资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩7页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 专题5.2 排列问题（5类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册） 试卷 0 次下载
- 专题5.3 组合问题（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册） 试卷 0 次下载
- 专题5.5 计数原理（基础巩固卷）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册） 试卷 0 次下载
- 专题5.6 计数原理（能力提升卷）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册） 试卷 0 次下载
- 专题6.1 随机事件的条件概率（3类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册） 试卷 0 次下载
专题5.4 二项式定理（5类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）
展开
这是一份专题5.4 二项式定理（5类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册），文件包含专题54二项式定理5类必考点北师大版选择性必修第一册原卷版docx、专题54二项式定理5类必考点北师大版选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc121250045" 【考点1：二项展开式与通项】 PAGEREF _Tc121250045 \h 1
\l "_Tc121250046" 【考点2：二项式系数与项系数】 PAGEREF _Tc121250046 \h 5
\l "_Tc121250047" 【考点3：二项展开式中的系数和】 PAGEREF _Tc121250047 \h 8
\l "_Tc121250048" 【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】 PAGEREF _Tc121250048 \h 14
\l "_Tc121250048" 【考点5：二项式定理的应用】17
【考点1：二项展开式与通项】
【知识点：二项展开式与通项】
[方法技巧]
二项展开式问题的常见类型及解法
(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．
(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤
1．（2007·全国·高考真题（文））二项式(2+33x)50的展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A．6项B．7项C．8项D．9项
【答案】D
【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.
【详解】二项式的通项Tr+1=C50r(2)50-r(33x)r=225-r23r3C50rxr，
若要系数为有理数，则25-r2∈Z，r3∈Z，0≤r≤50，且r∈Z，
即r2∈Z，r3∈Z，易知满足条件的r∈{0,6,12,18,24,30,36,42,48}，
故系数为有理数的项共有9项.
故选：D
2．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）化简x+14-4x+13+6x+12-4x+1+1的结果为（ ）
A．x4B．x-14C．x+14D．x4-1
【答案】A
【分析】逆用二项展开式定理即可得答案.
【详解】x+14-4x+13+6x+12-4x+1+1
=x+14+C41x+13×-1+C42x+12×-12+C43x+1×-13+-14
=x+1-14=x4
故选：A.
3．（2007·四川·高考真题（文））(1-2x)10展开式中的x3的系数为______________．（用数字作答）
【答案】-960
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3求出展开式中x3的系数即可.
【详解】解:设求的项为Tr+1=C10r(-2x)r，
令r=3，∴T4=-C10323x3=-960x3，∴(1-2x)10展开式中的x3的系数为-960.
故答案为：-960
4．（2007·四川·高考真题（文））x-1xn的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是___________．
【答案】8
【分析】根据二项式展开式的通项公式可得第5项为T4+1=(-1)4Cn4xn-8，结合题意即可求解.
【详解】由题意知，(x-1x)n展开式的通项公式为
Tr+1=Cnrxn-r(-1x)r=(-1)rCnrxn-2r，
所以第5项为T4+1=(-1)4Cn4xn-8，
由第5项为常数项，得n-8=0，解得n=8.
故答案为：8.
5．（2007·安徽·高考真题（理））若x+1x-2n的展开式中常数项为-20，则自然数n=__________．
【答案】3
【分析】先凑二项式，再利用二项式展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数是0得常数项，列出方程即可求解.
【详解】由题意得x+1x-2n=x-1x2n,x-1x2n的展开式为Tr+1=C2nrx2n-r-1xr=-1rC2nrxn-r，令n-r=0得到n=r
∴展开式中的常数项为-1nC2nn，∴-1nC2nn=-20,解得n=3
故答案为：3
6．（2022·全国·高三专题练习）展开式x2+1x+y3+1y10中，常数项为____．
【答案】12600
【分析】要使展开式中出现常数项，则二项展开式中Tr+1=C10rx2+1x10-ry3+1yr中x2+1x10-r与y3+1ym的二项展开式均为常数，结合二项展开式理解运算.
【详解】x2+1x+y3+1y10=x2+1x+y3+1y10的二项展开式Tr+1=C10rx2+1x10-ry3+1yr,r=0,1,...,10，
x2+1x10-r的二项展开式为T'k+1=C10-rkx210-r-k1xk=C10-rkx20-2r-3k,k=0,1,...,10-r，
y3+1ym的二项展开式为T″m+1=Crmy3r-m1ym=Crmy3r-4m,m=0,1,...,r，
若展开式中的常数项满足，则可得20-2r-3k=03r-4m=0r,k,m∈N，解得r=4m=3k=4，
故常数项为：C104⋅C64⋅C43=12600．
故答案为：12600.
7．（2022·全国·高三专题练习）1-yx(x-y)8的展开式中,含x5y3项的系数为___________．
【答案】-84
【分析】将多项式按第一项展开,再将各项通过二项式定理拼成x5y3的形式,计算出结果.
【详解】解：由题知1-yx(x-y)8=(x-y)8-yx(x-y)8,
将含x5y3项记为M,则M=C83x5(-y)3-yxC82x6(-y)2=-56x5y3-28x5y3=-84x5y3,
故含x5y3项的系数为-84.
故答案为：-84
8．（2022·全国·高三专题练习）5-3x+2yn展开式中不含y的项的系数和为64，则展开式中的常数项为___________.
【答案】15625
【分析】根据题意，令y的指数为0，得5-3xn，再令x=1，得5-3x+2yn的展开式中不含y的项的系数和为5-3n，解得n，再求展开式中的常数项.
【详解】5-3x+2yn展开式中不含y的项，即展开式中y的指数为0，即5-3xn的展开式，
再令x=1，得5-3x+2yn展开式中不含y的项的系数和为5-3n=64，∴n=6，
求5-3x+2y6展开式中的常数项，由5-3x+2y6=5-3x-2y6，
所以展开式中的常数项为C60×56=15625.
故答案为：15625
9．（2022·全国·高三专题练习）求展开式2x3-3x3x-1x6中的常数项．
【答案】-15
【分析】原式可化为2x-32(x-1x)6-3x-3(x-1x)6，然后写出(x-1x)6的通项，结合常数项指数为零，求出结果．
【详解】由题知：原式＝2x-32(x-1x)6-3x-3(x-1x)6，
(x-1x)6的通项为 Tk+1=C6k(x)6-k⋅(-1x)k=(-1)kC6k⋅x3-3k2，k=0,1,⋯,6
令3-3k2=32，得k=1；令3-3k2=3，得k=0.
即原式展开式中的常数项为：-2C61-3C60=-15．
10．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）记(2x+1x)n展开式中第m项的系数为bm.
(1)求bm的表达式；
(2)若n=6，求展开式中的常数项；
(3)若b3=2b4，求n.
【答案】(1)bm=2n-m+1Cnm-1
(2)160
(3)5
【分析】(1)利用二项式定理写出(2x+1x)n展开式的第m项即可求解；(2)结合二项式定理，写出(2x+1x)n展开式中的通项，然后令自变量的幂数为0即可求解；(3)结合(1)中结论，利用组合数性质即可求解.
