专题3.2 空间向量基本定理（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc29453" 【考点1：空间向量基本定理解决几何问题】 PAGEREF _Tc29453 \h 1
\l "_Tc13898" 【考点2：空间向量基本定理中的参数问题】 PAGEREF _Tc13898 \h 4
\l "_Tc27591" 【考点3：基底的判断】 PAGEREF _Tc27591 \h 8
\l "_Tc56" 【考点4：基底的应用】 PAGEREF _Tc56 \h 14
【考点1：空间向量基本定理解决几何问题】
【知识点：空间向量基本定理】
如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z.
1．（2021秋•石家庄期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN：CA1＝1：4，则向量MN→可表示为（ ）
A．12a→+b→+c→B．14a→+14b→+c→C．14a→−38b→−14c→D．34a→+14b→−34c→
【分析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解．
【解答】解：因为在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，
点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN：CA1＝1：4，
所以MN→=MA→1+A1N→=−12AD→+34A1C→=−12AD→+34(AC→−AA1→)=
−12AD→+34(AB→+AD→−AA→1)=34AB→+14AD→−34AA→1=34a→+14b→−34c→，
故选：D．
2．（2022春•广东月考）在三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，则AP→=（ ）
A．13AB→+16AC→+12AD→B．12AB→+16AC→+13AD→
C．13AB→+12AC→+16AD→D．16AB→+13AC→+12AD→
【分析】延长PB至B1，使得PB1＝2PB，延长PC至C1，使得PC1＝3PC，连接DB1，B1C1，C1D，由题意得出S△PB1C1=S△PC1D=S△PB1D，P为△B1C1D的重心，由此用AD→、AB→和AC→表示AP→．
【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，如图所示：
延长PB至B1，使得PB1＝2PB，延长PC至C1，使得PC1＝3PC，连接DB1，B1C1，C1D，
因为S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，所以S△PB1C1=S△PC1D=S△PB1D，
所以P为△B1C1D的重心，所以PD→+PB1→+PC1→=0→，
即PD→+2PB→+3PC→=0→，
所以（AD→−AP→）+2（AB→−AP→）+3（AC→−AP→）=0→，
所以AP→=13AB→+12AC→+16AD→．
故选：C．
3．（2022春•河南月考）如图，在四面体OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，点M、N分别在线段OA、BC上，且2OM＝MA，CN＝2NB，则MN→等于（ ）
A．13a→+23b→+13c→B．13a→−23b→+13c→
C．13a→+23b→−13c→D．−13a→+23b→+13c→
【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
【解答】解：∵点M、N分别在线段OA、BC上，且2OM＝MA，CN＝2NB，
∴OM→=13OA→，CN→=23CB→=23（OB→−OC→），
∴ON→=OC→+CN→=OC→+23（OB→−OC→）=23OB→+13OC→，
∴MN→=ON→−OM→=23OB→+13OC→−13OA→=−13a→+23b→+13c→．
故选：D．
4．（2022春•安徽月考）在空间四边形ABCD中，AB→=a→，AC→=b→，AD→=c→，点M在AC上，且AC→=4MC→，N为BD的中点，则MN→=（ ）
A．12a→−34b→+12c→B．12a→−23b→−12c→
C．−12a→−34b→−12c→D．−12a→+23b→−12c→
【分析】根据题意用向量AB→、AC→和AD→作基底，表示向量MN→即可．
【解答】解：空间四边形ABCD中，AB→=a→，AC→=b→，AD→=c→，如图所示，
因为AC→=4MC→，N为BD的中点，所以MN→=MC→+CB→+BN→
=14AC→+（AB→−AC→）+12（AD→−AB→）
=12AB→−34AC→+12AD→
=12a→−34b→+12c→．
故选：A．
5．（2021秋•三元区校级月考）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，ON→=23OM→，设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，则OP→= 14a→+14b→+14c→ （用a→，b→，c→来表示）
【分析】利用空间向量基本定理结合空间向量的加法、加法以及数乘运算求解即可．
【解答】解：因为M是四面体OABC的棱BC的中点，所以OM→=12b→+12c→，
因为ON→=23OM→，
所以AN→=AO→+ON→=AO→+23OM→=AO→+23×12（b→+c→）=−a→+13b→+13c→，
因为AP＝3PN，
所以AP→=34AN→=−34a→+14b→+14c→，
所以OP→=OA→+AP→=a→−34a→+14b→+14c→=14a→+14b→+14c→．
故答案为：14a→+14b→+14c→．
【考点2：空间向量基本定理中的参数问题】
【知识点：空间向量基本定理】
如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z.
