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- 专题5.2 排列问题（5类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册） 试卷 0 次下载
- 专题5.4 二项式定理（5类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册） 试卷 0 次下载
- 专题5.5 计数原理（基础巩固卷）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册） 试卷 0 次下载
- 专题5.6 计数原理（能力提升卷）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册） 试卷 0 次下载
专题5.3 组合问题（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）
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这是一份专题5.3 组合问题（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册），文件包含专题53组合问题4类必考点北师大版选择性必修第一册原卷版docx、专题53组合问题4类必考点北师大版选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc120543314" 【考点1：组合与组合数公式】 PAGEREF _Tc120543314 \h 1
\l "_Tc120543315" 【考点2：有限制条件的组合问题】 PAGEREF _Tc120543315 \h 4
\l "_Tc120543316" 【考点3：分组分配问题】 PAGEREF _Tc120543316 \h 7
\l "_Tc120543317" 【考点4：其他组合问题】 PAGEREF _Tc120543317 \h 13
【考点1：组合与组合数公式】
【知识点：组合与组合数公式】
公式：Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1…n－m＋1,m！)＝eq \f(n！,m！n－m！)；Ceq \\al(0,n)＝1；Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1).
1．（2022·浙江·高二阶段练习）C52+C63=（ ）
A．25B．30C．35D．40
【答案】B
【分析】根据组合数公式直接求解即可.
【详解】C52+C63=5×42×1+6×5×43×2×1=10+20=30.
故选: B.
2．（2022·全国·高三专题练习）计算C33+C43+⋯+C93得到结果为（ ）
A．210B．165C．126D．120
【答案】A
【分析】根据组合数的运算性质计算即可.
【详解】解：C33+C43+⋯+C93=C44+C43+⋯+C93=C54+C53+⋯+C93=⋯=C94+C93=C104=10×9×8×74×3×2×1=210．
故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知n，m为正整数，且n≥m，则在下列各式中错误的是（ ）
A．A63=120；B．A127=C127⋅A77；C．Cnm+Cn+1m=Cn+1m+1；D．Cnm=Cnn−m
【答案】C
【分析】据组合数的性质及排列数公式计算可得
【详解】解：对于A，A63=6×5×4=120，故正确；
对于B，因为C127=A127A77，所以A127=C127⋅A77，故正确；
对于C，因为n，m为正整数，且n≥m，
所以令n=3,m=1，则Cnm+Cn+1m=C31+C41=7，Cn+1m+1=C42=4×32×1=6，此时Cnm+Cn+1m≠Cn+1m+1，故错误；
对于D，Cnm=Cnn−m，故正确；
故选：C
4．（2007·北京·高考真题（文））limn→∞C2nnC2n+2n+1=（ ）
A．0B．2C．12D．14
【答案】D
【分析】先根据Cnm=n!m!n−m!将C2nnC2n+2n+1展开化简，再根据极限运算规则计算即可.
【详解】C2nn=2n!n!2n−n!=2n!n!×n!，C2n+2n+1=2n+2!n+1!2n+2−n−1!=2n+22n+12n!n+1!×n+1!
C2nnC2n+2n+1=2n!n!×n!×n+1!×n+1!2n+22n+12n!=n+1n+12n+22n+1=n+14n+2
limn→∞C2nnC2n+2n+1=n+14n+2=1+1n4+2n=14
故选:D
5．（2007·天津·高考真题（理））limn→∞ C22+C32+C42+⋯+Cn2nC21+C31+C41+⋯+Cn1=（ ）
A．3B．13C．16D．6
【答案】B
【分析】先由组合数的运算与数列求和公式化简，再用极限的性质求解即可.
【详解】由于Cn2=n2−n2,Cn1=n，
于是C22+C32+C42+⋯+Cn2nC21+C31+C41+⋯+Cn1=1212−1+22−2+32−3+⋯+n2−nn2+3+4+⋯+n
=12nn+12n+16−nn+12n×2+nn−12=n+13n+2
limn→∞C22+C32+C42+⋯+Cn2nC21+C31+C41+⋯+Cn1=limn→∞n+13n+2=limn→∞1+1n31+2n=13，
故选：B
6．（2022·上海崇明·高二期末）已知x∈N，则方程C5x=C52x−1的解是___________．
【答案】1或2
【分析】根据组合数的性质列方程求解即可.
【详解】因为C5x=C52x−1，x∈N，
所以由组合数的性质得x=2x−1或5−x=2x−1，
解得x=1或x=2，
故答案为：1或2
7．（2022·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）若Am4=18Cm3，则m=______
【答案】6
【分析】排列数和组合数的计算公式，化简方程，求解即可.
【详解】因为Am4=18Cm3，
所以mm−1m−2m−3=18×mm−1m−23×2×1，
所以m−3=3，
解得m=6.
故答案为：6.
8．（2007·上海·高考真题（理））规定Cxm=x(x−1)⋯(x−m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且Cx0=1，这是组合数Cnm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
(1)求C−155的值．
(2)组合数的两个性质：①Cnm=Cnn−m；②Cnm+Cnm−1=Cn+1m是否都能推广到Cxm（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数Cnm是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cxm∈Z．
【答案】(1)−11628
(2)性质①不能推广，理由见解析；性质②能推广，证明见解析.
(3)证明见解析.
【分析】（1）按题中定义计算即可；
（2）由定义可知m是正整数，所以只需要判断①Cnm=Cnn−m；②Cnm+Cnm−1=Cn+1m中的m、n−m、m−1是否只能是整数即可；
（3）分类讨论x≥m、0≤x【详解】（1）C-155=−15(−16)⋯(−19)5!=−C195=−11628
（2）性质①不能推广，例如当x=2时C21有定义，但C22−1无意义；
性质②能推广，它的推广形式是：Cxm+Cxm−1=Cx+1m，x∈R，m是正整数
证明：当m=1时，有Cx1+Cx0=x+1=Cx+11，
当m≥2时，Cxm+Cxm−1=x(x−1)⋯(x−m+1)m!+x(x−1)⋯(x−m+2)m−1!
=x(x−1)⋯(x−m+2)m−1!x−m+1m+1
=x(x−1)⋯(x−m+2)x+1m!=Cx+1m
（3）当x≥m时，组合数Cxm∈Z；
当0≤x当x<0时，由x−m+1<0可知−x+m−1>0，
所以Cxm=x(x−1)⋯(x−m+1)m!=−1m(−x+m−1)⋯(−x+1)−xm!=−1mC−x+m−1m
因为组合数Cnm是正整数，所以−1mC−x+m−1m∈Z
证毕.