（1）
由题意，(2x+1x)n=(2x+x-1)n展开式中第m项为Cnm-1(2x)n-(m-1)(x-1)m-1=2n-m+1Cnm-1xn-2m+2，
故bm=2n-m+1Cnm-1.
（2）
当n=6时，(2x+1x)6=(2x+x-1)6展开式通项为C6r(2x)6-r(x-1)r=26-rC6rx6-2r，
令6-2r=0，即r=3，此时展开式中的常数项26-3C63=160，
即展开式中的常数项为160.
（3）
因为b3=2b4，由(1)中知，
2n-2Cn2=2⋅2n-3Cn3，即Cn2=Cn3，
由组合数性质可知，n=5.
【考点2：二项式系数与项的系数】
【知识点：二项式系数与项的系数】
1．（2022·全国·高三专题练习）若2x-1xn的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（ ）
A．-160B．160C．-1120D．1120
【答案】A
【分析】根据第2项和第6项的二项式系数相等可构造方程求得n，由此可得展开式通项，令r=3即可求得常数项
【详解】因为2x-1xn展开式中的第2项和第6项的二项式系数相等，
∴Cn1=Cn5，解得：n=6，
∴2x-1x6展开式通项公式为：Tr+1=C6r2x6-r-1xr=C6r⋅-1r⋅26-r⋅x3-r，
令3-r=0，解得：r=3，∴该展开式中的常数项为C63⋅-13×23=-160,
故选：A
2．（2022·浙江省杭州学军中学高三期中）已知1x+my2x-y5的展开式中x2y4的系数为40，则m的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】B
【分析】首先变形得1x+my2x-y5=1x2x-y5+my2x-y5，然后利用二项式展开式的通项公式Tr+1=Cnran-rbr求出x2y4的系数即可.
【详解】由题意可得1x+my2x-y5=1x2x-y5+my2x-y5，
在1x2x-y5的展开式中，由x-1C5r2x5-r-yr=-1r⋅25-rC5rx4-ryr，
令4-r=2r=4无解，即1x2x-y5的展开式没有x2y4项；
在my2x-y5的展开式中，由myC5r2x5-r-yr=-1r⋅25-rmC5rx5-ryr+1，
令5-r=2r+1=4解得r=3，即my2x-y5的展开式中x2y4的项的系数为-13⋅25-3mC53=-40m，又x2y4的系数为40，所以-40m=40，解得m=-1.
故选：B
3．（2007·全国·高考真题（理））ax+17的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项.若实数a>1，那么a=___________.
【答案】1+105
【分析】利用二项展开式通项公式求得所需系数，再利用等差中项公式得到关于a的方程，求解即可得到a的值.
【详解】因为ax+17=1+ax7的二项展开式通项公式为Tk+1=C7k11-kaxk=akC7kxk，
故x3的系数为a3C73=35a3，x2的系数为a2C72=21a2，x4的系数为a4C74=35a4，
所以由题意可得21a2+35a4=2×35a3，整理得a25a2-10a+3=0，
解得a=0或a=1±105，
因为a>1，所以a=1+105.
故答案为：1+105.
4．（2023·全国·高三专题练习）xx+1x4n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是第____项．
【答案】4
【分析】根据题中条件求出n的值，写出二项展开式通项，令x的指数为零，求出参数值，即可得解.
【详解】由题意可得Cn2-Cn1=nn-12-n=n2-3n2=44，即n2-3n-88=0，
∵n∈N*，解得n=11，
xx+1x411的展开式通项为Tk+1=C11k⋅x3211-k⋅x-4k=C11k⋅x33-11k2，
由33-11k2=0，可得k=3，因此，展开式中的常数项是第4项.
故答案为：4.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知(x+m)(2x-1)6的展开式中x2的系数是20,则实数m=______.
【答案】815
【分析】根据多项式中前一项进行展开,然后用二项式定理将两个项中关于x2的找出相加等于20即可求出m.
【详解】解:由题知,(x+m)(2x-1)6=x(2x-1)6+m(2x-1)6,
所以展开式中x2系数是C65⋅2⋅(-1)5+C64⋅22⋅(-1)4⋅m=20,
解得：m=815.
故答案为：815
6．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）若3x+xn的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中x3项的系数是___________.
【答案】15
【分析】先赋值求出所有项的系数，进而计算出n，再根据二项式定理计算展开式中x3项的系数.
【详解】令x=1,得所有项的系数和为4n,二项式系数和为2n,所以4n2n=2n=32,即n=5, (3x+x)5的第r+1项为C5r⋅(3x)5-r⋅x12r=C5r⋅35-r⋅x5-r2
令5-r2=3,得r=4
所以x3项的系数是C54×3=15
故答案为：15
7．（2022·全国·高三专题练习）(x+y2x2)8的展开式中x2y2的系数为__________（用数字作答）．
【答案】7
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式(x+y2x2)8的通项公式为：Tr+1=C8r⋅x8-r⋅y2x2r=C8r⋅x8-3ryr⋅12r，
令r=2，所以x2y2的系数为C82⋅122=7，
故答案为：7
【考点3：二项展开式中的系数和】
【知识点：赋值法在求各项系数和中的应用】
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．
①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)，
②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2).
[易错提醒]
(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；
(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．
1．（2021·广西·梧州市黄埔双语实验学校高三期中（理））1+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4=（ ）
A．1B．3C．0D．-3
【答案】C
【分析】根据展开式，利用赋值法取x=-1即得.
【详解】因为1+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x=-1，可得a0-a1+a2-a3+a4=1-14=0.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知Cn3=Cn6，设2x-3n=a0+a1x-1+a2x-12+⋅⋅⋅+anx-1n，则a1+a2+⋅⋅⋅+an=（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】利用组合数的性质可求得n的值，再利用赋值法可求得a0和a0+a1+a2+⋅⋅⋅+an的值，作差可得出所求代数式的值.
【详解】因为Cn3=Cn6，所以由组合数的性质得n=3+6=9，
所以2x-39=a0+a1x-1+a2x-12+⋅⋅⋅+a9x-19，
令x=2，得2×2-39=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a9，即a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a9=1.
令x=1，得2×1-39=a0=-1，
所以a1+a2+⋅⋅⋅+a9=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a9-a0=1--1=2，
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则（ ）
A．a0的值为2
B．a5的值为16
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5
D．a1＋a3＋a5的值为120
【答案】ABC
【分析】对于A，利用赋值法，令x=0即可求解；
对于B，利用二项式展开式的通项进行求解；
对于C，利用赋值法，令x=1得到a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，再减去a0即可；
对于D，利用赋值法，分别令x=1与x=-1，得到两个式子联立即可求解.
