专题3.4 空间向量的应用（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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\l "_Tc29559" 【考点1：空间中直线、平面的平行关系】 PAGEREF _Tc29559 \h 1
\l "_Tc17115" 【考点2：空间中直线、平面的垂直关系】 PAGEREF _Tc17115 \h 5
\l "_Tc25288" 【考点3：空间中的距离】 PAGEREF _Tc25288 \h 7
\l "_Tc31927" 【考点4：空间中的角】 PAGEREF _Tc31927 \h 12
【考点1：空间中直线、平面的平行关系】
【知识点：空间向量法求空间中直线、平面的平行关系】
①设分别是直线与的方向向量，则，使得.
②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则.
③设分别是直线与的法向量，则，使得.
1．（2021秋•合肥期末）平面α的法向量u→=(x，1，−2)，平面β的法向量v→=(−1，y，12)，已知α∥β，则x+y＝（ ）
A．154B．174C．3D．52
2．（2021秋•兴庆区校级期末）若直线l的方向向量为a→，平面α的法向量为n→，能使l∥α的是（ ）
A．a→=（1，0，0），n→=（﹣2，0，0）
B．a→=（1，3，5），n→=（1，0，1）
C．a→=（0，2，1），n→=（﹣1，0，﹣1）
D．a→=（1，﹣1，3），n→=（0，3，1）
3．（2021秋•邵东市校级月考）直线l的方向向量s→=（﹣1，1，1），平面π的法向量为n→=（2，x2+x，﹣x），若直线l∥平面π，则实数x的值为（ ）
A．﹣2B．−2C．2D．±2
4．（2022春•西区校级期中）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k＝ ．
5．（2021秋•黄陵县校级期末）如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD．
6．（2021秋•西城区期中）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
【考点2：空间中直线、平面的垂直关系】
【知识点：空间向量法求空间中直线、平面的垂直关系】
①设分别是直线与的方向向量，则.
②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得.
③设分别是直线与的法向量，则.
1．（2021秋•徐州期末）若平面α，β的法向量分别为a→=（﹣1，2，4），b→=（x，﹣1，﹣2），且α⊥β，则x的值为（ ）
A．10B．﹣10C．12D．−12
2．（2021秋•三明期末）已知平面α，β的法向量分别为n1→=（1，y，4），n2→=（x，﹣1，﹣2），若a⊥β，则x﹣y的值为 ．
3．（2022春•淮安校级期末）已知A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（﹣1，0，﹣1），（2，1，1），点P的坐标是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是 ．
4．（2022•常熟市校级模拟）如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，cs＜DP→，AE→＞=33．
（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；
（2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．
【考点3：空间中的距离】
【知识点：空间向量法求空间中的距离】
已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此
.
1．（2022•陕西模拟）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA＝2，M，N分别为OA，BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．
2．（2021秋•赤峰校级期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．
（1）求证：CM∥平面PAD；
（2）点C到平面PAD的距离．
3．（2022•石家庄模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC＝4，D，E分别是AC，AB边上的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C＝A1D，如图2．
（Ⅰ）求证：DE⊥A1C；
（Ⅱ）求点C到平面A1BE的距离．
4．（2021秋•天津期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离．
【考点4：空间中的角】
【知识点：空间向量法求空间中的角】
①当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角.
②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有.
③如图①，AB，CD是二面角­l­两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为＝〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉；
如图②③，，分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足.
1．（2021秋•椒江区校级月考）若异面直线l1，l2的方向向量分别是a→=（0，﹣2，﹣1），b→=（2，0，4），则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（ ）
A．25B．−25C．−255D．255
2．（2021秋•浙江期末）已知矩形ABCD，AB＝1，BC=3，沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为−13，则B与D之间距离为（ ）
A．1B．2C．3D．102
3．（2022•温江区模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，PB，PD在底面ABCD内的射影分别为AB，AD，PA＝AB＝2AD＝2CD＝2．
（Ⅰ）求证：PC⊥BC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
4．（2022春•封丘县校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AD＝2，AB=2，∠ABC=π4，平面PAC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：AB⊥PC；
（Ⅱ）若PA＝PD＝2，点E为棱AD的中点，求直线PE与平面PAB所成角的正弦值．
5．（2022春•湖北月考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2．
（1）设F为B1C1中点，求证：A1F∥平面BDE；
（2）求直线A1B1与平面BDE所成角的正弦值．
6．（2022春•昆明期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，BC=3AC，∠BAC=π3，M是PA的中点．
（1）证明：PA⊥BC；
（2）若PC＝AC，求平面PBC与平面BCM所成角的大小．
与的夹角为β
l1与l2所成的角为θ
范围
[0，π]
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
求法