专题5.2 排列问题（5类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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\l "_Tc119615841" 【考点1：排列与排列数公式】 PAGEREF _Tc119615841 \h 1
\l "_Tc119615842" 【考点2：相邻的排列问题】 PAGEREF _Tc119615842 \h 2
\l "_Tc119615843" 【考点3：不相邻的排列问题】 PAGEREF _Tc119615843 \h 2
\l "_Tc119615844" 【考点4：元素（位置）有限制的排列问题】 PAGEREF _Tc119615844 \h 4
\l "_Tc119615845" 【考点5：定序的排列问题】 PAGEREF _Tc119615845 \h 5
【考点1：排列与排列数公式】
【知识点：排列与排列数公式】
1．排列与排列数
1．（2022·全国·高三专题练习）若A2n3=10An3，则n=（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）下列等式中，成立的有（ ）
A．Anm=nAn−1m−1B．Anm=mAn−1m−1C．1n−mAnm+1=AnmD．Anm+mAnm−1=An+1m
3．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二阶段练习）下列等式正确的是（ ）
A．(n+1)Anm=An+1m+1B．Anm−1=n!(n−m−1)!
C．n!n(n−1)=(n−2)！D．1n−mAnm+1=Anm
4．（2022·全国·高二课时练习）（1）若A2x+14=140Ax3，则x=________；
（2）不等式A9x>6A9x−2的解集为________．
5．（2022·全国·高二课时练习）求证：Anm+mAnm−1=An+1m（m、n为大于1的自然数）．
6．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二阶段练习）求解下列问题：
(1)计算：2A85+7A84A88-A95
(2)解方程：An2=7An-42
【考点2：相邻的排列问题】
【知识点：相邻的排列问题】
捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列.
1．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（ ）
A．72种B．60种C．48种D．36种
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）五一期间，李阳的父母带着李阳和李阳的妹妹，一家4人去五台山游玩，他们在入口处站成一排拍照留影，若李阳的父母相邻，则这4人不同的站法种数是（ ）
A．24B．12C．8D．6
3．（2022·山西·高二学业考试）甲､乙､丙三位同学站成一排照相，则甲丙相邻的概率为______.
4．（2022·全国·高二课时练习）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为______．
5．（2022·安徽·长丰北城衡安学校高三开学考试）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为_______.
【考点3：不相邻的排列问题】
【知识点：不相邻的排列问题】
插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.
1．（2007·北京·高考真题（文））某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）
A．6B．12C．15D．30
2．（2022·河北·模拟预测）现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位，其中3家商户开特色小吃店，2家商户开文创产品店，一家商户开新奇玩具店，夜市管理部门要求特色小吃店必须都相邻，且文创产品店不相邻，则不同的排法总数为（ ）
A．48B．72C．144D．96
3．（2007·全国·高考真题（文））由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数．求这种五位数的个数．
4．（2007·全国·高考真题（文））要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）
5．（2022·河北沧州·高三阶段练习）现有7位老师（含甲、乙）随意排成一排拍照留念．
(1)求甲、乙不相邻的概率；
(2)求甲、乙之间所隔人数为2的不同排法的种数．
6．（2022·浙江·高二阶段练习）已知书架上有三本不同的外语书，两本不同的数学书和两本不同的语文书，现在要把这七本书在书架上自左至右排成一排.
(1)若两本数学书不能相邻，两本语文书不能相邻，求不同的排法总数；
(2)若同科目的书不能相邻，求不同的排法总数.
【考点4：元素（位置）有限制的排列问题】
【知识点：元素（位置）有限制的排列问题】
优先法：优先安排特殊元素或特殊位置.
1．（2023·全国·高三专题练习）某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有（ ）
A．60种B．120种C．144种D．300种
2．（2023·全国·高三专题练习）源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A,B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A．18种B．36种C．72种D．108种
3．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是（ ）
A．全体站成一排，女生必须站在一起有144种
B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种
C．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种
D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．
4．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二阶段练习）已知A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A．若A、B不相邻共有72种方法
B．若A不站在最左边，B不站最右边，有72种方法．
C．若A在B右边有60种排法
D．若A、B两人站在一起有48种方法
5．（2022·广东·高三阶段练习）甲，乙，丙、丁、戊5名同学站成一排，则甲不站两端且不与乙相邻的站法有__________种．
6．（2007·湖北·高考真题（文））安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是_____________.（用数字作答）
7．（2022·全国·高三专题练习）某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有___种．
【考点5：定序的排列问题】
【知识点：定序的排列问题】
定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.
1．（2022·重庆市实验中学高二期末）某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出A，B，C，D，E，F等6位同学参加比赛．在安排这6人的比赛顺序时要保证A要在B之前，D和F的顺序不能相邻，则符合要求的安排共有（ ）
A．240种B．180种C．120种D．150种
2．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高二期中）习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100B．120C．300D．600
3．（2020·江西九江·高二期末（理））3名学生和甲、乙、丙3位老师站成一排合影，要求甲、乙、丙从左到右按顺序站立（可以相邻也可以不相邻），一共有______种站法．（用数字作答）
4．（2021·全国·高二课时练习）2名女生、4名男生排成一排，求：
（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种?
（2）女生甲必须排在女生乙的左边(不一定相邻)的不同排法共有多少种?
5．（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高二阶段练习）现有6名学生，按下列要求回答问题(列出算式，并计算出结果)：
（1）6人站成一排，甲站在乙的前面(甲､乙可以不相邻)的不同站法种数；
（2）6人站成一排，甲､乙相邻，且丙与丁不相邻的不同站法种数；
6．（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高二阶段练习）江夏一中将要举行校园歌手大赛，现有2男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答）
(1)如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
(2)如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？ 排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Aeq \\al(m,n)
公式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)
性质
Aeq \\al(n,n)＝n！；0！＝1