专题2.3 抛物线（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

这是一份专题2.3 抛物线（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册），文件包含专题23抛物线4类必考点北师大版选择性必修第一册原卷版docx、专题23抛物线4类必考点北师大版选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc117190554" 【考点1：抛物线的定义】 PAGEREF _Tc117190554 \h 1
\l "_Tc117190555" 【考点2：抛物线的标准方程与性质】 PAGEREF _Tc117190555 \h 1
\l "_Tc117190556" 【考点3：抛物线的焦点弦】 PAGEREF _Tc117190556 \h 2
\l "_Tc117190557" 【考点4：抛物线的实际应用】 PAGEREF _Tc117190557 \h 2
【考点1：抛物线的定义】
【知识点：抛物线的定义】
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
[方法技巧]
利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．
1．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F.若直线x=4与C交于A，B两点，且AB=8，则AF=（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，点P1,y0在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若∠FPQ=120°，则F到l的距离为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（2022·江西·高三阶段练习（文））若抛物线y=x28上一点P到焦点的距离为6，则点P到x轴的距离为____________．
4．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））设F​是抛物线C：y2=4x​的焦点，点A​在抛物线C​上，B3，0​，若AF=2BF​，则AB=​____________.
5．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M（位于第一象限）到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为_______________．
6．（2023·全国·高三专题练习）P是抛物线y2=8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C:(x+3)2+(y-3)2=4上动点Q的距离为d2，则d1+d2的最小值为________．
【考点2：抛物线的标准方程与性质】
【知识点：抛物线的标准方程与性质】
[方法技巧] 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法
根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．
②当焦点位置不确定时，有两种方法解决：
1．（2022·江苏南通·高三阶段练习）抛物线y=8x2的焦点到准线的距离是（ ）.
A．132B．116C．2D．4
2．（2023·全国·高三专题练习）点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A．x2=112yB．x2=112y或x2=-136y
C．x2=-136y D．x2=12y或x2=-36y
3．（2022·广东·高三阶段练习）已知点Am,2为抛物线C:y2=2pxp>0上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若△AOB（O为坐标原点）的面积为2，则p=（ ）
A．12B．1C．2D．4
4．（2022·上海市向明中学高三开学考试）设抛物线C:x2=8y的焦点为F，准线为l，Px0,y0为C上一动点，A(2,1)，则下列结论错误的是（ ）
A．当x0=4时，|PF|的值为6
B．当x0=2时，抛物线C在点P处的切线方程为x-2y-2=0
C．|PA|+|PF|的最小值为3
D．|PA|-|PF|的最大值为5
5．（2021·全国·高二专题练习）（多选）对于抛物线上18x2=y，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为0,2B．开口向上，焦点为0,116
C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为y=-4
6．（2021·全国·高二课时练习）（多选）平面内到定点F(0,1)和到定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C．则（ ）
A．曲线C的方程为x2=4y
B．曲线C关于y轴对称
C．当点P(x,y)在曲线C上时，y≥2
D．当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥2
7．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M-1,2的抛物线方程为________.
8．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点F到直线l:2x-y-3=0的距离为55，则p的值为_____________．
9．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F，A是C的准线上一点，线段AF与C交于点B，与y轴交于点D，且|AB|=5|BF|，S△DOF=4（O为原点），则C的方程为___________.
10．（2022·全国·高二课时练习）分别根据下列条件，求抛物线的标准方程．
(1)准线方程是4y+1=0；
(2)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；
(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF=5.
【考点3：抛物线的焦点弦】
【知识点：焦点弦的常用结论】
以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)；
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；
(4)S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ)(其中θ为直线AB的倾斜角)；
(5)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值；
(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；
(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；
(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；
(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
1．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线y2=4xp>0的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则1AB+1CD=（ ）
A．2B．4C．12D．14
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）过抛物线x2=6y的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则（ ）
A．以线段AB为直径的圆与直线y=-32相切
B．以线段BM为直径的圆与y轴相切
C．当AF=2FB时，AB=274
D．AB的最小值为6
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点Px1,y1，Qx2,y2，点P，Q在l上的射影为P1，Q1，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2=6，则PQ=8B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．若M0,1，则PM+PP1≥2D．∠P1FQ1=90°
4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E:y2=4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A,B两点，C,D分别为A,B在l上的射影，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线AB的倾斜角为45∘，则AB=8
B．若AF=2FB，则直线AB的斜率为±23
C．若O为坐标原点，则B,O,C三点共线
D．CF⊥DF
5．（2022·四川·德阳五中高二阶段练习（理））已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过焦点F且倾斜角为α的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示，则下列说法中正确的有______．
①以线段AB为直径的圆与准线l相切；
②1AF+1BF=2p；
③S△AOB=p2sinα（其中点O为坐标原点）；
④若点Mp,0，且AF=AM，则直线AB的斜率为6；
⑤若已知点A的横坐标为x0，且已知点T-x0,0，则直线TA与该抛物线相切；
6．（2022·全国·高三专题练习）若抛物线y2=3x，过焦点F作倾斜角为30∘的直线与抛物线交于A，B，求AB．
7．（2022·全国·高三专题练习）若抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于A，B，若AF=3BF，求直线l方程．
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线l过焦点F且与抛物线y2=2pxp>0交于A , B两点，直线l倾斜角为θ，证明：S△OAB=p22sinθ.
9．（2022·全国·高三专题练习）如图，抛物线y2=2pxp>0与过焦点Fp2,0的直线l相交于A,B两点，若l的倾斜角为θ，求弦长AB．
【考点4：抛物线的实际应用】
【知识点：抛物线的实际应用】
抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而求出抛物线方程，进而解决实际问题．
1．（2022·河南焦作·高二期末（理））上海黄浦江上的卢浦大桥（图1）整体呈优美的弧形对称结构，如图2所示，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，若主拱的顶端P点到桥面的距离等于桥面与江面之间的距离，且AB=550米，则CD约为（精确到10米）（ ）
A．410米B．390米C．370米D．350米
2．（2022·全国·高三专题练习）抛物线有如下的光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点（1，－2）射入，经抛物线上的点P反射后，再经抛物线上另一点Q反射后射出，则|PQ|=（ ）
A．252B．13C．272D．14
3．（2022·北京市第五中学高二期中）如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（ ）
A．10cmB．7.2cm
C．3.6cmD．2.4cm
4．（2021·江苏·高三阶段练习）如图1，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD等于热馈源F到口径AB的距离，已知口径长为40cm，防护罩宽为15cm，则顶点O到防护罩外端CD的距离为（ ）
A．25cmB．30cmC．35cmD．40cm
5．（2022·全国·高二课时练习）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m．
6．（2022·江苏·高二）一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，则卡车的限高为_____米（精确到0.01米）.
7．（2023·安徽省宣城中学模拟预测）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从A5,m1沿直线y=m1发出的光线经抛物线y2=4x两次反射后，回到光源接收器D5,m2，则该光线经过的路程为___________.
8．（2022·安徽·合肥市第六中学高二期末）如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm，口径长为12cm．
(1)以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的标准方程；
(2)为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm，求此时该磨具的口径长．
9．（2022·全国·高二课时练习）某城市在主干道统一安装了一种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的平面直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时，要求锥形灯罩的顶到灯柱所在直线的距离是1.5m，灯罩的轴线正好通过道路路面中的中线．
(1)求灯罩轴线所在的直线方程；
(2)若路宽为10m，求灯柱的高． 图形
标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
坐标
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
离心率
e＝1
焦半径
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)
法一
分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)两种情况求解
法二
设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程