【详解】对于A，令x＝0，得a0＝2×1＝2，故A正确；
对于B，(1－2x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r⋅-2xr=C5r-2rxr，所以a5=2×-25C55+1×-24C54=-64+80=16，故B正确；
对于C，令x＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6 ①，即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－a0＝－3－2＝－5，故C正确；
对于D，令x＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6 ②，由①②解得a1＋a3＋a5＝－123，故D不正确.
故选：ABC
4．（2023·全国·高三专题练习）已知二项式ax-1x6，则下列说法正确的是（ ）
A．若a＝1，则展开式中的常数项为15
B．若a＝2，则展开式中各项系数之和为1
C．若展开式中的常数项为60，则a＝2
D．若展开式中各项系数之和为64，则a＝2
【答案】AB
【分析】根据二项式定理的展开式通项，代入或求解验证，即可得到答案.
【详解】二项式ax-1x6，
对于A，若a＝1，则x-1x6展开式的通项Tr+1=C6r-1rx6-32r，
令6-32r=0，得r＝4，故所求常数项为C64=15，故A正确；
对于B，若a＝2，令x=1，则2x-1x6展开式中各项系数之和为2-16，故B正确；
对于C，由通项Tr+1=C6r⋅ax6-r⋅-1xr=C6r⋅-1r⋅a6-r⋅x6-32r，
令6-32r=0，得r＝4，
故所求常数项为C64⋅a2=15a2=60，解得a=±2，故C错误；
对于D，令x=1，则展开式中各项系数之和为a-16，
由已知得，a-16=64，解得a＝﹣1或a＝3，故D错误.
故选：AB．
5．（2022·广东佛山·高三期中）设(2x-1)5=a0+a1x+⋯+a5x5，则下列说法正确的是（ ）
A．a0=1B．a1+a2+a3+a4+a5=1
C．a0+a2+a4=-121D．a1+a3+a5=122
【答案】CD
【分析】赋值令x=0,x=1,x=-1，代入整理运算，逐项判断.
【详解】令x=0，则(-1)5=a0，即a0=-1，A错误；
令x=1，则15=a0+a1+a2+a3+a4+a5，即a0+a1+a2+a3+a4+a5=1①，
则a1+a2+a3+a4+a5=2，B错误；
令x=-1，则-35=a0-a1+a2-a3+a4-a5，即a0-a1+a2-a3+a4-a5=-243②，
由①②可得：a0+a2+a4=-121，a1+a3+a5=122，C、D正确；
故选：CD.
6．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）若2x-110=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，x∈R，则（ ）
A．a1+a2+⋯+a10=1B．a0+a1+a2+⋯+a10=310
C．a2=160D．a12+a222+a323+⋯+a10210=-1
【答案】BD
【分析】利用赋值法和二项式项的系数性质依次判断选项即可.
【详解】对选项A， 2x-110=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，
令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+⋯+a10=1，
所以a1+a2+⋯+a10=0，故A错误.
对选B，因为2x-110=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，
所以a0+a1+a2+⋯+a10表示2x+110的各项系数之和，
令x=1，则a0+a1+a2+⋯+a10=310，故B正确.
对选项C，a2x2=C1022x2⋅-18=180x2，所以a2=180，故C错误.
对选项D，因为2x-110=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，a0=1，
令x=12，则2⋅12-110=1+a12+a222+a323+⋯+a10210=0，
则a12+a222+a323+⋯+a10210=-1，故D正确.
故选：BD
7．（2023·全国·高三专题练习）设x-12+x3=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1＝________，2a2+3a3+4a4＝________.
【答案】 －4 31
【分析】a1即为x-12+x3中x系数，
又x-12+x3=x2+x3-2+x3，分别求x2+x3与2+x3一次项即可.注意到x-12+x3'=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4'
= a1+2a2x+3a3x2+4a4x3=x+224x-1，令x=1，结合a1可得答案.
【详解】因x-12+x3=x2+x3-2+x3，
则a1=C33⋅23-C32⋅22=-4.
注意到x-12+x3'=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4'
= a1+2a2x+3a3x2+4a4x3=x+224x-1，令x=1，
得a1+2a2+3a3+4a4=27，又a1=-4，得2a2+3a3+4a4 =31.
故答案为：-4；31.
8．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知1+ax2x-1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中一次项系数为___________．
【答案】80
【分析】先运用赋值法求出a的值，然后运用二项式定理的展开式求一次项系数.
【详解】令x=1，可得1+ax2x-1x5的展开式中各项系数的和为(1+a) · (2-1)5=2，∴a=1．
1+ax2x-1x5=1+1x2x-1x5 =1+1x32x5-80x3+80x-40 · 1x+10 · 1x3-1x5，故该展开式中一次项为80x，故答案为80．
故答案为：80.
9．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知ax+15的展开式中，所有项的系数的和为243，则其展开式中x2项的系数为___________.
【答案】40
【分析】根据题意，令x=1，求出a，再利用公式求出x2项的系数.
【详解】令x=1，则(a+1)5=243，得a=2，
对于(2x+1)5，其展开式中x2项的系数为：4C52=40.
故答案为：40
10．（2022·上海市向明中学高一期末）已知对任意给定的实数x，都有(1-2x)100=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a100(x+1)100.求值：
(1)a0+a1+a2+⋯+a100；
(2)a1+a3+a5+⋯+a99.
【答案】(1)1
(2)1-51002
【分析】（1）利用赋值法求解，令x=0可得结果；
（2）利用赋值法求解，令x=-2可得结果；
【详解】（1）因为(1-2x)100=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a100(x+1)100，
令x=0，则a0+a1+a2+⋯+a100=1；
（2）令x=-2，则a0-a1+a2-⋯+a100=5100，
由（1）知a0+a1+a2+⋯+a100=1，
两式相减可得a1+a3+a5+⋯+a99=1-51002.
11．（2022·上海市嘉定区第一中学高二期末）已知3-2x11=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11．求：
(1)a1+a2+⋯+a11；
(2)a1+a2+⋯+a11；
(3)a1+2a2+⋯+11a11．
【答案】(1)1-311
(2)511-311
(3)-22
【分析】（1）利用赋值法即可得解；
（2）先由二项式定理判断系数的正负情况，再由赋值法求得奇数项与偶数项系数之差，从而得解；
（3）利用导数及赋值法即可得解.
【详解】（1）因为3-2x11=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11，
所以令x=0，得3-2×011=a0+a1×0+a2×02+⋯+a11×011，即a0=311，
令x=1，得a0+a1+a2+⋯+a11=3-2×111=1，
所以a1+a2+⋯+a11=1-311.
（2）因为3-2x11的二项式展开通项为Tk+1=C11k3k-2x11-k=-211-k3kC11kx11-k，
所以a0,a2,⋯,a10>0，a1,a3,⋯,a11<0，
故a1+a2+⋯+a11=a2+a4+⋯+a10-a1+a3+⋯+a11，
令x=-1，得a0-a1+a2+⋯-a11=3+211=511，即a0+a2+a4+⋯+a10-a1+a3+⋯+a11=511，
又因为a0=311，
所以a1+a2+⋯+a11=a2+a4+⋯+a10-a1+a3+⋯+a11=511-311.
