专题2.4 圆锥曲线（基础巩固卷）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022·全国·高二课时练习）抛物线y2=−2x的准线方程为（ ）
A．x=1B．y=1C．x=−12D．x=12
【答案】D
【分析】根据抛物线方程得出p和开口方向即可求得.
【详解】由抛物线方程可得p=1，开口向左，
则准线方程为x=12.
故选：D.
2．（2022·江苏·高二专题练习）已知命题p：方程x25−m+y2m−1=1表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是（ ）
A．30）上一点P（2，y0）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=6xD．y2=8x
【答案】D
【分析】由抛物线的定义可解答.
【详解】抛物线y2=2px上一点P2,y0到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴p2+2=4，解得p=4，∴抛物线的标准方程为y2=8x.
故选：D.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆C：x2+y2−2x−15=0的直径，则椭圆的标准方程是（ ）
A．x24+y23=1B．x216+y212=1C．x23+y24=1D．x212+y216=1
【答案】B
【分析】求得圆C的半径，由此求得a，结合椭圆离心率求得c，由此求得b2，进而求得椭圆的标准方程.
【详解】依题意可设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，半焦距为c，
由x2+y2−2x−15=0⇒(x−1)2+y2=16，半径为4，
故有2a=8⇒a=4，又e=ca=12，∴c=2，
∴b2=a2−c2=16−4=12.
所以椭圆的标准方程为x216+y212=1.
故选：B
8．（2022·全国·高二单元测试）动点P，Q分别在抛物线x2=4y和圆x2+y2−8y+13=0上，则|PQ|的最小值为（ ）
A．23B．3C．123D．323
【答案】B
【分析】设Px0,14x02，根据两点间距离公式，先求得P到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.
【详解】设Px0,14x02，圆化简为x2+(y−4)2=3，即圆心为（0,4），半径为3，
所以点P到圆心的距离d=x0−02+14x02−42=116x022−x02+16，
令t=x02，则t≥0，
令f(t)=116t2−t+16，t≥0，为开口向上，对称轴为t=8的抛物线，
所以f(t)的最小值为f8=12，
所以dmin=12=23，
所以|PQ|的最小值为dmin−3=23−3=3.
故选：B
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022·全国·高二课时练习）经过点P4,−2的抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=xB．x2=8yC．x2=−8yD．y2=−8x
【答案】AC
【解析】根据题意，分抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2=2pxp>0，和抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2=2pyp>0，分别代入点P的坐标，计算可得选项．
【详解】解：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2=2pxp>0，又因为抛物线经过点P4,−2，所以−22=2p×4，解得p=12，所以抛物线的方程为y2=x.
若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2=2pyp>0，又因为抛物线经过点P4,−2，所以42=2p×−2，解得p=−4，所以抛物线的方程为x2=−8y.
故选：AC．
【点睛】本题考查求抛物线的标准访，注意考虑抛物线的焦点所在的位置，属于基础题．
10．（2021·江苏·高邮市第一中学高二阶段练习）对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，准线方程为y＝－116
B．开口向上，焦点为(0,116)
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，准线方程为y＝－1
【答案】AB
【分析】根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可.
【详解】由题设，抛物线可化为x2=y4，
∴开口向上，焦点为(0,116)，准线方程为y=−116.
故选：AB
11．（2020·海南·高考真题）已知曲线C:mx2+ny2=1.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为n
C．若mn0，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解，m>n>0时表示椭圆，m=n>0时表示圆，mn0时表示两条直线.
【详解】对于A，若m>n>0，则mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1，
因为m>n>0，所以1m0，则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n，
此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；
对于C，若mn0，则mx2+ny2=1可化为y2=1n，
y=±nn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
12．（2021·全国·高二课时练习）已知F是抛物线C:y2=16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则（ ）
A．C的准线方程为x=−4B．F点的坐标为0,4
C．FN=12D．三角形ONF的面积为162（O为坐标原点）
【答案】ACD
【分析】先求C的准线方程x=−4，再求焦点F的坐标为4,0，接着求出AN=4，FF'=8，中位线BM=AN+FF'2=6，最后求出FN=12，S△QNF=162即可得到答案.