【考点2：有限制条件的组合问题】
【知识点：有限制条件的组合问题】
有限制条件的组合问题的解法
组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理．
1．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（ ）种.
A．16B．20C．96D．120
【答案】C
【分析】分一男两女与两男一女两类讨论.
【详解】若选一男两女共有：C21C42A33=72；
若选两男一女共有：C22C41A33=24；
因此共有96种，
故选：C
2．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）现有7个大小相同､质地均匀的小球，球上标有数字1,2,2,3,4,5,6.从这7个小球中随机取出3个，则所取出的小球上数字的最小值为2的概率为（ ）
A．27B．1435C．1635D．47
【答案】C
【分析】应用组合数求出7个球任取3个所有可能种数及数字的最小值为2的情况数，再应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】7个球任取3个有C73种，其中所取出的小球上数字的最小值为2的有C21C42+C22C41种，
所以所取出的小球上数字的最小值为2的概率为C21C42+C22C41C73=12+435=1635.
故选：C
3．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中A，B两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是（ ）
A．56B．28C．24D．12
【答案】B
【分析】设两个社团分别为甲乙，按A在甲社团B在乙社团和A在乙社团B在甲社团两种类型讨论，每种类型又分甲社团有2 人、3 人、4 人三种情况，运用排列组合公式计算方案数.
【详解】设两个社团为甲社团和乙社团，
当A在甲社团B在乙社团时，甲社团有2 人有C41种方案，甲社团有3 人有C42种方案，甲社团有4人有C43种方案，共C41+C42+C43=4+6+4=14种方案；
当B在甲社团A在乙社团时，同理也有14种方案；
所以不同的安排方案数是14+14=28.
故选：B
4．（2022·广东·饶平县第二中学高二期中）有5名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有一人参加，其中甲同学不能参加跳舞比赛，则参赛方案的种数为___________．
【答案】100
【分析】先排甲同学有2种方案，另外四名同学要么只参加甲参赛后剩余的两项比赛要么参加三项比赛，对每种情况先分组后分配，最后根据两个基本原理计算总数.
【详解】甲同学有2种参赛方案，其余四名同学，若只参加甲参赛后剩余的两项比赛，则将四名同学先分为两组，人数分配为1：3与2：2，分组方案有C41⋅ C33+C42C22A22=7，再将其分到两项比赛中去，共有分配方案数为7× A22=14;
若剩下的四名同学参加三项比赛，则将其分成三组，人数分配为2：1：1，分组方法数是C42，分到三项比赛上去的分配方法数是A33，故共有方案数C42A33=36.
根据两个基本原理共有方法数2×(14+36)=100(种).
故答案为：100.
5．（2008·重庆·高考真题（文））某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）,要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则不同的安装方法共有____________种．（用数字作答）
【答案】12
【分析】利用分步计数原理，先安排底面三个顶点，再安排底面的三个顶点.由分步计数原理可知所有的安排方法.
【详解】先安排下底面三个顶点共有A33=6种不同的安排方法，
再安排上底面的三个顶点共有C21=2种不同的安排方法，
由分步计数原理可知：共有6×2=12种不同的安排方法，
故答案为：12.
6．（2007·上海·高考真题（文））在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是___________.（结果用分数表示）
【答案】1433
【分析】使用组合数分别计算任意地挑选2名同学与选到的两名都是女同学的选法，再用古典概型求概率.
【详解】在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学共有C122=12×112×1=66种选法， 选到的两名都是女同学共有C82=8×72×1=28种
那么选到的两名都是女同学的概率是C82C122= 1433.
故答案为：1433
7．（2022·四川省叙永第一中学校高二期中（理））从甲、乙等5名同学中随机选3名组成校庆志愿小分队，则甲、乙都不入选的概率为 ________.
【答案】110
【分析】由组合数与古典概型求解，
【详解】由题意得甲、乙都不入选的概率为p=1C53=110，
故答案为：110
【考点3：分组分配问题】
【知识点：分组分配问题】
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．
[方法技巧] 分组分配问题的三种类型及求解策略
1．（2007·全国·高考真题（文））2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）
A．6种B．12种C．18种D．24种
【答案】B
【分析】先按要求把一所学校的医生护士分配好，剩下一所学校的人自然就确定了.
【详解】一所学校1名医生和2名护士的组合有C21C42=12（种）
故选:B
2．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（ ）种.
A．16B．20C．96D．120
【答案】C
【分析】分一男两女与两男一女两类讨论.
【详解】若选一男两女共有：C21C42A33=72；
若选两男一女共有：C22C41A33=24；
因此共有96种，
故选：C
3．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））2022年9月3日贵阳市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织6名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸.由于高三年级学生人数较多，要求高三教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．240B．150C．690D．180
【答案】A
【分析】利用分类计数原理及排列组合的意义，对高三志愿者人数进行分类讨论即可.
【详解】第一种：当高三的志愿者有3人时，其他两个年级有1个年级1人，有1个年级2人，则有C63C32A22=120种；
第二种：当高三的志愿者有2人时，其他两个年级也分别有2人，则有C62C42C22=90种；
第三种：当高三的志愿者有4人时，其他两个年级分别有1人，则有C64A22=30种，
所以不同的分配方法有：120+90+30=240种，
故选：A.
4．（2022·贵州·高三阶段练习（理））近期随着疫情的日益严重，社区的防控压力日益增大，我校第三党支部决定成立疫情防控小组投入到社区的疫情防控当中，现有4名男性党员和2名女性党员同志自愿报名，若从这6名党员同志中随机选择3名党员组成疫情防控小组，则防控小组中男、女党员均有的情况有多少种？（ ）
A．32B．20C．16D．10
【答案】C
【分析】6人中任选3人，至少有一名是男性，因此只要排除3人都是男性的情形即可得，即用排除法求解．
【详解】6人中任选3人，至少有一名是男性，因此只要排除3人都是男性的情形即可得，方法为C63−C43=16.
故选：C．
5．（2022·湖北·高三期中）2022年10月16日中国共产党二十大报告中指出“我们经过接续奋斗，实现了小康这个中华民族的千年梦想，打赢人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，历史性地解决绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献”，为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A．1176B．2352C．1722D．1302
【答案】A
【分析】把7名工作人员分别分为1,1,5,2,2,3,3,3,1三种情况讨论，然后分别计算即可求解．
【详解】由题可知把7名工作人员分别分为1,1,5,2,2,3,3,3,1三种情况，
把7名工作人员分为1，1，5三组，则不同的安排方式共有：C71C61C55A22⋅A33=126种，
把7名工作人员分为2，2，3三组，不同的安排方式共有：C72C52C33A22⋅A33=630种，
把7名工作人员分为3，3，1三组，不同的安排方式共有：C73C43C11A22⋅A33=420种，
综上，不同的安排方式共有126+630+420=1176种，
故选：A．
6．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中A，B两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是（ ）
A．56B．28C．24D．12
【答案】B
【分析】设两个社团分别为甲乙，按A在甲社团B在乙社团和A在乙社团B在甲社团两种类型讨论，每种类型又分甲社团有2 人、3 人、4 人三种情况，运用排列组合公式计算方案数.