（3）令fx=3-2x11=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11，
则f'x=113-2x10×-2=-223-2x10，且f'x=a1+2a2x+3a2x2+⋯+11a11x10，
令x=1，则f'1=-223-2×110=-22，且f'1=a1+2a2+3a2+⋯+11a11，
所以a1+2a2+⋯+11a11=-22.
【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】
【知识点：求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤】
第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．
第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．
思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．
1．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知x-2xn的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A．-448B．-1024C．-1792D．-5376
【答案】C
【分析】先根据二项式系数的性质可得n=8，再结合二项展开式的通项求各项系数ar=-2rC8r，分析列式求系数最小项时r的值，代入求系数的最小值.
【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则n=8
∴展开式的通项为Tr+1=C8rx8-r-2xr=-2rC8rx8-3r2,r=0,1,...,8
则该展开式中各项系数ar=-2rC8r,r=0,1,...,8
若求系数的最小值，则r为奇数且ar-ar+2≤0ar-ar-2≤0，即-2rC8r--2r+2C8r+2≤0-2rC8r--2r-2C8r-2≤0，解得r=5
∴系数的最小值为a5=-25C85=-1792
故选：C.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知x+2x2n的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116，则展开式中二项式系数最大的项为第（ ）项.
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】先求出二项式展开的通项公式，分别求出第3项的系数与倒数第3项的系数，由题意得到关于n的方程，即可确定其展开式二项式系数最大项.
【详解】x+2x2n的展开式通项公式为Tr+1=Cnrxn-r2x2r=Cnr⋅2r⋅xn-5r2，
则第3项的系数为Cn2⋅22，倒数第3项的系数为Cnn-2⋅2n-2，
因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116，
所以Cn2⋅22Cnn-2⋅2n-2=116=2-4，所以Cn2⋅22=Cnn-2⋅2n-6，解得n=8，
所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，
故选：C
3．（2022·全国·高二课时练习）已知m为正整数，x+y2m展开式的二项式系数的最大值为a，x+y2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，且13a=7b，则m的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】根据二项式系数的性质确定a,b，由关系13a=7b列方程求m的值.
【详解】由题意可知C2mm=a,C2m+1m=b,∵13a=7b,
∴13C2mm=7C2m+1m,即132m!m!⋅m!=72m+1!m!⋅m+1!,
∴13=7×2m+1m+1，解得m=6．
故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练习）设(1+2x)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，则下列说法正确的是（ ）
A．a0=1B．a1+a2+⋯+a10=310
C．a2=9a1D．展开式中二项式系数最大的项是第5项
【答案】AC
【分析】利用赋值法判断A、B；写出展开式的通项，即可求出a1、a2，进而判断C；根据二项式系数的性质判断D.
【详解】因为(1+2x)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，令x=0得a0=(1+2×0)10=1，故A正确；
令x=1得a0+a1+a2+⋯+a10=(1+2×1)10=310，所以a1+a2+⋯+a10=310-1，故B错误；
二项式(1+2x)10展开式的通项为Tr+1=C10r2xr=C10r⋅2r⋅xr，
所以a1=C101⋅21=20，a2=C102⋅22=180，所以a2=9a1，故C正确；
因为二项式(1+2x)10展开式共11项，则展开式中二项式系数最大的项是第6项，为C105，故D错误；
故选：AC.
5．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）已知二项式x3-26，在其展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．
【答案】-160
【分析】根据二项式系数的性质，可知第4项二项式系数最大，写出展开式的第4项即可得到.
【详解】由题意知，n=6.根据二项式系数的性质可得，第4项二项式系数最大.
T4=C63⋅x36-3×-23=-160x9，所以展开式中二项式系数最大的项的系数为-160.
故答案为：-160.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知x+akk∈N*,a∈R的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且x3项的系数为-160，则a⋅k=______．
【答案】-12
【分析】根据二项式系数的性质求出k的值，再利用二项展开式的通项，结合已知条件求出a的值，即可得出答案．
【详解】∵x+ak的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴k=6
∴二项展开式的通项Tr+1=C6r⋅x6-r⋅ar，令6-r=3，得r=3
∴x3项的系数为a3C63=20a3=-160，∴a=-2
则a⋅k=-12．
故答案为：-12．
7．（2022·江苏·南通市通州区石港中学高二阶段练习）在x+3x2n的二项展开式中，二项式系数之和为64.
(1)求正整数n的值；
(2)求x+3x2n的二项展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)3；(2)540
【分析】(1)由题意利用二项式系数的性质，求得n的值.
(2)由题意利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式，求得二项式系数最大的项.
（1）
∵在x+3x2n的二项展开式中，二项式系数之和为22n=64,∴2n=6,n=3.
（2）
由（1）小问可知n=3，∴ x+3x2n=x+3x6的二项展开式中，第4项的二项式系数最大，此时r=3，
故二项式系数最大的项为T4=C63⋅33=540.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知3x+123xn的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)358；(2)7x23
【分析】（1）利用二项式展开式的通项和等差中项解出n.当n是偶数时，中间项的二项式系数Cnn2最大，当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cnn-12，Cnn+12相等且最大．
（2）求系数最大的项，则只需比较相邻两项系数的大小即可．
（1）3x+123xn的展开式的通项Tr+1=Cnr3xn-r123xr=Cnr12rxn-2r3．因为展开式中前三项的系数成等差数列，所以2Cn1⋅12=Cn0+Cn2⋅14，即n=1+nn-18，整理得n2-9n+8=0，解得n=8或n=1．又因为n≥2，所以n=8，所以第5项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为T5=C84124x8-83=358．
（2）由（1）得展开式中系数为Cnr(12)r由C8r(12)r≥C8r+1(12)r+1C8r(12)r≥C8r-1(12)r-1得2×8!r!(8-r)!≥8!(r+1)!(7-r)!8!r!(8-r)!≥2×8!(r-1)!(9-r)!整理得2r+2≥8-r9-r≥2r，解得2≤r≤3所以当r=2或3时项的系数最大.因此，展开式中系数最大的项为T3=C82122x43=7x43和T4=C83123x23=7x23．
【考点5：二项式定理的应用】
【知识点：二项式定理的应用】
1．（2022·全国·高二单元测试）0.997的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930B．0.931C．0.932D．0.933
【答案】C
【分析】由二项式定理求解
【详解】0.997=1-0.017=C70×1-C71×0.01+C72×0.012-⋅⋅⋅=1-0.07+0.0021-⋅⋅⋅≈0.932.
故选：C
2．（2022·全国·高二单元测试）关于x-12021及其二项展开式，下列说法正确的是（ ）
A．该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为22021
B．该二项展开式中第8项为-C20217x1007
C．当x=100时，x-12021除以100的余数是9
D．该二项展开式中不含有理项
【答案】BC
【分析】对于A，由二项式系数的性质，由公式可得答案；
对于B，根据二项式定理的通项公式，令r=7时，可得答案；
对于C，根据二项式定理，结合带余除法的变换等式，可得答案；
对于D，利用二项式定理通项，使x的指数为整数，可得答案.