【详解】如图，不妨设点M位于第一象限，
设抛物线的准线l与x轴交于点F'，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.
由抛物线的解析式可得准线方程为x=−4，
F点的坐标为4,0，则AN=4，FF'=8，
在直角梯形ANFF'中，中位线BM=AN+FF'2=6，
由抛物线的定义有MF=MB=6，结合题意，有MN=MF=6，
故FN=FM+NM=6+6=12，ON=122−42=82，S△QNF=12×82×4=162.
故选：ACD.
【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2022·全国·高三专题练习）若直线x+y−2=0经过抛物线y=mx2的焦点，则m=______．
【答案】18
【分析】先将抛物线的方程化为标准方程得x2=1my，再根据题意求解即可得答案.
【详解】解：抛物线方程可化为x2=1my，
所以焦点在y轴上，
又直线x+y−2=0经过焦点，
所以焦点为(0,2)，
因此14m=2，解得m=18．
故答案为：18
【点睛】本题考查抛物线的标准方程求焦点，是基础题.
14．（2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2﹣y25=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=52x，则该双曲线的离心率是____.
【答案】32
【分析】根据渐近线方程求得a，由此求得c，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线x2a2−y25=1，故b=5.由于双曲线的一条渐近线方程为y=52x，即ba=52⇒a=2，所以c=a2+b2=4+5=3，所以双曲线的离心率为ca=32.
故答案为：32
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
15．（2021·北京市第四中学顺义分校高二期中）设P是椭圆x225+y29=1上的点,P到该椭圆左焦点的距离为2,则P到右焦点的距离为__________.
【答案】8
【解析】根据椭圆的定义，求得P到右焦点的距离.
【详解】依题意a=5，而P到该椭圆左焦点的距离为2,则P到右焦点的距离为5×2−2=8.
故答案为：8
【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.
16．（2020·海南·高考真题）斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=________．
【答案】163
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为y2=4x，∴抛物线的焦点F坐标为F(1,0)，
又∵直线AB过焦点F且斜率为3，∴直线AB的方程为：y=3(x−1)
代入抛物线方程消去y并化简得3x2−10x+3=0，
解法一：解得x1=13,x2=3
所以|AB|=1+k2|x1−x2|=1+3⋅|3−13|=163
解法二：Δ=100−36=64>0
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=103,
过A,B分别作准线x=−1的垂线，设垂足分别为C,D如图所示.
|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x1+1+x2+1 =x1+x2+2=163
故答案为：163
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2021·浙江·高二单元测试）焦点在x轴上的椭圆的方程为x24+y2m=1，点P(2,1)在椭圆上.
（1）求m的值.
（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.
【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长22、焦距22、离心率22
【分析】（1）根据题意，代入点P(2,1)，即可求解.
（2）由（1），写出椭圆方程，求解a,b,c，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定义，即可求解.
【详解】（1）由题意，点P(2,1)在椭圆上，代入，
得224+12m=1，解得m=2
（2）由（1）知，椭圆方程为x24+y22=1，则a=2,b=2,c=2
椭圆的长轴长2a=4；’
短轴长2b=22；
焦距2c=22；
离心率e=ca=22.
【点睛】本题考查（1）代入点求椭圆方程（2）求解长轴长、短轴长、焦距、离心率；考查概念辨析，属于基础题.
18．（2021·全国·高二专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为(−4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；
（2）焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
（3）经过点A(3，−2)和点B(−23，1).
【答案】（1）x225+y29=1；（2）y24+x2=1；（3）x215+y25=1.
【解析】（1）根据题意，分析可得要求椭圆中c、a的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；
（2）根据题意，由椭圆经过点的坐标可得椭圆中a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；
（3）根据题意，设要求椭圆的方程为mx2+ny2=1，将点P、Q的坐标代入计算可得m、n的值，即可得答案．
【详解】(1)由于椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
∴a=5，c=4，
∴b2=a2−c2=25−16=9，
故所求椭圆的标准方程为x225+y29=1；
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).
