半轴长为2，离心率为32，则椭圆的长轴长是__________．
【答案】8
【分析】由已知可求得b，再根据离心率和a,b,c的关系，即可求出a，进而求得长轴长.
【详解】因为椭圆的短半轴长为2，所以b=2，
由离心率为32可得ca=32，
由b=2ca=32a2=b2+c2 解得a=4，所以椭圆的长轴长是8.
故答案为：8
7．（2022·新疆·乌市八中高二阶段练习）人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是r1,r2，则卫星轨道的离心率为___________.
【答案】r2-r12R+r1+r2
【分析】根据题意画出图形，结合椭圆的定义，求出椭圆的长半轴a和半焦距c，进而确定椭圆的离心率，得到答案.
【详解】如图所示，可得2a=r1+r2+2R，即a=r1+r2+2R2，
又由c=a-r1-R=r1+r2+2R2-r1-R=r2-r12，
所以椭圆的离心率为e=ca=r2-r12r1+r2+2R2=r2-r1r1+r2+2R，
故答案为：r2-r1r1+r2+2R.
8．（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率的取值范围是______
【答案】[22,1)
【分析】根据椭圆的性质，只需保证P为椭圆上下顶点时∠F1PF2≥90°即可，应用余弦定理列不等式，结合椭圆离心率范围求离心率取值范围.
【详解】由椭圆性质知：当P为椭圆上下顶点时∠F1PF2最大，
所以椭圆上存在点P使∠F1PF2=90°，
只需∠F1PF2最大的情况下，有cs∠F1PF2=2a2-4c22a2=1-2e2≤0，
又椭圆离心率0故答案为：[22,1)
9．（2022·江苏·盐城中学高三阶段练习）已知F是椭圆E：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若PF=5QF且∠PFQ=120°，则椭圆E的离心率为______．
【答案】216
【分析】取椭圆的右焦点F'，由直线l过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF'为平行四边形，由|PF|=5|QF|及椭圆的性质可得PF'=a3，PF=5a3，∠PFQ=120°余弦定理可得离心率的值.
【详解】取椭圆的右焦点F'，连接QF'，PF'，
由椭圆的对称性，可得四边形PFQF'为平行四边形，
则PF'=QF，∠FPF'=180∘-∠PFQ=180∘-120∘=60∘，
|PF|=5|QF| =5|PF'|，而|PF|+|PF'|=2a，所以PF'=a3，所以PF=5a3，
在△PFF'中，cs∠FPF'=PF|2+PF'|2-|FF'|22PFPF'=259a2+19a2-4c22×53a×a3=12，
整理，得21a2-36c2=0，即e2=2136，由0故答案为：216.
10．（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，满足MF1⋅MF2=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是______.
【答案】0,22
【分析】由已知可得M点的轨迹是以原点O为圆心， 半焦距c为半径的圆.再结合点M总在椭圆内部可列出关于a,c的不等式进而求解.
【详解】由题意知，设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a,b,c,
∵MF1⋅MF2=0
∴ M点的轨迹是以原点O为圆心， 半焦距c为半径的圆.
又M点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即c∴e2<12，即0故答案为：0,22. ·
11．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为26，且经过点3,-62．
(1)求满足条件的椭圆方程；
(2)求该椭圆的长半轴的长、顶点坐标和离心率．
【答案】(1)x212+y26=1
(2)长半轴的长为23，顶点坐标为23,0、-23,0、0,6、0,-6，离心率为22．
【分析】（1）利用待定系数法，列方程组求解椭圆方程；（2）根据椭圆的几何性质求解.
（1）设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，
则2c=26b2+c2=a232a2+-622b2=1⇒a=23b=6c=6
所以椭圆的标准方程为x212+y26=1
（2）由（1）知，椭圆的长半轴长为a=23，
顶点坐标为23,0、-23,0、0,6、0,-6，
离心率e=ca=623=22.
【考点4：与椭圆有关的最值或范围问题】
【知识点：与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法】
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．
[提醒] 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系
1．（多选）（2022·湖北·高三开学考试）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，长轴长为4，点P(2,1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则（ ）
A．椭圆C的离心率的取值范围是0,22
B．当椭圆C的离心率为32时，QF1的取值范围是[2-3,2+3]
C．存在点Q使得QF1⋅QF2=0
D．1QF1+1QF2的最小值为1
【答案】BCD
【分析】根据点P2,1在椭圆C外，即可求出b的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A，根据离心率求出c，则QF1∈a-c,a+c，即可判断B，设上顶点A，得到AF1·AF2<0，即可判断C，利用基本不等式判断D.