【详解】偶数项的二项式系数之和为22020，故A错误；
展开式中第8项为T7+1=C20217x2014⋅-17=-C20217x1007，故B正确；
当x=100时，x-12021=10-12021=C20210⋅102021-C20211⋅102021+⋯-C20212019⋅102+C20212020⋅101-C20212021
=100C20210⋅102019-C20211⋅102018+⋯-C20212019⋅100+C20212020⋅101-1，
∵C20212020⋅101-1=20209=20200+9，除以100的余数是9，
∴当x=100时，x-12021除以100的余数是9，故C正确；
x-12021的展开式的通项为Tr+1=C2021r⋅x2021-r-1r=-1rC2021rx2021-r2，
当2021-r2为整数，即r=1,3,5,⋯,2021时，Tr+1为有理项，故D错误．
故选：BC．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x6ai∈R,i=0,1,2,3,⋅⋅⋅,6的定义域为R．（ ）
A．a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a6=-1
B．a1+a3+a5=-364
C．a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+6a6=12
D．f(5)被8整除余数为7
【答案】BC
【分析】利用赋值x=1或x=-1，判断AB；对函数两边求导，再赋值x=1，判断C；f5=96=8+16，展开后可判断余数，判断D.
【详解】A.当x=1时，a0+a1+a2+...+a6=1-26=1，①故A错误；
B.当x=-1时，a0-a1+a2+...+a6=1+26=36，②，
①-②=2a1+a3+a5=1-36，解得：a1+a3+a5=1-362=-364，故B正确；
C.f'x=-121-2x5=a1+2a2x+3a3x2+...+6a6x5，令x=1得a1+2a2+3a3+...+6a6=-121-25=12，故C正确；
D.f5=96=8+16=86+C61⋅85+C62⋅84+...+C65⋅8+1，所以f5被8整除余数为1，故D错误.
故选：BC
4．（2022·江苏省镇江中学高二期末）下列说法正确的是（ ）
A．若(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，则a1+a2+⋯+an=310-1
B．1.0510精确到0.1的近似值为1.6
C．5555被8除的余数为1
D．若1+2Cn1+22Cn2+⋯+2nCnn=2187，则Cn1+Cn2+⋯+Cnn=127
【答案】ABD
【分析】对于选项A：利用赋值法，令x=0,则a0=1；再令x=-1,即可求解；对于选项B：利用二项式定理 ,取展开式前3项,即可求解；对于选项C： 利用二项式定理，判断出5555被8除的余数为1不正确；对于选项D： 先求出n=7.再求出C71+C72+⋯+C77的值.
【详解】对于选项A：在(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10中，令x=0,则a0=1；令x=-1,则a0+a1+a2+⋯+an=310,所以a1+a2+⋯+an=310-1,故A正确;
对于选项B：1.0510=1+0.0510=C100×0.050++C101×0.051+⋯+C1010×0.0510 ,取展开式前3项,则1.0510精确到0.1的近似值为1+0.5+0.1=1.6.故 B正确;
对于选项C： 555=(56-1)55=C5505655-C5515654+⋯+C5554561(-1)54+C5555(-1)55
在展开式中，含56 的项都能被8整除，最后一项为-1，除以8的余数是7.故5555被8除的余数为1不正确.故C错误;
对于选项D： 因为1+2Cn1+22Cn2+⋯+2nCnn=Cn01n20+Cn11n-121+⋯+Cnn102n=3n=2187，
所以n=7.
所以C70+C71+C72+⋯+C77=27=128，所以C71+C72+⋯+C77=128-C70=127.
故D正确.
故选：ABD.
5．（2007·全国·高考真题）9192除以100的余数是______．
【答案】81
【分析】根据二项式定理的应用求余数即可.
【详解】9192=90+192=C920×9092×10+⋯+C9290×902×190+C9291×901×191+C9292×900×1，在此展开式中，除了最后两项外，其余项都能被100整除，故9192除以100的余数等价于C9291×901×191+C9292×900×1=8281除以100的余数，所以余数为81.
故答案为：81.
6．（2022·全国·高二课时练习）若512020+a能被13整除，则实数a的值可以为________．（填序号）
①0；②11；③12；④25．
【答案】③④
【分析】由512020=(52-1)2020，根据二项式定理展开，转化为1+a能被13整除，结合选项即可求解.
【详解】解析：∵512020+a=(52-1)2020+a= C20200522020(-1)0+C20201522019(-1)1+ C20202⋅522018(-1)2 +⋯+C20202019521(-1)2019+C20202020⋅(-1)2020+a，
又52能被13整除，∴需使C20202020(-1)2020+a能被13整除，即1+a能被13整除，
∴1+a=13k，k∈Z，结合选项可知③④满足．
故答案为：③④．
7．（2007·湖南·高考真题）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第__________行中从左至右第14与第15个数的比为2:3．
第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14644第5行15101051⋯⋯⋯⋯
【答案】34
【分析】由杨辉三角形得出第n行的第14和第15个数的表示形式，然后由它们的比值可求得n．
【详解】设在第n行满足题意，因此Cn13Cn14=23，解得n=34．
故答案为：34.
8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数n，第2n行中最大的数为x，第2n+1行中最大的数为y，且13x=7y，则n的值为______．
【答案】6
【分析】根据二项式系数的最大值满足的条件求出x，y，代入13x=7y，根据组合数的公式求解即可．
【详解】由题意知x=C2nn,y=C2n+1n+1，故13C2nn=7C2n+1n+1
∴13×(2n)!n!⋅n!=7×(2n+1)!n!⋅(n+1)!，
∴13=7×2n+1n+1，∴13(n+1)=7(2n+1)，
解得n=6．
故答案为：6．
9．（2022·全国·高二课时练习）已知f(x)=(2x+3)9=a0+a1(x+1)+ a2(x+1)2+⋯+a9(x+1)9．
(1)求a1+a2+a3+⋯+a9的值；
(2)求f(20)-20被6整除的余数．
【答案】(1)19682；(2)5
【分析】（1）根据赋值法即可求解系数和，
（2）将(42+1)9根据二项式定理进行展开，即可求解余数.
