专题3.5 空间向量与立体几何（基础巩固卷）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021秋•南山区校级月考）已知i→，j→，k→是空间直角坐标系O﹣xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且OA→=3k→，AB→=−i→+j→−k→，则点B的坐标为（ ）
A．（1，﹣1，1）B．（﹣1，1，1）C．（1，﹣1，2）D．（﹣1，1，2）
2．（2021秋•南山区校级月考）已知直线l的一个方向向量m→=(2，−1，3)，且直线l过A（0，a，3）和B（﹣1，2，b）两点，则a+b＝（ ）
A．0B．1C．32D．3
3．（2021春•万宁校级期中）正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为（ ）
A．2B．3C．4−3D．4+3
4．（2021•青冈县校级开学）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，则a→⋅(b→+c→)的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
5．（2021•沈北新区校级开学）在空间四点O，A，B，C中，若{OA→，OB→，OC→}是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
6．（2021•三元区校级开学）设OABC是四面体，若D为BC的中点，AD→=xOA→+yOB→+zOC→，则（x，y，z）为（ ）
A．(14，14，14)B．(−1，12，12)
C．(−13，13，13)D．(23，23，23)
7．（2021秋•蚌埠月考）正四面体P﹣ABC中，点M是棱BC上的动点（包含端点），记异面直线PM与AB所成角为α，直线PM与平面ABC所成角为β，则（ ）
A．α＞βB．α＜βC．α≥βD．α≤β
8．（2020秋•鼓楼区校级期末）已知动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1（不含端点）上．设D1PD1B=λ，若∠APC为钝角，则实数λ的取值范围为（ ）
A．（0，13）B．（0，12）C．（13，1）D．（12，1）
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2021•望花区校级开学）已知直线l1、l2的方向向量分别是AB→=(2，4，x)，CD→=(2，y，2)，若|AB→|=6，且l1⊥l2，则x﹣y的值可以是（ ）
A．﹣3B．7C．1D．﹣5
10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量BD1→的是（ ）
A．（A1D1→−A1A→）−AB→B．（BC→+BB1→）−D1C1→
C．（AD→−AB→）+DD1→D．（B1D1→−A1A→）−DD1→
11．已知v1→，v2→分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），n1→，n2→分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A．v1→∥v2→⇔l1∥l2B．v1→⊥v2→⇔l1⊥l2
C．n1→∥n2→⇔α∥βD．n1→⊥n2→⇔α⊥β
12．（2020秋•历下区校级月考）已知空间三点A（﹣1，0，1），B（﹣1，2，2），C（﹣3，0，4），则下列说法正确的是（ ）
A．AB→⋅AC→=3B．AB→∥AC→
C．|BC→|=23D．cs＜AB→，AC→＞=365
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2021秋•南山区校级月考）已知a→=(2，−1，3)，b→=(−1，4，−2)，c→=(3，2，λ)，若a→，b→，c→三向量共面，则实数λ等于 ．
14．（2021春•瑶海区月考）已知平面α的一个法向量为n→=（1，1，1），原点O（0，0，0）在平面α内，则点P（4，5，3）到α的距离为 ．
15．（2021春•瑶海区月考）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，点M在A1C上，且AM=12MC1，N为BB1的中点，则MN的长为 ．
16．（2020春•和平区校级月考）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为 ．
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2021春•江门期末）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求△ABC的面积；
（2）若向量CD→∥AB→，且|CD→|=21，求向量CD→的坐标．
18．（2021春•惠州期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB＝2，E为PC中点．
（1）求证：DE⊥平面PCB；
（2）求二面角E﹣BD﹣P的余弦值．
19．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E、F分别是PC、AD中点，
（1）求证：DE∥平面PFB；
（2）求PB与面PCD所成角的正切值．
20．（2021春•中山市期末）空间四边形PABC中，PA，PB、PC两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为AB的中点．
（1）求BC与平面PAB所成的角；
（2）求证：AB⊥平面PMC．
21．（2021春•历下区期中）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
（1）证明：AB⊥平面PAD；
（2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．
22．（2020秋•东丽区校级期中）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，点P为棱DF的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面APC；
（Ⅱ）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
（Ⅲ）求点E到平面APC的距离．