1．（2022春•淮安区期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若AF→=xAD→+yAB→+zAA1→，则x+y+z＝（ ）
A．1B．32C．2D．52
【分析】利用空间向量的加减法运算用AD→，AB→，AA1→来表示AF→，由此能求出结果．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，
AF→=AD→+DF→=AD→+12(AA1→+AB→)=AD→+12AB→+12AA1→，
∵AF→=xAD→+yAB→+zAA1→，∴x＝1，y＝z=12，
∴x+y+z＝2．
故选：C．
2．（2021秋•丽水期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BD1中点，若AP→=xAB→+yAD→+zAA1→，
则x+y+z＝（ ）
A．18B．1C．32D．3
【分析】利用向量运算法则直接求解．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BD1中点，
AP→=AB→+BP→=AB→+12BD1→=AB→+12(BC→+CC1→+C1D1→)
=AB→+12BC→+12CC1→+12C1D1→=12AB→+12AD→+12AA1→，
∵AP→=xAB→+yAD→+zAA1→，∴x＝y＝z=12，
则x+y+z=32．
故选：C．
3．（2021秋•慈溪市期末）已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若BD→=6PA→−4PB→+λPC→，则λ＝（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决．
【解答】解：BD→=6PA→−4PB→+λPC→，
即PD→−PB→=6PA→−4PB→+λPC→，
整理得PD→=6PA→−3PB→+λPC→，
由A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得6﹣3+λ＝1，解得λ＝﹣2，
故选：B．
4．（2021秋•衡阳月考）如图四棱锥O﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，OD→=xOA→+yOB→+zOC→，则x+y+z＝ 1 ．
【分析】利用向量运算法则直接求解．
【解答】解：如图四棱锥O﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，
则OD→=OA→+AD→=OA→+BC→=OA→−OB→+OC→，
∵OD→=xOA→+yOB→+zOC→，
∴x+y+z＝1﹣1+1＝1．
故答案为：1．
5．（2021秋•孝感期中）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N．设MN→=xAA→1+yAB→+zAC→(x，y，z∈R)，则x+y+z的值为 1 ．
【分析】把三个向量AB→，AA1→，AC→看作是基向量，由向量的线性运算将MN→用三个基向量表示出来，由此能求出结果．
【解答】解：由题意三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，
且BM＝3A1M，C1N＝2B1N，
则MN→=MA1→+A1C1→+C1N→
=14BA1→+AC→+23C1B1→
=−14AB→+14AA1→+AC→+23(AB→−AC→)
=512AB→+14AA1→+13AC→，
∵MN→=xAA→1+yAB→+zAC→(x，y，z∈R)，
∴x+y+z=512+14+13=1．
故答案为：1．
6．（2021秋•嘉定区校级月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是BB1中点，若A1M→=λCA→+μCB→+υCC1→，则λ+μ+υ＝ −12 ．
【分析】由题意画出图形，把A1M→用CA→、CB→、CC1→表示，结合已知求得λ、μ、v的值，则答案可求．
【解答】解：如图，
∵M是BB1中点，∴A1M→=A1C→+CM→=−CA1→+CB→+12BB1→
=−CA→−CC1→+CB→+12CC1→=−CA→+CB→−12CC1→，
又A1M→=λCA→+μCB→+υCC1→，∴λ＝﹣1，μ＝1，v=−12，
则λ+μ+υ=−12．
故答案为：−12．
7．（2021秋•广东期中）如图，在正方体OABC﹣O1A1B1C1中，点G为△ACO1的重心，若OA→=a→，OC→=b→，OO1→=c→，OG→=xa→+yb→+zc→，则x+y+z＝ 1 ．
【分析】由正方体的结构特征可知ACO1为正三角形，设AC，BO相交于点M，连接O1M，可得点G在线段O1M上，且满足O1G→=2GM→，利用向量的线性运算求得OG→=13a→+13b→+13c→，从而得解．
【解答】解：易知ACO1为正三角形，设AC，BO相交于点M，连接O1M，
如图所示，显然点G在线段O1M上，且满足O1G→=2GM→，
有OG→−OO1→=2（OM→−OG→），得OG→=23OM→+13OO1→，
有OG→=23×12（OA→+OC→）+13OO1→=13a→+13b→+13c→，
可得x+y+z＝1．
故答案为：1．
【考点3：基底的判断】
【知识点：基底】
如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我们把{，，}叫做空间的一个基底.