【详解】设两个社团为甲社团和乙社团，
当A在甲社团B在乙社团时，甲社团有2 人有C41种方案，甲社团有3 人有C42种方案，甲社团有4人有C43种方案，共C41+C42+C43=4+6+4=14种方案；
当B在甲社团A在乙社团时，同理也有14种方案；
所以不同的安排方案数是14+14=28.
故选：B
7．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（ ）
A．60B．66C．72D．80
【答案】C
【分析】根据分步计数原理结合部分平均分组以及结合间接法运算求解.
【详解】5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有C51C31C42=90种安排方法，
若甲乙在同一实验舱的种数有C31C31C21=18种，
故甲乙不在同一实验舱的种数有90−18=72种.
故选：C.
8．（2022·江苏南通·高三期中）2022年是党的二十大召开之年，是开启新百年征程的一年.为突出展现党的十八大以来十年间的非凡成就，某校团委开展“非凡十年非凡成就”宣讲活动，讲述祖国各地发生的沧桑巨变，拟安排甲、乙等5位“校园名嘴”到4个班级进行宣讲，每位“校园名嘴”都要宣讲，每班至少安排一人，则甲、乙不在同一班级宣讲的概率为（ ）
A．910B．45C．34D．25
【答案】A
【分析】先求出五人安排到四个班的总数，再求出甲乙在同一个班的数量，再利用古典概型的公式计算即可.
【详解】解：五人安排到四个班共有C52A44个结果，甲乙在同一个班共有A44个结果，
P=A44C52A44=110，1−P=910，
故选：A.
9．（2022·重庆市育才中学高三期中）为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校恰好要安排2名大学生，则不同的安排方法共有__________（用数字表示结果）.
【答案】60
【分析】甲校恰好2人，剩余3名分成2组，一组1人，一组2人，运用先分组再分配即可解决.
【详解】由题知，甲校恰好要安排2名大学生，
所以剩余3名大学生分成2组，一组1人，一组2人，然后再进行安排，
所以有C52C32C11A22=60种，
故答案为：60
10．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种．
【答案】420
【分析】分两步，先确定分配有4个名额的班，共有4种，利用隔板法再确定剩余16个参赛名额的分配方式，最后求总方案数即可．
【详解】第一步，确定分配有4个名额的班，共有4种，
第二步，利用隔板法，剩余16个参赛名额的分配方式有C152=105种
则不同的分配方案有4×105=420
故答案为：420．
11．（2022·甘肃·兰州五十一中高三期中（理））博鳌亚洲论坛2021年年会于4月18日至21日在海南省琼海市博鳌镇举行，为了做好安保工作，大会期间将甲、乙等5个安保小组全部安排到指定A、B、C三个区域内工作，且这三个区域中每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有______种．
【答案】150
【分析】根据题意可分两组，分别求出每一组的方法，根据分类加法计数原理，总和即为所求.
【详解】解：因为三个区域每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，
有两种分组的情况：一种是1,1,3，另种是1,2,2，
当按照1,1,3来分时，共有N1=C51C41C33A22⋅A33=60（种），
当按照1,2,2来分时，共有N2=C52C32C11A22⋅A33=90（种），
根据分类加法计数原理知N=N1+N2=150种.
故答案为：150.
12．（2022·四川南充·高三期中（理））随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法．
【答案】150
【分析】分2步进行分析：①将5位学生分为3组，②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将5位学生分为3组，若有两组2人，一组1人，有C52C32A22=15种分组方法，
若两组1人，一组3人，有C53=10种分组方法，
则有15＋10＝25种分组方法，
②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有A33=6种情况，
则有25×6＝150种安排方法，
故答案为：150．
13．（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（陕西卷））某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有_________种．
【答案】1320
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及排列、组合列式计算作答.
【详解】依题意，当甲和乙都不去时，选派方案有A64种，
当甲和乙之一去时，选派方案有C21C63A44种，
所以不同的选派方案共有A64+C21C63A44=360+2×20×24=1320.
故答案为：1320
14．（2007·上海·高考真题（文））某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为____________．（结果用分数表示）
【答案】119190
【分析】首先得到总数为C202种，然后利用正难则反的方法，求出两人同属一个国家的情况共C112+C42+C52，最后对立事件概率公式得到答案.
【详解】由题意知本题是一个古典概型,
∵试验发生的所有事件是从20人中选2个人共有C202种结果,
而满足条件的事件是此两人不属于同一个国家的对立事件是此两人属于同一个国家,
∵此两人属于同一个国家共有C112+C42+C52,
由对立事件的概率公式得到P=1−C112+C52+C42C202=1−71190=119190
故答案为：119190.
15．（2022·黑龙江·宾县第二中学高二期末）现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．
(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；
(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；
(3)平均分成三个组每组两本．
【答案】(1)60；(2)360；(3)15.
【分析】（1）根据题意，由分步计数原理直接计算可得答案；
（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，再将分好的三组分给3人，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，由平均分组公式计算可得答案．
（1）
根据题意，第一组3本有C63种分法，第二组2本有C32种分法，第三组1本有1种分法，
所以共有C63C32×1=60种分法.
（2）
根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有C63C32×1=60种分法，
再将分好的三组分给3人，有A33=6种情况，
所以共有60×6=360种分法.
（3）
根据题意，将6本书平均分为3组，有C62C42C22A33=15种不同的分法．
【考点4：其他组合问题】
【知识点：其他组合问题】
1．（湖北·高考真题（理））已知直线xa+yb=1（a，b是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
A．60条B．66条C．72条D．78条
【答案】A
【分析】求出圆x2+y2=100上的整点的个数后分类讨论可求直线的条数.
【详解】圆x2+y2=100上的整点为：±10,0,0,±10,±6,±8,±8,±6，
共12个整点，过其中任意两点的直线有C122=66，
其中：过8,6,8,−6的直线、过−8,6,−8,−6的直线、过6,8,6,−8的直线、过−6,8,−6,−8的直线的斜率不存在；
过8,6,−8,6的直线、过−8,−6,8,−6的直线、过−6,8,6,8的直线、过−6,−8,6,−8的直线的截距方程不存在；
过0,−10,0,10的直线、过−10,0,10,0的直线，过−8,−6,8,6的直线、过6,8,−6,−8的直线过原点、过−8,6,8,−6的直线、过8,−6,−8,6的直线均过原点，
故共有14条直线的截距式方程不存在，
另外，各自以8,6,6,8,8,−6,6,−8,−8,6,−6,8,−8,−6,−6,−8为切点的直线的截距式方程也存在，共8条，
故满足条件的直线条数为：C122−14+8=60.