（1）
令x=-1，得a0=1，
令x=0，得a0+a1+a2+a3+⋯+a9=39．
所以a1+a2+a3+⋯+a9=39-1=19682．
（2）
由f(20)-20=439-20=(42+1)9-20 =C90429+C91428+⋯+C9842+1-20
=42C90428+C91427+⋯+C98-19 =42C90428+C91427+⋯+C98-1+23．
因为42C90428+C91427+⋯+C98-1能被6整除，所以23被6整除后余数为5．
所以f(20)-20被6整除的余数为5．二项
展开式
公式(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二项式定理
二项式
的通项
Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk为展开式的第k＋1项
二项式
系数
二项展开式中各项的系数Ceq \\al(r,n)(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数
项的
系数
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Ceq \\al(r,n)an－rbr
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc121250045" 【考点1：二项展开式与通项】 PAGEREF _Tc121250045 \h 1
\l "_Tc121250046" 【考点2：二项式系数与项系数】 PAGEREF _Tc121250046 \h 5
\l "_Tc121250047" 【考点3：二项展开式中的系数和】 PAGEREF _Tc121250047 \h 8
\l "_Tc121250048" 【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】 PAGEREF _Tc121250048 \h 14
\l "_Tc121250048" 【考点5：二项式定理的应用】17
【考点1：二项展开式与通项】
【知识点：二项展开式与通项】
[方法技巧]
二项展开式问题的常见类型及解法
(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．
(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤
1．（2007·全国·高考真题（文））二项式(2+33x)50的展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A．6项B．7项C．8项D．9项
【答案】D
【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.
【详解】二项式的通项Tr+1=C50r(2)50-r(33x)r=225-r23r3C50rxr，
若要系数为有理数，则25-r2∈Z，r3∈Z，0≤r≤50，且r∈Z，
即r2∈Z，r3∈Z，易知满足条件的r∈{0,6,12,18,24,30,36,42,48}，
故系数为有理数的项共有9项.
故选：D
2．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）化简x+14-4x+13+6x+12-4x+1+1的结果为（ ）
A．x4B．x-14C．x+14D．x4-1
【答案】A
【分析】逆用二项展开式定理即可得答案.
【详解】x+14-4x+13+6x+12-4x+1+1
=x+14+C41x+13×-1+C42x+12×-12+C43x+1×-13+-14
=x+1-14=x4
故选：A.
3．（2007·四川·高考真题（文））(1-2x)10展开式中的x3的系数为______________．（用数字作答）
【答案】-960
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3求出展开式中x3的系数即可.
【详解】解:设求的项为Tr+1=C10r(-2x)r，
令r=3，∴T4=-C10323x3=-960x3，∴(1-2x)10展开式中的x3的系数为-960.
故答案为：-960
4．（2007·四川·高考真题（文））x-1xn的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是___________．
【答案】8
【分析】根据二项式展开式的通项公式可得第5项为T4+1=(-1)4Cn4xn-8，结合题意即可求解.
【详解】由题意知，(x-1x)n展开式的通项公式为
Tr+1=Cnrxn-r(-1x)r=(-1)rCnrxn-2r，
所以第5项为T4+1=(-1)4Cn4xn-8，
由第5项为常数项，得n-8=0，解得n=8.
故答案为：8.
5．（2007·安徽·高考真题（理））若x+1x-2n的展开式中常数项为-20，则自然数n=__________．
【答案】3
【分析】先凑二项式，再利用二项式展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数是0得常数项，列出方程即可求解.
【详解】由题意得x+1x-2n=x-1x2n,x-1x2n的展开式为Tr+1=C2nrx2n-r-1xr=-1rC2nrxn-r，令n-r=0得到n=r
∴展开式中的常数项为-1nC2nn，∴-1nC2nn=-20,解得n=3
故答案为：3
6．（2022·全国·高三专题练习）展开式x2+1x+y3+1y10中，常数项为____．
【答案】12600
【分析】要使展开式中出现常数项，则二项展开式中Tr+1=C10rx2+1x10-ry3+1yr中x2+1x10-r与y3+1ym的二项展开式均为常数，结合二项展开式理解运算.
【详解】x2+1x+y3+1y10=x2+1x+y3+1y10的二项展开式Tr+1=C10rx2+1x10-ry3+1yr,r=0,1,...,10，
x2+1x10-r的二项展开式为T'k+1=C10-rkx210-r-k1xk=C10-rkx20-2r-3k,k=0,1,...,10-r，
y3+1ym的二项展开式为T″m+1=Crmy3r-m1ym=Crmy3r-4m,m=0,1,...,r，
若展开式中的常数项满足，则可得20-2r-3k=03r-4m=0r,k,m∈N，解得r=4m=3k=4，
故常数项为：C104⋅C64⋅C43=12600．
故答案为：12600.
7．（2022·全国·高三专题练习）1-yx(x-y)8的展开式中,含x5y3项的系数为___________．
【答案】-84
【分析】将多项式按第一项展开,再将各项通过二项式定理拼成x5y3的形式,计算出结果.
【详解】解：由题知1-yx(x-y)8=(x-y)8-yx(x-y)8,
将含x5y3项记为M,则M=C83x5(-y)3-yxC82x6(-y)2=-56x5y3-28x5y3=-84x5y3,
故含x5y3项的系数为-84.
故答案为：-84
8．（2022·全国·高三专题练习）5-3x+2yn展开式中不含y的项的系数和为64，则展开式中的常数项为___________.
【答案】15625
【分析】根据题意，令y的指数为0，得5-3xn，再令x=1，得5-3x+2yn的展开式中不含y的项的系数和为5-3n，解得n，再求展开式中的常数项.
【详解】5-3x+2yn展开式中不含y的项，即展开式中y的指数为0，即5-3xn的展开式，
再令x=1，得5-3x+2yn展开式中不含y的项的系数和为5-3n=64，∴n=6，
求5-3x+2y6展开式中的常数项，由5-3x+2y6=5-3x-2y6，
所以展开式中的常数项为C60×56=15625.
故答案为：15625
9．（2022·全国·高三专题练习）求展开式2x3-3x3x-1x6中的常数项．
【答案】-15
【分析】原式可化为2x-32(x-1x)6-3x-3(x-1x)6，然后写出(x-1x)6的通项，结合常数项指数为零，求出结果．
【详解】由题知：原式＝2x-32(x-1x)6-3x-3(x-1x)6，
(x-1x)6的通项为 Tk+1=C6k(x)6-k⋅(-1x)k=(-1)kC6k⋅x3-3k2，k=0,1,⋯,6
令3-3k2=32，得k=1；令3-3k2=3，得k=0.
即原式展开式中的常数项为：-2C61-3C60=-15．
10．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）记(2x+1x)n展开式中第m项的系数为bm.
(1)求bm的表达式；
(2)若n=6，求展开式中的常数项；
(3)若b3=2b4，求n.
【答案】(1)bm=2n-m+1Cnm-1
(2)160
(3)5
【分析】(1)利用二项式定理写出(2x+1x)n展开式的第m项即可求解；(2)结合二项式定理，写出(2x+1x)n展开式中的通项，然后令自变量的幂数为0即可求解；(3)结合(1)中结论，利用组合数性质即可求解.
（1）
由题意，(2x+1x)n=(2x+x-1)n展开式中第m项为Cnm-1(2x)n-(m-1)(x-1)m-1=2n-m+1Cnm-1xn-2m+2，
故bm=2n-m+1Cnm-1.
（2）
当n=6时，(2x+1x)6=(2x+x-1)6展开式通项为C6r(2x)6-r(x-1)r=26-rC6rx6-2r，
令6-2r=0，即r=3，此时展开式中的常数项26-3C63=160，
即展开式中的常数项为160.