1．（2022春•涪城区校级期中）已知O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→，OC→不能构成空间的一个基底，则一定有（ ）
A．OA→，OB→，OC→共线
B．O，A，B，C中至少有三点共线
C．OA→+OB→与OC→共线
D．O，A，B，C四点共面
【分析】根据空间向量基本定理即可判断．
【解答】解：由于向量OA→，OB→，OC→不能构成空间的一个基底知OA→，OB→，OC→共面，
所以O，A，B，C四点共面，
故选：D．
2．（2021秋•朝阳区校级期末）已知空间向量a→，b→，c→，下列命题中正确的个数是（ ）
①若a→与b→共线，b→与c→共线，则a→与c→共线；
②若a→，b→，c→非零且共面，则它们所在的直线共面；
③若a→，b→，c→不共面，那么对任意一个空间向量p→，存在唯一有序实数组（x，y，z），使得p=xa→+yb→+zc→；
④若a→，b→不共线，向量c→=λa→+μb→（λ，μ∈R且λμ≠0），则{a→，b→，c→}可以构成空间的一个基底．
A．0B．1C．2D．3
【分析】举反例，判断①；根据共面向量的定义判断②；利用空间向量基本定理判断③④．
【解答】解：对于①，若a→与b→共线，b→与c→共线，则当b→=0→时，a→与c→不共线，故①错误；
对于②，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，
∴a→，b→，c→非零且共面，则表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，故②错误；
对于③，由空间向量基本定理可知：
若a→，b→，c→不共面，那么对任意一个空间向量p→，存在唯一有序实数组（x，y，z），使得p=xa→+yb→+zc→，故③正确；
④若a→，b→不共线，向量c→=λa→+μb→(λ，μ∈R且λμ≠0)，
则c→，a→，b→共在，∴{a→，b→，c→}不可以构成空间的一个基底，故④错误．
故选：B．
3．（2021秋•揭西县期末）若{a→，b→，c→}构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A．b→+c→，b→，b→−c→B．a→+b→，a→−b→，c→C．a→，a→+b→，a→−b→D．a→+b→，a→+b→+c→，c→
【分析】根据已知条件，结合向量共面的定理，即可求解．
【解答】解：对于A，若向量b→+c→，b→，b→−c→共面，
则b→+c→=λ(b→−c→)+μb→=(λ+μ)b→−λc→，即λ+μ=1−λ=1，解得λ＝﹣1，μ＝2，
故向量b→+c→，b→，b→−c→共面，故A错误，
对于B，若向量a→+b→，a→−b→，c→共面，
则a→+b→=λ(a→−b→)+μc→，λ，μ无解，
故向量a→+b→，a→−b→，c→不共面，故B正确，
对于C，若向量a→，a→+b→，a→−b→共面，
则a→+b→=λa→+μ(a→−b→)=(λ+μ)a→−μb→，即λ+μ=1−μ=1，解得λ＝2，μ＝﹣1，
故向量a→，a→+b→，a→−b→共面，故C错误，
对于D，若向量a→+b→，a→+b→+c→，c→共面，
则a→+b→+c→=λ(a→+b→)+μc→，解得λ＝μ＝1，
故向量a→+b→，a→+b→+c→，c→共面，故D错误．
故选：B．
4．（2021秋•荔湾区期末）若{a→，b→，c→}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．b→+c→，b→，b→−c→B．a→，a→+b→，a→−b→C．a→+b→，a→−b→，c→D．a→+b→，a→+b→+c→，c→
【分析】由平面向量基本定理判断．
【解答】解：由平面向量基本定理得：
对于A选项，b→=12（b→+c→）+12（b→−c→），所以b→+c→，b→，b→−c→三个向量共面；