故选：A
2．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高二阶段练习）马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（ ）
A．12B．18C．21D．24
【答案】C
【分析】10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法，又两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，即可得出答案.
【详解】解：根据题意，10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法．
先将剩下的8盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，所以共有C72=21种关灯方法．
故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练习）8个点将半圆分成9段弧，以10个点（包括2个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（ ）个
A．55B．112C．156D．120
【答案】B
【分析】根据题意，用间接法，先利用组合数公式计算其中三角形的数目，排除其中直角三角形的数目计算可得答案．
【详解】根据题意，如图：在10个点中，任意三点不共线，
在其中任取3个点，可以组成C103=120个三角形，
其中没有锐角三角形，直角三角形是包含A、B点和余下的8点任意取一个构成的三角形，有8个，则钝角三角形有120−8=112个．
故选：B．
4．（2022·全国·高二单元测试）某学校为落实“双减政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排如下表.小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的选课方案共有（ ）
注：每位同学每天最多选一门课，每门课一周内最多选一次.A．15种B．10种C．8种D．5种
【答案】A
【分析】利用分类分步计算方法，首先考虑编程选在周二或周三，再确定书法的时间，最后确定足球的时间，即可得到总的选课方案.
【详解】若周二选编程，则选课方案有C31C31=9（种）；若周三选编程，则选课方案有C21C31=6（种）.综上，不同的选课方案共有9+6=15（种）.
故选:A.
5．（2022·重庆长寿·高二期末）某校共有东门、西门、北门三道校门.由于疫情防控需要，学校安排甲、乙、丙、丁4名教师志愿者分别去三道校门协助保安值守，下列选项正确的是（ ）
A．若对每名教师志愿者去哪道校门无要求，则共有81种不同的安排方法
B．若恰有一道门没有教师志愿者去，则共有42种不同的安排方法
C．若甲、乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去，则共有44种不同的安排方法
D．若学校新购入20把同一型号的额温枪，准备全部分配给三道校门使用，每道校门至少3把，则共有78种分配方法
【答案】ABD
【分析】求得若对每名教师志愿者去哪道校门无要求的安排方法数判断选项A；求得若恰有一道门没有教师志愿者去的安排方法数判断选项B；求得若甲、乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去的安排方法数判断选项C；求得20把同一型号的额温枪，全部分配给三道校门且每道校门至少3把的分配方法数判断选项D.
【详解】甲、乙、丙、丁4名教师志愿者分别去东门、西门、北门三道校门协助保安值守
选项A：若对每名教师志愿者去哪道校门无要求，
则共有34=81种不同的安排方法.判断正确；
选项B：若恰有一道门没有教师志愿者去，
则可以先把4名教师分成2组，再分配给东门、西门、北门三道校门.
则共有(C41C33+C42C22A22)A32=42（种）不同的安排方法.判断正确；
选项C：若甲、乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去，
则北门可以安排1名教师或安排2名教师.
则共有C21C31C22A22+C22A22=14（种）不同的安排方法.判断错误；
选项D：若学校新购入20把同一型号的额温枪，准备全部分配给三道校门使用，
每道校门至少3把，则先分配给三道校门各2把，还剩14把，
将14把额温枪排成一排，在中间13个空位中置入2个挡板，
共有C132=78（种）分配方法.判断正确.
故选：ABD
6．（2022·福建师大附中高三阶段练习）各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____．
【答案】120
【分析】四个数位数字分别为a1,a2,a3,a4，则a1+a2+a3+a4=8，应用插空法求四位数个数.
【详解】设a1,a2,a3,a4对应个位到千位上的数字，则a4∈N∗，ai∈N(i=1,2,3)且a1+a2+a3+a4 =8，
相当于将3个表示0的球与8个表示1的球排成一排，即10个空用3个隔板将其分开，故共C103=120种.
故答案为：120
7．（2022·重庆·高二阶段练习）若方程：x1+x2+x3+x4=8，则方程的正整数解的个数为___________.
【答案】35
【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可.
【详解】解：原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，
采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可，
故共有C73=7×6×53×2×1=35种.
故答案为：35.
8．（2022·全国·高三专题练习）立方体8个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有______对.
【答案】174
【分析】求出正方体中包含的三棱锥的个数，每个三棱锥有三对异面直线，然后求出这些三棱锥中异面直线的对数即可．
【详解】解：立方体中有8个顶点，其中三棱锥的个数有C84﹣12＝58，每个三棱锥中异面直线的对数是：3，
其中异面直线有：58×3＝174对．
故答案为：174．
9．（2022·全国·高三专题练习）方程18x+4y+9z=2021的正整数解有多少组？
【答案】3080
【分析】根据题意确定p+r+s=54或p+r+s=54，其中r，s，p∈N，用隔板法即可求出方程18x+4y+9z=2021的正整数解组数．
【详解】解：由题意，（18x+4y+9z）≡2021（md9），即4y≡5（md9）
故y=9r+8，r∈N，
代入原方程得：2x+4r+z=221①
则2x+4r+z=221（md4），即2x+z=1（md4），
故 z=4s+1x=2(p+1) 或 z=4s+3x=2p+1，其中s，p∈N，
（注：这里第一个取x=2（p+1）是为了保证p∈N）．
代入方程①可得：p+r+s=54或p+r+s=54，其中r，s，p∈N．
（注：两类不同的解，转化后形式一致）
根据隔板法该不定方程的解共有2C562=3080组．
10．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）将6个不同小球装入编号为1，2，3，4，5的5个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将6个相同小球放入这5个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法.（结果用数字作答）
【答案】 1800 210
【分析】由6个不同小球分成5组，再将5组球分别放入5个盒子即可得解；6个相同的小球放入5个盒子，若允许有空盒子，可先借5个球，然后再将11个球的10个空间中插入4块即可得解.
【详解】解：由题意得：
由6个不同小球分成5组，每组个数分别为1，1，1，1，2，不同的分组情况有C62=15种方法，再将5组球分别放入5个盒子共有C62A55=1800种；
6个相同的小球放入5个盒子，若允许有空盒子，可先借5个球，然后再将11个球的10个空间中插入4块板，共有C104=10×9×8×74×3×2×1=210种.