∴a=2，b=1，故所求椭圆的标准方程为y24+x2=1；
(3)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0且m≠n)，
则3m+4n=112m+n=1得m=115n=15，
∴所求椭圆的标准方程为x215+y25=1.
19．（2022·全国·高二单元测试）解答下列两个小题：
（1）双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b>0离心率为2，且点2,2在双曲线E上，求E的方程；
（2）双曲线C实轴长为2，且双曲线C与椭圆x28+y24=1的焦点相同，求双曲线C的标准方程．
【答案】（1）x22−y22=1；（2）x2−y23=1.
【分析】（1）由e=2可得c=2a，再将点2,2代入方程，联立解出答案，可得答案.
（2）先求出椭圆x28+y24=1的焦点±2,0，则双曲线C的焦点在x轴上，由条件可得2a=2，且a2+b2=4，从而得出答案.
【详解】（1）由e=2，得ca=2，即c=2a，
又b2=c2−a2=2a2−a2=a2，即a=b，
双曲线E的方程即为x2a2−y2a2=1，点2,2坐标代入得4a2−2a2=1，解得a2=2．
所以，双曲线E的方程为x22−y22=1．
（2）椭圆x28+y24=1的焦点为±2,0，
设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，
所以2a=2，且a2+b2=4，
所以a=1，b2=3
所以，双曲线C的方程为x2−y23=1．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知点3,1在双曲线C:x2−y2=a2a>0上．
（1）求正数a的值；
（2）求双曲线C上的动点P到定点A8,0的距离的最小值．
【答案】（1）22；（2）26．
【分析】（1）把点3,1代入双曲线的方程，直接求出a的值；（2）设点Px0,y0，由两点的距离公式表示出PA2，然后化简得关于x0的二次函数，利用二次函数的性质求解最小值.
【详解】（1）由题意，将点3,1代入双曲线方程得，32−12=a2=8，又a>0，所以a=22；
（2）由（1）知，x2−y2=8，设点Px0,y0，则x02−y02=8，且x0≤−22或x0≥22，
则PA2=x0−82+y02=x0−82+x02−8=2x02−16x0+56=2(x0−4)2+24，
所以当x0=4时，PA2取得最小值为24，所以PA的最小值为26.
21．（2022·全国·高二单元测试）已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
【答案】(1)y2＝4x
(2)证明见解析
【分析】(1)把已知点坐标代入抛物线方程求得参数p，即得抛物线方程；
(2)设AB：x＝my+t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得y1+y2,y1y2，代入kPA+kPB得参数t值，从而可得定点坐标．
（1）
P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，
∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x．
（2）
证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0，
kPA=y1−2x1−1=y1−2y124−1=4y1+2，同理：kPB=4y2+2，
由题意：4y1+2+4y2+2=2，
∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，
∴y1y2＝4，
∴﹣4t＝4，
∴t＝﹣1，
故直线AB恒过定点(﹣1，0)．
22．（2021·浙江·高二期中）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(1,2)在抛物线C上.
（1）求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
（2）过点F的直线l与抛物线C交于A,B两个不同点，若AB的中点为M(3,−2)，求△OAB的面积.
【答案】（1）1,0，x=−1；（2）22
【解析】（1）因为P1,2在抛物线C上，可得p=2，由抛物线的性质即可求出结果；
（2）由抛物线的定义可知AB=x1+x2+2=6，根据点斜式可求直线AB的方程为y=−x+1 ，利用点到直线距离公式求出高，进而求出面积.
【详解】（1）∵P1,2在抛物线C上，∴4=2p，∴P=2，
∴点F的坐标为1,0，抛物线C的准线方程为x=−1；
（2）设A,B 的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则AB=x1+x2+2=8，
∵ kMF=−1，∴直线AB的方程为y=−x+1 ，
点O到直线AB的距离d=12=22，
∴S△OAB=12AB⋅d=22.
【点睛】本题主要考查了抛物线的基本概念，直线与抛物线的位置关系，属于基础题.