（3）
因为b3=2b4，由(1)中知，
2n-2Cn2=2⋅2n-3Cn3，即Cn2=Cn3，
由组合数性质可知，n=5.
【考点2：二项式系数与项的系数】
【知识点：二项式系数与项的系数】
1．（2022·全国·高三专题练习）若2x-1xn的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（ ）
A．-160B．160C．-1120D．1120
【答案】A
【分析】根据第2项和第6项的二项式系数相等可构造方程求得n，由此可得展开式通项，令r=3即可求得常数项
【详解】因为2x-1xn展开式中的第2项和第6项的二项式系数相等，
∴Cn1=Cn5，解得：n=6，
∴2x-1x6展开式通项公式为：Tr+1=C6r2x6-r-1xr=C6r⋅-1r⋅26-r⋅x3-r，
令3-r=0，解得：r=3，∴该展开式中的常数项为C63⋅-13×23=-160,
故选：A
2．（2022·浙江省杭州学军中学高三期中）已知1x+my2x-y5的展开式中x2y4的系数为40，则m的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】B
【分析】首先变形得1x+my2x-y5=1x2x-y5+my2x-y5，然后利用二项式展开式的通项公式Tr+1=Cnran-rbr求出x2y4的系数即可.
【详解】由题意可得1x+my2x-y5=1x2x-y5+my2x-y5，
在1x2x-y5的展开式中，由x-1C5r2x5-r-yr=-1r⋅25-rC5rx4-ryr，
令4-r=2r=4无解，即1x2x-y5的展开式没有x2y4项；
在my2x-y5的展开式中，由myC5r2x5-r-yr=-1r⋅25-rmC5rx5-ryr+1，
令5-r=2r+1=4解得r=3，即my2x-y5的展开式中x2y4的项的系数为-13⋅25-3mC53=-40m，又x2y4的系数为40，所以-40m=40，解得m=-1.
故选：B
3．（2007·全国·高考真题（理））ax+17的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项.若实数a>1，那么a=___________.
【答案】1+105
【分析】利用二项展开式通项公式求得所需系数，再利用等差中项公式得到关于a的方程，求解即可得到a的值.
【详解】因为ax+17=1+ax7的二项展开式通项公式为Tk+1=C7k11-kaxk=akC7kxk，
故x3的系数为a3C73=35a3，x2的系数为a2C72=21a2，x4的系数为a4C74=35a4，
所以由题意可得21a2+35a4=2×35a3，整理得a25a2-10a+3=0，
解得a=0或a=1±105，
因为a>1，所以a=1+105.
故答案为：1+105.
4．（2023·全国·高三专题练习）xx+1x4n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是第____项．
【答案】4
【分析】根据题中条件求出n的值，写出二项展开式通项，令x的指数为零，求出参数值，即可得解.
【详解】由题意可得Cn2-Cn1=nn-12-n=n2-3n2=44，即n2-3n-88=0，
∵n∈N*，解得n=11，
xx+1x411的展开式通项为Tk+1=C11k⋅x3211-k⋅x-4k=C11k⋅x33-11k2，
由33-11k2=0，可得k=3，因此，展开式中的常数项是第4项.
故答案为：4.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知(x+m)(2x-1)6的展开式中x2的系数是20,则实数m=______.
【答案】815
【分析】根据多项式中前一项进行展开,然后用二项式定理将两个项中关于x2的找出相加等于20即可求出m.
【详解】解:由题知,(x+m)(2x-1)6=x(2x-1)6+m(2x-1)6,
所以展开式中x2系数是C65⋅2⋅(-1)5+C64⋅22⋅(-1)4⋅m=20,
解得：m=815.
故答案为：815
6．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）若3x+xn的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中x3项的系数是___________.
【答案】15
【分析】先赋值求出所有项的系数，进而计算出n，再根据二项式定理计算展开式中x3项的系数.
【详解】令x=1,得所有项的系数和为4n,二项式系数和为2n,所以4n2n=2n=32,即n=5, (3x+x)5的第r+1项为C5r⋅(3x)5-r⋅x12r=C5r⋅35-r⋅x5-r2
令5-r2=3,得r=4
所以x3项的系数是C54×3=15
故答案为：15
7．（2022·全国·高三专题练习）(x+y2x2)8的展开式中x2y2的系数为__________（用数字作答）．
【答案】7
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式(x+y2x2)8的通项公式为：Tr+1=C8r⋅x8-r⋅y2x2r=C8r⋅x8-3ryr⋅12r，
令r=2，所以x2y2的系数为C82⋅122=7，
故答案为：7
【考点3：二项展开式中的系数和】
【知识点：赋值法在求各项系数和中的应用】
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．
①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)，
②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2).
[易错提醒]
(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；
(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．
1．（2021·广西·梧州市黄埔双语实验学校高三期中（理））1+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4=（ ）
A．1B．3C．0D．-3
【答案】C
【分析】根据展开式，利用赋值法取x=-1即得.
【详解】因为1+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x=-1，可得a0-a1+a2-a3+a4=1-14=0.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知Cn3=Cn6，设2x-3n=a0+a1x-1+a2x-12+⋅⋅⋅+anx-1n，则a1+a2+⋅⋅⋅+an=（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】利用组合数的性质可求得n的值，再利用赋值法可求得a0和a0+a1+a2+⋅⋅⋅+an的值，作差可得出所求代数式的值.
【详解】因为Cn3=Cn6，所以由组合数的性质得n=3+6=9，
所以2x-39=a0+a1x-1+a2x-12+⋅⋅⋅+a9x-19，
令x=2，得2×2-39=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a9，即a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a9=1.
令x=1，得2×1-39=a0=-1，
所以a1+a2+⋅⋅⋅+a9=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a9-a0=1--1=2，
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则（ ）
A．a0的值为2
B．a5的值为16
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5
D．a1＋a3＋a5的值为120
【答案】ABC
【分析】对于A，利用赋值法，令x=0即可求解；
对于B，利用二项式展开式的通项进行求解；
对于C，利用赋值法，令x=1得到a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，再减去a0即可；
对于D，利用赋值法，分别令x=1与x=-1，得到两个式子联立即可求解.
【详解】对于A，令x＝0，得a0＝2×1＝2，故A正确；
对于B，(1－2x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r⋅-2xr=C5r-2rxr，所以a5=2×-25C55+1×-24C54=-64+80=16，故B正确；
对于C，令x＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6 ①，即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－a0＝－3－2＝－5，故C正确；
对于D，令x＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6 ②，由①②解得a1＋a3＋a5＝－123，故D不正确.
故选：ABC
4．（2023·全国·高三专题练习）已知二项式ax-1x6，则下列说法正确的是（ ）
A．若a＝1，则展开式中的常数项为15
B．若a＝2，则展开式中各项系数之和为1
C．若展开式中的常数项为60，则a＝2
D．若展开式中各项系数之和为64，则a＝2
【答案】AB
【分析】根据二项式定理的展开式通项，代入或求解验证，即可得到答案.