故答案为：1800；210组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Ceq \\al(m,n)
类型
求解策略
整体均分
解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数
部分均分
解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数
不等分组
只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数
周一
周二
周三
周四
周五
演讲、绘画、舞蹈、足球
编程、绘画、舞蹈、足球
编程、书法、舞蹈、足球
书法、演讲、舞蹈、足球
书法、演讲、舞蹈、足球
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc120543314" 【考点1：组合与组合数公式】 PAGEREF _Tc120543314 \h 1
\l "_Tc120543315" 【考点2：有限制条件的组合问题】 PAGEREF _Tc120543315 \h 4
\l "_Tc120543316" 【考点3：分组分配问题】 PAGEREF _Tc120543316 \h 7
\l "_Tc120543317" 【考点4：其他组合问题】 PAGEREF _Tc120543317 \h 13
【考点1：组合与组合数公式】
【知识点：组合与组合数公式】
公式：Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1…n－m＋1,m！)＝eq \f(n！,m！n－m！)；Ceq \\al(0,n)＝1；Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1).
1．（2022·浙江·高二阶段练习）C52+C63=（ ）
A．25B．30C．35D．40
【答案】B
【分析】根据组合数公式直接求解即可.
【详解】C52+C63=5×42×1+6×5×43×2×1=10+20=30.
故选: B.
2．（2022·全国·高三专题练习）计算C33+C43+⋯+C93得到结果为（ ）
A．210B．165C．126D．120
【答案】A
【分析】根据组合数的运算性质计算即可.
【详解】解：C33+C43+⋯+C93=C44+C43+⋯+C93=C54+C53+⋯+C93=⋯=C94+C93=C104=10×9×8×74×3×2×1=210．
故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知n，m为正整数，且n≥m，则在下列各式中错误的是（ ）
A．A63=120；B．A127=C127⋅A77；C．Cnm+Cn+1m=Cn+1m+1；D．Cnm=Cnn−m
【答案】C
【分析】据组合数的性质及排列数公式计算可得
【详解】解：对于A，A63=6×5×4=120，故正确；
对于B，因为C127=A127A77，所以A127=C127⋅A77，故正确；
对于C，因为n，m为正整数，且n≥m，
所以令n=3,m=1，则Cnm+Cn+1m=C31+C41=7，Cn+1m+1=C42=4×32×1=6，此时Cnm+Cn+1m≠Cn+1m+1，故错误；
对于D，Cnm=Cnn−m，故正确；
故选：C
4．（2007·北京·高考真题（文））limn→∞C2nnC2n+2n+1=（ ）
A．0B．2C．12D．14
【答案】D
【分析】先根据Cnm=n!m!n−m!将C2nnC2n+2n+1展开化简，再根据极限运算规则计算即可.
【详解】C2nn=2n!n!2n−n!=2n!n!×n!，C2n+2n+1=2n+2!n+1!2n+2−n−1!=2n+22n+12n!n+1!×n+1!
C2nnC2n+2n+1=2n!n!×n!×n+1!×n+1!2n+22n+12n!=n+1n+12n+22n+1=n+14n+2
limn→∞C2nnC2n+2n+1=n+14n+2=1+1n4+2n=14
故选:D
5．（2007·天津·高考真题（理））limn→∞ C22+C32+C42+⋯+Cn2nC21+C31+C41+⋯+Cn1=（ ）
A．3B．13C．16D．6
【答案】B
【分析】先由组合数的运算与数列求和公式化简，再用极限的性质求解即可.
【详解】由于Cn2=n2−n2,Cn1=n，
于是C22+C32+C42+⋯+Cn2nC21+C31+C41+⋯+Cn1=1212−1+22−2+32−3+⋯+n2−nn2+3+4+⋯+n
=12nn+12n+16−nn+12n×2+nn−12=n+13n+2
limn→∞C22+C32+C42+⋯+Cn2nC21+C31+C41+⋯+Cn1=limn→∞n+13n+2=limn→∞1+1n31+2n=13，
故选：B
6．（2022·上海崇明·高二期末）已知x∈N，则方程C5x=C52x−1的解是___________．
【答案】1或2
【分析】根据组合数的性质列方程求解即可.
【详解】因为C5x=C52x−1，x∈N，
所以由组合数的性质得x=2x−1或5−x=2x−1，
解得x=1或x=2，
故答案为：1或2
7．（2022·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）若Am4=18Cm3，则m=______
【答案】6
【分析】排列数和组合数的计算公式，化简方程，求解即可.
【详解】因为Am4=18Cm3，
所以mm−1m−2m−3=18×mm−1m−23×2×1，
所以m−3=3，
解得m=6.
故答案为：6.
8．（2007·上海·高考真题（理））规定Cxm=x(x−1)⋯(x−m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且Cx0=1，这是组合数Cnm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
(1)求C−155的值．
(2)组合数的两个性质：①Cnm=Cnn−m；②Cnm+Cnm−1=Cn+1m是否都能推广到Cxm（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数Cnm是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cxm∈Z．
【答案】(1)−11628
(2)性质①不能推广，理由见解析；性质②能推广，证明见解析.
(3)证明见解析.
【分析】（1）按题中定义计算即可；
（2）由定义可知m是正整数，所以只需要判断①Cnm=Cnn−m；②Cnm+Cnm−1=Cn+1m中的m、n−m、m−1是否只能是整数即可；
（3）分类讨论x≥m、0≤x
（2）性质①不能推广，例如当x=2时C21有定义，但C22−1无意义；
性质②能推广，它的推广形式是：Cxm+Cxm−1=Cx+1m，x∈R，m是正整数
证明：当m=1时，有Cx1+Cx0=x+1=Cx+11，
当m≥2时，Cxm+Cxm−1=x(x−1)⋯(x−m+1)m!+x(x−1)⋯(x−m+2)m−1!
=x(x−1)⋯(x−m+2)m−1!x−m+1m+1
=x(x−1)⋯(x−m+2)x+1m!=Cx+1m
（3）当x≥m时，组合数Cxm∈Z；
当0≤x
所以Cxm=x(x−1)⋯(x−m+1)m!=−1m(−x+m−1)⋯(−x+1)−xm!=−1mC−x+m−1m
因为组合数Cnm是正整数，所以−1mC−x+m−1m∈Z
证毕.
【考点2：有限制条件的组合问题】
【知识点：有限制条件的组合问题】
有限制条件的组合问题的解法
组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理．
1．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（ ）种.
A．16B．20C．96D．120
【答案】C
【分析】分一男两女与两男一女两类讨论.