对于B选项，同理：a→，a→+b→，a→−b→三个向量共面；
对于D选项，a→+b→+c→=(a→+b→)+(c→)，所以三个向量共面；
故选：C．
5．（2021秋•重庆月考）已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，下列不能与m→=a→−b→，n→=b→−c→构成空间的另一个基底的是（ ）
A．a→−c→B．a→+c→C．a→+b→D．a→+b→+c→
【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．
【解答】解：由m→=a→−b→，n→=b→−c→，两式相加可得m→+n→=（a→−b→）+（b→−c→）=a→−c→，
所以得a→−c→与m→，n→是共面向量，
故a→−c→不能与m→=a→−b→，n→=b→−c→构成空间的另一个基底．
故选：A．
6．（2021秋•贵池区校级期中）已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若p→=2a→−b→，q→=2b→−a→，r→=a→+b→，s→=a→+b→+c→，则下列可以为空间一个基底的是（ ）
A．a→，p→，q→B．b→，p→，q→C．r→，p→，q→D．s→，p→，q→
【分析】利用共面向量定理以及空间向量的线性运算，判断三个向量是否是共面向量，即可判断得到答案．
【解答】解：对于A，由题意可得2p→+q→=2(2a→−b→)+(2b→−a→)=3a→，
所以a→=23p→+13q→，
故a→，p→，q→共面，
故选项A错误；
对于B，由题意可得，p→+2q→=(2a→−b→)+2(2b→−a→)=3b→，
所以b→=13p→+23q→，
故b→，p→，q→共面，
故选项B错误；
对于C，由题意可得，p→+q→=(2a→−b→)+(2b→−a→)=a→+b→=r→，
故r→，p→，q→共面，
故选项C错误；
对于D，假设s→，p→，q→共面，则存在实数λ，μ，使得s→=λp→+μq→，
即a→+b→+c→=λ(2a→−b→)+μ(2b→−a→)，
所以c→=(2λ−μ−1)a→+(−λ+2μ−1)b→，
故a→，b→，c→共面，这与{a→，b→，c→}是空间的一个基底矛盾，
所以假设不成立，
则s→，p→，q→不共面，
故选项D正确．
故选：D．
7．（2021秋•黑龙江期中）已知{a→，b→，c→}是空间一个基底，p→=a→+b→，q→=a→−b→，一定可以与向量p→，q→构成空间另一个基底的是（ ）
A．a→B．b→C．c→D．13p→−2q→
【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．
【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，
结合向量p→+q→=（a→+b→）+（a→−b→）＝2a→，
得a→与p→，q→是共面向量，
同理b→与p→，q→是共面向量，
所以a→与b→不能与p→、q→构成空间的一个基底；
又c→与a→和b→不共面，
所以c→与p→、q→构成空间的一个基底．
故选：C．
8．（2021秋•河北月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，则下列向量能组成一组基底的为（ ）
A．AA1→，AB→，AC→B．AB→，AO→，AC1→
C．AA1→，A1C1→，AC→D．AB1→，AO→，AC→
【分析】不共面的向量才能组成一组基底，由此能求出结果．
【解答】解：对于A，∵AA1→，AB→，AC→不共面，∴AA1→，AB→，AC→能组成一组基底，故A正确；
对于B，∵AB→，AO→，AC1→共面于平面ABC1，∴AB→，AO→，AC1→不能组成一组基底，故B错误；