【详解】解：由题意得a=2，又点P2,1在椭圆C外，则24+1b2>1，解得b<2，
所以椭圆C的离心率e=ca=4-b22>22，即椭圆C的离心率的取值范围是22,1，故A不正确；
当e=32时，c=3，b=a2-c2=1，所以QF1的取值范围是a-c,a+c，即2-3,2+3，故B正确；
设椭圆的上顶点为A0,b，F1-c,0，F2c,0，由于AF1·AF2=b2-c2=2b2-a2<0，
所以存在点Q使得QF1⋅QF2=0，故C正确；
QF1+QF21QF1+1QF2=2+QF2QF1+QF1QF2≥2+2=4，
当且仅当QF1=QF2=2时，等号成立，
又QF1+QF2=4，
所以1QF1+1QF2≥1，故D正确．
故选：BCD
2．（2021·四川成都·高三开学考试（文））已知点M是椭圆x225+y216=1上的一动点，点T的坐标为0,-3，点N满足NT=1，且∠MNT＝90°，则MN的最大值是______．
【答案】43
【分析】由给定条件，可得|MN|=|MT|2-1，再求出|MT|的最大值即可计算作答.
【详解】设点M(x0,y0)，则x0225+y0216=1，即x02=25-2516y02，-4≤y0≤4，
|MT|=x02+(y0+3)2=25-2516y02+(y0+3)2=-916y02+6y0+34=-(34y0-4)2+50，
当y0=4时，|MT|max=7，而∠MNT=90°，NT=1，因此|MN|=|MT|2-|NT|2≤72-12=43，
所以当点M(0,4)时，MN取得最大值43.
故答案为：43
3．（2022·全国·高二课时练习）判断并说明理由：椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上到椭圆中心距离最近和最远的点是椭圆轴的端点吗？
【答案】答案见解析
【分析】设出椭圆上的点Px,y，由两点距离公式表示出OP，再结合x∈-a,a，即可求得距离最近和最远的点是椭圆轴的端点.
【详解】椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上到中心最远的点为长轴端点，最近的点为短轴端点．
证：设Px,y是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上任意一点，则y2=b21-x2a2，c2=a2-b2，
则OP=x2+y2=x2+b21-x2a2=c2a2x2+b2，x∈-a,a．
当x=0时，OPmin=b，此时P0,±b；当x=±a时，OPmax=a，此时P±a,0．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知点P在椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)上，F1、F2为椭圆的两个焦点，求|PF1|⋅|PF2|的取值范围．
【答案】b2,a2.
【分析】由椭圆的定义，可得PF1+PF2=2a，进而可得PF1⋅PF2=-PF1-a2+a2，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】由题可知PF1+PF2=2a，PF1∈a-c,a+c，
因为PF1⋅PF2=PF12a-PF1=-PF12+2aPF1=-PF1-a2+a2，
∴PF1=a时，|PF1|⋅|PF2|有最大值a2，PF1=a-c或PF1=a+c时，|PF1|⋅|PF2|有最小值b2，
即|PF1|⋅|PF2|的取值范围为b2,a2.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：x216+3y216=1，M为椭圆C上的一个动点，以M为圆心，2为半径作圆M，OP,OQ为圆M的两条切线，P,Q为切点，求∠POQ的取值范围．
【答案】π3,2π3
【分析】根据OM的范围求出sin∠POM=2OM的范围，从而得到∠POM的范围，即可得到∠POQ的范围.
【详解】由椭圆方程可得a2=16,b2=163，则a=4, b=433，
如图所示：
设锐角∠POM=α，在Rt△POM中，sinα=PMOM=2OM，
因为OM∈433,4，即sinα=2OM∈12,32，故α∈π6,π3，
所以∠POQ=2α∈π3,2π3.
故答案为：π3,2π3.
6．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知椭圆C：x2+3y2=3，点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．
(1)求椭圆C的短轴长和点F1，F2的坐标；
(2)设Px0,y0为椭圆C上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若点F1在以PQ为直径的圆的外部，求x0的取值范围．
【答案】(1)短轴长为2，F1(-2,0),F2(2,0)
(2)(0,2)∪32,3
【分析】（1）将椭圆C化为标准方程可以直接得出答案；
（2）直线F2P的方程为y=k(x-2)，可得Q(0,-2k)，依题意，F1P⋅F1Q>0，化简可得2x0+2-2k2(x0-2)>0，而k2=1-x023(x0-2)2，由此可求得实数x0的取值范围．
(1)
将椭圆C化为标准方程为x23+y2=1，则a2=3，b2=1，c2=2，
∴椭圆C的短轴长为2，F1(-2,0),F2(2,0)；
(2)
显然直线F2P的斜率存在且不为0，设直线F2P的方程为y=k(x-2)，则Q(0,-2k)，
联立y=k(x-2)x2+3y2=3，消去y可得，(1+3k2)x2-62k2x+6k2-3=0，
则Δ=72k4-4(1+3k2)(6k2-3)=12k2+12>0恒成立，
依题意，F1P⋅F1Q>0，又F1P=(x0+2,y0),F1Q=(2,-2k)，
∴ 2(x0+2)-2ky0>0，即2x0+2-2k(kx0-2k)>0，
∴ 2x0+2-2k2(x0-2)>0，
又y02=1-x023=k2(x0-2)2，则k2=1-x023(x0-2)2，
∴ 2x0+2-2⋅1-x023(x0-2)2⋅(x0-2)>0，即2(4x02-9)3(x0-2)>0，
又0eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性 质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2