【详解】若选一男两女共有：C21C42A33=72；
若选两男一女共有：C22C41A33=24；
因此共有96种，
故选：C
2．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）现有7个大小相同､质地均匀的小球，球上标有数字1,2,2,3,4,5,6.从这7个小球中随机取出3个，则所取出的小球上数字的最小值为2的概率为（ ）
A．27B．1435C．1635D．47
【答案】C
【分析】应用组合数求出7个球任取3个所有可能种数及数字的最小值为2的情况数，再应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】7个球任取3个有C73种，其中所取出的小球上数字的最小值为2的有C21C42+C22C41种，
所以所取出的小球上数字的最小值为2的概率为C21C42+C22C41C73=12+435=1635.
故选：C
3．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中A，B两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是（ ）
A．56B．28C．24D．12
【答案】B
【分析】设两个社团分别为甲乙，按A在甲社团B在乙社团和A在乙社团B在甲社团两种类型讨论，每种类型又分甲社团有2 人、3 人、4 人三种情况，运用排列组合公式计算方案数.
【详解】设两个社团为甲社团和乙社团，
当A在甲社团B在乙社团时，甲社团有2 人有C41种方案，甲社团有3 人有C42种方案，甲社团有4人有C43种方案，共C41+C42+C43=4+6+4=14种方案；
当B在甲社团A在乙社团时，同理也有14种方案；
所以不同的安排方案数是14+14=28.
故选：B
4．（2022·广东·饶平县第二中学高二期中）有5名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有一人参加，其中甲同学不能参加跳舞比赛，则参赛方案的种数为___________．
【答案】100
【分析】先排甲同学有2种方案，另外四名同学要么只参加甲参赛后剩余的两项比赛要么参加三项比赛，对每种情况先分组后分配，最后根据两个基本原理计算总数.
【详解】甲同学有2种参赛方案，其余四名同学，若只参加甲参赛后剩余的两项比赛，则将四名同学先分为两组，人数分配为1：3与2：2，分组方案有C41⋅ C33+C42C22A22=7，再将其分到两项比赛中去，共有分配方案数为7× A22=14;
若剩下的四名同学参加三项比赛，则将其分成三组，人数分配为2：1：1，分组方法数是C42，分到三项比赛上去的分配方法数是A33，故共有方案数C42A33=36.
根据两个基本原理共有方法数2×(14+36)=100(种).
故答案为：100.
5．（2008·重庆·高考真题（文））某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）,要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则不同的安装方法共有____________种．（用数字作答）
【答案】12
【分析】利用分步计数原理，先安排底面三个顶点，再安排底面的三个顶点.由分步计数原理可知所有的安排方法.
【详解】先安排下底面三个顶点共有A33=6种不同的安排方法，
再安排上底面的三个顶点共有C21=2种不同的安排方法，
由分步计数原理可知：共有6×2=12种不同的安排方法，
故答案为：12.
6．（2007·上海·高考真题（文））在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是___________.（结果用分数表示）
【答案】1433
【分析】使用组合数分别计算任意地挑选2名同学与选到的两名都是女同学的选法，再用古典概型求概率.
【详解】在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学共有C122=12×112×1=66种选法， 选到的两名都是女同学共有C82=8×72×1=28种
那么选到的两名都是女同学的概率是C82C122= 1433.
故答案为：1433
7．（2022·四川省叙永第一中学校高二期中（理））从甲、乙等5名同学中随机选3名组成校庆志愿小分队，则甲、乙都不入选的概率为 ________.
【答案】110
【分析】由组合数与古典概型求解，
【详解】由题意得甲、乙都不入选的概率为p=1C53=110，
故答案为：110
【考点3：分组分配问题】
【知识点：分组分配问题】
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．
[方法技巧] 分组分配问题的三种类型及求解策略
1．（2007·全国·高考真题（文））2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）
A．6种B．12种C．18种D．24种
【答案】B
【分析】先按要求把一所学校的医生护士分配好，剩下一所学校的人自然就确定了.
【详解】一所学校1名医生和2名护士的组合有C21C42=12（种）
故选:B
2．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（ ）种.
A．16B．20C．96D．120
【答案】C
【分析】分一男两女与两男一女两类讨论.
【详解】若选一男两女共有：C21C42A33=72；
若选两男一女共有：C22C41A33=24；
因此共有96种，
故选：C
3．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））2022年9月3日贵阳市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织6名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸.由于高三年级学生人数较多，要求高三教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．240B．150C．690D．180
【答案】A
【分析】利用分类计数原理及排列组合的意义，对高三志愿者人数进行分类讨论即可.
【详解】第一种：当高三的志愿者有3人时，其他两个年级有1个年级1人，有1个年级2人，则有C63C32A22=120种；
第二种：当高三的志愿者有2人时，其他两个年级也分别有2人，则有C62C42C22=90种；
第三种：当高三的志愿者有4人时，其他两个年级分别有1人，则有C64A22=30种，
所以不同的分配方法有：120+90+30=240种，
故选：A.
4．（2022·贵州·高三阶段练习（理））近期随着疫情的日益严重，社区的防控压力日益增大，我校第三党支部决定成立疫情防控小组投入到社区的疫情防控当中，现有4名男性党员和2名女性党员同志自愿报名，若从这6名党员同志中随机选择3名党员组成疫情防控小组，则防控小组中男、女党员均有的情况有多少种？（ ）
A．32B．20C．16D．10
【答案】C
【分析】6人中任选3人，至少有一名是男性，因此只要排除3人都是男性的情形即可得，即用排除法求解．
【详解】6人中任选3人，至少有一名是男性，因此只要排除3人都是男性的情形即可得，方法为C63−C43=16.
故选：C．
5．（2022·湖北·高三期中）2022年10月16日中国共产党二十大报告中指出“我们经过接续奋斗，实现了小康这个中华民族的千年梦想，打赢人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，历史性地解决绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献”，为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A．1176B．2352C．1722D．1302
【答案】A
【分析】把7名工作人员分别分为1,1,5,2,2,3,3,3,1三种情况讨论，然后分别计算即可求解．
【详解】由题可知把7名工作人员分别分为1,1,5,2,2,3,3,3,1三种情况，
把7名工作人员分为1，1，5三组，则不同的安排方式共有：C71C61C55A22⋅A33=126种，
把7名工作人员分为2，2，3三组，不同的安排方式共有：C72C52C33A22⋅A33=630种，
把7名工作人员分为3，3，1三组，不同的安排方式共有：C73C43C11A22⋅A33=420种，
综上，不同的安排方式共有126+630+420=1176种，
故选：A．
6．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中A，B两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是（ ）
A．56B．28C．24D．12
【答案】B
【分析】设两个社团分别为甲乙，按A在甲社团B在乙社团和A在乙社团B在甲社团两种类型讨论，每种类型又分甲社团有2 人、3 人、4 人三种情况，运用排列组合公式计算方案数.
