专题5.1 基本计数原理（5类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

这是一份专题5.1 基本计数原理（5类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册），文件包含专题51基本计数原理5类必考点北师大版选择性必修第一册原卷版docx、专题51基本计数原理5类必考点北师大版选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc118924532" 【考点1：分类加法计数原理】 PAGEREF _Tc118924532 \h 1
\l "_Tc118924533" 【考点2：分步乘法计数原理】 PAGEREF _Tc118924533 \h 1
\l "_Tc118924534" 【考点3：组数问题】 PAGEREF _Tc118924534 \h 2
\l "_Tc118924535" 【考点4：涂色问题】 PAGEREF _Tc118924535 \h 2
\l "_Tc118924536" 【考点5：利用两个计数原理解决其他实际问题】 PAGEREF _Tc118924536 \h 2
【考点1：分类加法计数原理】
【知识点：分类加法计数原理】
(1)完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
(2) 能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点：
①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类．
②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事．
③把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．
1．（2022·全国·高二课时练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（ ）．
A．18个B．15个C．12个D．9个
2．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种B．6种
C．10种D．16种
3. (2022·杭州二中月考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14B．13
C．12D．10
4. 从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是________．
5．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期中）已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有_______．
【考点2：分步乘法计数原理】
【知识点：分步乘法计数原理】
(1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
(2) 能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点：
①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可．
②完成每一步有若干种方法．
③把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
(3)
1．（2022·浙江·杭州四中高二期中）仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（ ）种.
A．A43B．43C．34D．C43
2．（2022·全国·高二课时练习）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法有______种．
3．（2022·全国·高二课时练习）现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为______种．
4．（2023·全国·高三专题练习）某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
5．（2022·全国·高二课时练习）若a,b,c⊂−3,−2,−1,0,1,2,3,4，则符合条件的二次函数y=ax2+bx+c的解析式有______个．
6．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情爆发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗，争的初步胜利．面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定对某市A,B,C,D四个地区采取抽检，每周都抽检一个地区，且每周都是从上周未抽检的地区中随机抽取一个地区，设第1周抽到A地区，那么第6周也抽到A地区的概率是______（用最简分数表示）．
7．（2022·全国·高二课时练习）（1）将4封信投入3个信箱中，共有_______种不同的投法；
（2）某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有_________种不同的选法．
【考点3：组数问题】
【知识点：组数问题】
对于组数问题,应掌握以下原则
①明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类, 分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成, 如果正面分类较多, 可采用间接法求解.
②要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的首位.
1．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期中）用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（ ）
A．125种B．100种C．64种D．60种
2．（2022·黑龙江·鸡西实验中学高二阶段练习）（多选题）已知数字0，1，2，3，4，由它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）
A．组成可以有重复数字的四位数有500个
B．组成无重复数字的四位数有96个
C．组成无重复数字的四位偶数有66个
D．组成百位是奇数的四位偶数有28个
3．（2022·全国·高二课时练习）由0、1、2、3、4、5这6个数字可以组成______个没有重复数字的三位偶数.
4．（2022·甘肃·玉门油田第一中学高二期中（理））用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数有________ 个.（用数字回答）
5．（2022·广东·翠园中学高二期中）从不大于9的自然数中抽3个不同的数可以组成______个能被5整除的三位数．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知集合A=2,4,6,8，B=1,3,5,7,9，从A中取一个数作为十位数字，从B中取一个数作为个位数字，能组成______个不同的两位数，能组成______个十位数字小于个位数字的两位数．
7．（2022·全国·高二专题练习）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？
8．（2022·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：
(1)这些数的数字和；
(2)这些数的和．
9．（2022·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：
(1)这些数的数字和；
(2)这些数的和．
【考点4：涂色问题】
【知识点：涂色问题】
涂色问题常用方法:
①根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理区域涂色问题的基本方法;
②根据共用了多少种颜色,分别计算出各种情形的种数,再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数;
③根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数.
1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
2．（2022·全国·高三专题练习）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（ ）种
A．36 B．48 C．54 D．72
3．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）如图，用4种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）种
A．144B．73C．48D．32
4．（2023·全国·高三专题练习）四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P−ABCD的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（ ）
A．36种B．72种C．48种D．24种
5．（2022·河北保定·高二期末）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（ ）
A．1440B．720C．1920D．960
6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二期末（理））用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有_________种．
7．（2021·民大附中海南陵水分校高二期中）如图，一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻B两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，有_______种不同的种植方法
8．（2022·全国·高三专题练习）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.
9．（2023·全国·高三专题练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，从左到右共有5个空格．
(1)向5个空格中分别放入0，1，2，3，4这5个数字，一共可组成多少个不同的五位数的奇数？
(2)用红、黄、蓝这3种颜色给5个空格涂色，要求相邻空格用不同的颜色涂色，一共有多少种涂色方案？
【考点5：利用两个计数原理解决其他实际问题】
【知识点：利用两个计数原理解决其他实际问题】
在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
[方法技巧]
使用两个计数原理进行计数的基本思想
对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．
1．（2022·全国·高二期末）有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为
A．24B．14C．10D．9
2．（2022·全国·高二课时练习）4位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则4人拿的都不是自己的帽子方案总数为____________.（用数字作答）
3．（2021·天津·静海一中高二期末）将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______________. 名称
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
都是解决完成一件事的不同方法的种数问题
不同点
运用加法运算
运用乘法运算
分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解
分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解