对于C，∵AA1→，A1C1→，AC→共面于平面ACC1A1，∴AA1→，A1C1→，AC→不能组成一组基底，故C错误；
对于D，∵AB1→，AO→，AC→共面于平面AB1C，∴AB1→，AO→，AC→不能组成一组基底，故D错误．
故选：A．
9．（2021秋•朝阳区校级月考）已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若p→=a→+b→，q→=a→−b→，则（ ）
A．a→，p→，q→是空间的一组基底
B．b→，p→，q→是空间的一组基底
C．c→，p→，q→是空间的一组基底
D．p→，q→与a→，b→，c→中的任何一个都不能构成空间的一组基底
【分析】根据空间向量的共线定理、共面定理，对选项中的命题真假性判断即可．
【解答】解：对于A，因为p→=a→+b→，q→=a→−b→，所以p→+q→=2a→，所以向量a→、p→、q→共面，不是空间的一组基底；
对于B，因为p→=a→+b→，q→=a→−b→，所以p→−q→=2b→，所以向量b→、p→、q→共面，不是空间的一组基底；
对于C，假设c→与p→、q→不是空间的一组基底，则c→=xp→+yq→=x（a→+b→）+y（a→−b→）＝（x+y）a→+（x﹣y）b→，
因为a→、b→、c→是空间的一组基底，所以x、y的值不存在，即可向量c→、p→、q→不共面，是空间的一组基底；
对于D，由选项C知，向量c→、p→、q→是空间的一组基底，所以选项D错误．
故选：C．
【考点4：基底的应用】
【知识点：基底】
如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x＋y＋z，我们把{，，}叫做空间的一个基底.
1．（2021秋•皇姑区校级期中）已知向量a→，b→，c→可作为空间的一组基底{a→，b→，c→}，若d→=3a→+4b→+c→，且d→在基底{（a→+2b→），（b→+3c→），（c→+a→）}下满足d→=x（a→+2b→）+y（b→+3c→）+z（c→+a→），则x＝ 2 ．
【分析】根据题意利用向量相等列出方程组求出x的值．
【解答】解：因为d→=3a→+4b→+c→，且d→=x（a→+2b→）+y（b→+3c→）+z（c→+a→）＝（x+z）a→+（2x+y）b→+（3y+z）c→，
则x+z=32x+y=43y+z=1，
解得x＝2，y＝0，z＝1．
故答案为：2．
2．（2021秋•石景山区期中）已知单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为B1D1中点．设AD1→=a→，AB1→=b→，AC→=c→．以{a→、b→、c→}为基底表示：
（1）AE→= 12a→+12b→ ；
（2）AC1→= 12a→+12b→+12c→ ．
【分析】根据向量的基本运算计算即可．
【解答】解：（1）在△AB1D1中，
设AD1→=a→，AB1→=b→，E为B1D1中点，
∴AE→=12（AB1→+AD1→）=12a→+12b→；
（2）AC1→=AE→+EC1→=AE→+12A1C1→
=AE→+12AC→=12a→+12b→+12c→，
故答案为：12a→+12b→；12a→+12b→+12c→．
3．（2021秋•珠海期末）四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG＝2GD，PA→=a→，PB→=b→，PC→=c→，用基底{a→，b→，c→}表示向量PG→= 23a→−13b→+23c→ ．
【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出．
【解答】解：PG→=PB→+BG→=PB→+23BD→=PB→+23(BA→+BC→)=PB→+23(PA→−PB→+PC→−PB→)=23PA→−13PB→+23PC→=23a→−13b→+23c→．
故答案为：23a→−13b→+23c→．