【详解】设两个社团为甲社团和乙社团，
当A在甲社团B在乙社团时，甲社团有2 人有C41种方案，甲社团有3 人有C42种方案，甲社团有4人有C43种方案，共C41+C42+C43=4+6+4=14种方案；
当B在甲社团A在乙社团时，同理也有14种方案；
所以不同的安排方案数是14+14=28.
故选：B
7．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（ ）
A．60B．66C．72D．80
【答案】C
【分析】根据分步计数原理结合部分平均分组以及结合间接法运算求解.
【详解】5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有C51C31C42=90种安排方法，
若甲乙在同一实验舱的种数有C31C31C21=18种，
故甲乙不在同一实验舱的种数有90−18=72种.
故选：C.
8．（2022·江苏南通·高三期中）2022年是党的二十大召开之年，是开启新百年征程的一年.为突出展现党的十八大以来十年间的非凡成就，某校团委开展“非凡十年非凡成就”宣讲活动，讲述祖国各地发生的沧桑巨变，拟安排甲、乙等5位“校园名嘴”到4个班级进行宣讲，每位“校园名嘴”都要宣讲，每班至少安排一人，则甲、乙不在同一班级宣讲的概率为（ ）
A．910B．45C．34D．25
【答案】A
【分析】先求出五人安排到四个班的总数，再求出甲乙在同一个班的数量，再利用古典概型的公式计算即可.
【详解】解：五人安排到四个班共有C52A44个结果，甲乙在同一个班共有A44个结果，
P=A44C52A44=110，1−P=910，
故选：A.
9．（2022·重庆市育才中学高三期中）为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校恰好要安排2名大学生，则不同的安排方法共有__________（用数字表示结果）.
【答案】60
【分析】甲校恰好2人，剩余3名分成2组，一组1人，一组2人，运用先分组再分配即可解决.
【详解】由题知，甲校恰好要安排2名大学生，
所以剩余3名大学生分成2组，一组1人，一组2人，然后再进行安排，
所以有C52C32C11A22=60种，
故答案为：60
10．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种．
【答案】420
【分析】分两步，先确定分配有4个名额的班，共有4种，利用隔板法再确定剩余16个参赛名额的分配方式，最后求总方案数即可．
【详解】第一步，确定分配有4个名额的班，共有4种，
第二步，利用隔板法，剩余16个参赛名额的分配方式有C152=105种
则不同的分配方案有4×105=420
故答案为：420．
11．（2022·甘肃·兰州五十一中高三期中（理））博鳌亚洲论坛2021年年会于4月18日至21日在海南省琼海市博鳌镇举行，为了做好安保工作，大会期间将甲、乙等5个安保小组全部安排到指定A、B、C三个区域内工作，且这三个区域中每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有______种．
【答案】150
【分析】根据题意可分两组，分别求出每一组的方法，根据分类加法计数原理，总和即为所求.
【详解】解：因为三个区域每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，
有两种分组的情况：一种是1,1,3，另种是1,2,2，
当按照1,1,3来分时，共有N1=C51C41C33A22⋅A33=60（种），
当按照1,2,2来分时，共有N2=C52C32C11A22⋅A33=90（种），
根据分类加法计数原理知N=N1+N2=150种.
故答案为：150.
12．（2022·四川南充·高三期中（理））随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法．
【答案】150
【分析】分2步进行分析：①将5位学生分为3组，②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将5位学生分为3组，若有两组2人，一组1人，有C52C32A22=15种分组方法，
若两组1人，一组3人，有C53=10种分组方法，
则有15＋10＝25种分组方法，
②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有A33=6种情况，
则有25×6＝150种安排方法，
故答案为：150．
13．（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（陕西卷））某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有_________种．
【答案】1320
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及排列、组合列式计算作答.
【详解】依题意，当甲和乙都不去时，选派方案有A64种，
当甲和乙之一去时，选派方案有C21C63A44种，
所以不同的选派方案共有A64+C21C63A44=360+2×20×24=1320.
故答案为：1320
14．（2007·上海·高考真题（文））某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为____________．（结果用分数表示）
【答案】119190
【分析】首先得到总数为C202种，然后利用正难则反的方法，求出两人同属一个国家的情况共C112+C42+C52，最后对立事件概率公式得到答案.
【详解】由题意知本题是一个古典概型,
∵试验发生的所有事件是从20人中选2个人共有C202种结果,
而满足条件的事件是此两人不属于同一个国家的对立事件是此两人属于同一个国家,
∵此两人属于同一个国家共有C112+C42+C52,
由对立事件的概率公式得到P=1−C112+C52+C42C202=1−71190=119190
故答案为：119190.
15．（2022·黑龙江·宾县第二中学高二期末）现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．
(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；
(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；
(3)平均分成三个组每组两本．
【答案】(1)60；(2)360；(3)15.
【分析】（1）根据题意，由分步计数原理直接计算可得答案；
（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，再将分好的三组分给3人，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，由平均分组公式计算可得答案．
（1）
根据题意，第一组3本有C63种分法，第二组2本有C32种分法，第三组1本有1种分法，
所以共有C63C32×1=60种分法.
（2）
根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有C63C32×1=60种分法，
再将分好的三组分给3人，有A33=6种情况，
所以共有60×6=360种分法.
（3）
根据题意，将6本书平均分为3组，有C62C42C22A33=15种不同的分法．
【考点4：其他组合问题】
【知识点：其他组合问题】
1．（湖北·高考真题（理））已知直线xa+yb=1（a，b是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
A．60条B．66条C．72条D．78条
【答案】A
【分析】求出圆x2+y2=100上的整点的个数后分类讨论可求直线的条数.
【详解】圆x2+y2=100上的整点为：±10,0,0,±10,±6,±8,±8,±6，
共12个整点，过其中任意两点的直线有C122=66，
其中：过8,6,8,−6的直线、过−8,6,−8,−6的直线、过6,8,6,−8的直线、过−6,8,−6,−8的直线的斜率不存在；
过8,6,−8,6的直线、过−8,−6,8,−6的直线、过−6,8,6,8的直线、过−6,−8,6,−8的直线的截距方程不存在；
过0,−10,0,10的直线、过−10,0,10,0的直线，过−8,−6,8,6的直线、过6,8,−6,−8的直线过原点、过−8,6,8,−6的直线、过8,−6,−8,6的直线均过原点，
故共有14条直线的截距式方程不存在，
另外，各自以8,6,6,8,8,−6,6,−8,−8,6,−6,8,−8,−6,−6,−8为切点的直线的截距式方程也存在，共8条，
故满足条件的直线条数为：C122−14+8=60.
故选：A
2．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高二阶段练习）马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（ ）
A．12B．18C．21D．24
【答案】C
【分析】10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法，又两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，即可得出答案.
【详解】解：根据题意，10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法．
先将剩下的8盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，所以共有C72=21种关灯方法．
故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练习）8个点将半圆分成9段弧，以10个点（包括2个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（ ）个
A．55B．112C．156D．120
【答案】B
【分析】根据题意，用间接法，先利用组合数公式计算其中三角形的数目，排除其中直角三角形的数目计算可得答案．
【详解】根据题意，如图：在10个点中，任意三点不共线，
在其中任取3个点，可以组成C103=120个三角形，
其中没有锐角三角形，直角三角形是包含A、B点和余下的8点任意取一个构成的三角形，有8个，则钝角三角形有120−8=112个．
故选：B．
4．（2022·全国·高二单元测试）某学校为落实“双减政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排如下表.小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的选课方案共有（ ）
注：每位同学每天最多选一门课，每门课一周内最多选一次.A．15种B．10种C．8种D．5种
【答案】A
【分析】利用分类分步计算方法，首先考虑编程选在周二或周三，再确定书法的时间，最后确定足球的时间，即可得到总的选课方案.
【详解】若周二选编程，则选课方案有C31C31=9（种）；若周三选编程，则选课方案有C21C31=6（种）.综上，不同的选课方案共有9+6=15（种）.
故选:A.
5．（2022·重庆长寿·高二期末）某校共有东门、西门、北门三道校门.由于疫情防控需要，学校安排甲、乙、丙、丁4名教师志愿者分别去三道校门协助保安值守，下列选项正确的是（ ）
A．若对每名教师志愿者去哪道校门无要求，则共有81种不同的安排方法
B．若恰有一道门没有教师志愿者去，则共有42种不同的安排方法
C．若甲、乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去，则共有44种不同的安排方法
D．若学校新购入20把同一型号的额温枪，准备全部分配给三道校门使用，每道校门至少3把，则共有78种分配方法
【答案】ABD
【分析】求得若对每名教师志愿者去哪道校门无要求的安排方法数判断选项A；求得若恰有一道门没有教师志愿者去的安排方法数判断选项B；求得若甲、乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去的安排方法数判断选项C；求得20把同一型号的额温枪，全部分配给三道校门且每道校门至少3把的分配方法数判断选项D.
【详解】甲、乙、丙、丁4名教师志愿者分别去东门、西门、北门三道校门协助保安值守
选项A：若对每名教师志愿者去哪道校门无要求，
则共有34=81种不同的安排方法.判断正确；
选项B：若恰有一道门没有教师志愿者去，
则可以先把4名教师分成2组，再分配给东门、西门、北门三道校门.
则共有(C41C33+C42C22A22)A32=42（种）不同的安排方法.判断正确；
选项C：若甲、乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去，
则北门可以安排1名教师或安排2名教师.
则共有C21C31C22A22+C22A22=14（种）不同的安排方法.判断错误；
选项D：若学校新购入20把同一型号的额温枪，准备全部分配给三道校门使用，
每道校门至少3把，则先分配给三道校门各2把，还剩14把，
将14把额温枪排成一排，在中间13个空位中置入2个挡板，
共有C132=78（种）分配方法.判断正确.
故选：ABD
6．（2022·福建师大附中高三阶段练习）各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____．
【答案】120
【分析】四个数位数字分别为a1,a2,a3,a4，则a1+a2+a3+a4=8，应用插空法求四位数个数.
【详解】设a1,a2,a3,a4对应个位到千位上的数字，则a4∈N∗，ai∈N(i=1,2,3)且a1+a2+a3+a4 =8，
相当于将3个表示0的球与8个表示1的球排成一排，即10个空用3个隔板将其分开，故共C103=120种.
故答案为：120
7．（2022·重庆·高二阶段练习）若方程：x1+x2+x3+x4=8，则方程的正整数解的个数为___________.
【答案】35
【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可.
【详解】解：原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，
采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可，
故共有C73=7×6×53×2×1=35种.
故答案为：35.
8．（2022·全国·高三专题练习）立方体8个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有______对.
【答案】174
【分析】求出正方体中包含的三棱锥的个数，每个三棱锥有三对异面直线，然后求出这些三棱锥中异面直线的对数即可．
【详解】解：立方体中有8个顶点，其中三棱锥的个数有C84﹣12＝58，每个三棱锥中异面直线的对数是：3，
其中异面直线有：58×3＝174对．
故答案为：174．
9．（2022·全国·高三专题练习）方程18x+4y+9z=2021的正整数解有多少组？
【答案】3080
【分析】根据题意确定p+r+s=54或p+r+s=54，其中r，s，p∈N，用隔板法即可求出方程18x+4y+9z=2021的正整数解组数．
【详解】解：由题意，（18x+4y+9z）≡2021（md9），即4y≡5（md9）
故y=9r+8，r∈N，
代入原方程得：2x+4r+z=221①
则2x+4r+z=221（md4），即2x+z=1（md4），
故 z=4s+1x=2(p+1) 或 z=4s+3x=2p+1，其中s，p∈N，
（注：这里第一个取x=2（p+1）是为了保证p∈N）．
代入方程①可得：p+r+s=54或p+r+s=54，其中r，s，p∈N．
（注：两类不同的解，转化后形式一致）
根据隔板法该不定方程的解共有2C562=3080组．
10．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）将6个不同小球装入编号为1，2，3，4，5的5个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将6个相同小球放入这5个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法.（结果用数字作答）
【答案】 1800 210
【分析】由6个不同小球分成5组，再将5组球分别放入5个盒子即可得解；6个相同的小球放入5个盒子，若允许有空盒子，可先借5个球，然后再将11个球的10个空间中插入4块即可得解.
【详解】解：由题意得：
由6个不同小球分成5组，每组个数分别为1，1，1，1，2，不同的分组情况有C62=15种方法，再将5组球分别放入5个盒子共有C62A55=1800种；
6个相同的小球放入5个盒子，若允许有空盒子，可先借5个球，然后再将11个球的10个空间中插入4块板，共有C104=10×9×8×74×3×2×1=210种.
故答案为：1800；210组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Ceq \\al(m,n)
类型
求解策略
整体均分
解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数
部分均分
解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数
不等分组
只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数
周一
周二
周三
周四
周五
演讲、绘画、舞蹈、足球
编程、绘画、舞蹈、足球
编程、书法、舞蹈、足球
书法、演讲、舞蹈、足球
书法、演讲、舞蹈、足球
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