【详解】二项式ax-1x6，
对于A，若a＝1，则x-1x6展开式的通项Tr+1=C6r-1rx6-32r，
令6-32r=0，得r＝4，故所求常数项为C64=15，故A正确；
对于B，若a＝2，令x=1，则2x-1x6展开式中各项系数之和为2-16，故B正确；
对于C，由通项Tr+1=C6r⋅ax6-r⋅-1xr=C6r⋅-1r⋅a6-r⋅x6-32r，
令6-32r=0，得r＝4，
故所求常数项为C64⋅a2=15a2=60，解得a=±2，故C错误；
对于D，令x=1，则展开式中各项系数之和为a-16，
由已知得，a-16=64，解得a＝﹣1或a＝3，故D错误.
故选：AB．
5．（2022·广东佛山·高三期中）设(2x-1)5=a0+a1x+⋯+a5x5，则下列说法正确的是（ ）
A．a0=1B．a1+a2+a3+a4+a5=1
C．a0+a2+a4=-121D．a1+a3+a5=122
【答案】CD
【分析】赋值令x=0,x=1,x=-1，代入整理运算，逐项判断.
【详解】令x=0，则(-1)5=a0，即a0=-1，A错误；
令x=1，则15=a0+a1+a2+a3+a4+a5，即a0+a1+a2+a3+a4+a5=1①，
则a1+a2+a3+a4+a5=2，B错误；
令x=-1，则-35=a0-a1+a2-a3+a4-a5，即a0-a1+a2-a3+a4-a5=-243②，
由①②可得：a0+a2+a4=-121，a1+a3+a5=122，C、D正确；
故选：CD.
6．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）若2x-110=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，x∈R，则（ ）
A．a1+a2+⋯+a10=1B．a0+a1+a2+⋯+a10=310
C．a2=160D．a12+a222+a323+⋯+a10210=-1
【答案】BD
【分析】利用赋值法和二项式项的系数性质依次判断选项即可.
【详解】对选项A， 2x-110=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，
令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+⋯+a10=1，
所以a1+a2+⋯+a10=0，故A错误.
对选B，因为2x-110=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，
所以a0+a1+a2+⋯+a10表示2x+110的各项系数之和，
令x=1，则a0+a1+a2+⋯+a10=310，故B正确.
对选项C，a2x2=C1022x2⋅-18=180x2，所以a2=180，故C错误.
对选项D，因为2x-110=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，a0=1，
令x=12，则2⋅12-110=1+a12+a222+a323+⋯+a10210=0，
则a12+a222+a323+⋯+a10210=-1，故D正确.
故选：BD
7．（2023·全国·高三专题练习）设x-12+x3=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1＝________，2a2+3a3+4a4＝________.
【答案】 －4 31
【分析】a1即为x-12+x3中x系数，
又x-12+x3=x2+x3-2+x3，分别求x2+x3与2+x3一次项即可.注意到x-12+x3'=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4'
= a1+2a2x+3a3x2+4a4x3=x+224x-1，令x=1，结合a1可得答案.
【详解】因x-12+x3=x2+x3-2+x3，
则a1=C33⋅23-C32⋅22=-4.
注意到x-12+x3'=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4'
= a1+2a2x+3a3x2+4a4x3=x+224x-1，令x=1，
得a1+2a2+3a3+4a4=27，又a1=-4，得2a2+3a3+4a4 =31.
故答案为：-4；31.
8．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知1+ax2x-1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中一次项系数为___________．
【答案】80
【分析】先运用赋值法求出a的值，然后运用二项式定理的展开式求一次项系数.
【详解】令x=1，可得1+ax2x-1x5的展开式中各项系数的和为(1+a) · (2-1)5=2，∴a=1．
1+ax2x-1x5=1+1x2x-1x5 =1+1x32x5-80x3+80x-40 · 1x+10 · 1x3-1x5，故该展开式中一次项为80x，故答案为80．
故答案为：80.
9．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知ax+15的展开式中，所有项的系数的和为243，则其展开式中x2项的系数为___________.
【答案】40
【分析】根据题意，令x=1，求出a，再利用公式求出x2项的系数.
【详解】令x=1，则(a+1)5=243，得a=2，
对于(2x+1)5，其展开式中x2项的系数为：4C52=40.
故答案为：40
10．（2022·上海市向明中学高一期末）已知对任意给定的实数x，都有(1-2x)100=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a100(x+1)100.求值：
(1)a0+a1+a2+⋯+a100；
(2)a1+a3+a5+⋯+a99.
【答案】(1)1
(2)1-51002
【分析】（1）利用赋值法求解，令x=0可得结果；
（2）利用赋值法求解，令x=-2可得结果；
【详解】（1）因为(1-2x)100=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a100(x+1)100，
令x=0，则a0+a1+a2+⋯+a100=1；
（2）令x=-2，则a0-a1+a2-⋯+a100=5100，
由（1）知a0+a1+a2+⋯+a100=1，
两式相减可得a1+a3+a5+⋯+a99=1-51002.
11．（2022·上海市嘉定区第一中学高二期末）已知3-2x11=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11．求：
(1)a1+a2+⋯+a11；
(2)a1+a2+⋯+a11；
(3)a1+2a2+⋯+11a11．
【答案】(1)1-311
(2)511-311
(3)-22
【分析】（1）利用赋值法即可得解；
（2）先由二项式定理判断系数的正负情况，再由赋值法求得奇数项与偶数项系数之差，从而得解；
（3）利用导数及赋值法即可得解.
【详解】（1）因为3-2x11=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11，
所以令x=0，得3-2×011=a0+a1×0+a2×02+⋯+a11×011，即a0=311，
令x=1，得a0+a1+a2+⋯+a11=3-2×111=1，
所以a1+a2+⋯+a11=1-311.
（2）因为3-2x11的二项式展开通项为Tk+1=C11k3k-2x11-k=-211-k3kC11kx11-k，
所以a0,a2,⋯,a10>0，a1,a3,⋯,a11<0，
故a1+a2+⋯+a11=a2+a4+⋯+a10-a1+a3+⋯+a11，
令x=-1，得a0-a1+a2+⋯-a11=3+211=511，即a0+a2+a4+⋯+a10-a1+a3+⋯+a11=511，
又因为a0=311，
所以a1+a2+⋯+a11=a2+a4+⋯+a10-a1+a3+⋯+a11=511-311.
（3）令fx=3-2x11=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11，
则f'x=113-2x10×-2=-223-2x10，且f'x=a1+2a2x+3a2x2+⋯+11a11x10，
令x=1，则f'1=-223-2×110=-22，且f'1=a1+2a2+3a2+⋯+11a11，
所以a1+2a2+⋯+11a11=-22.
【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】
【知识点：求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤】
第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．
第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．
思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．
1．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知x-2xn的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A．-448B．-1024C．-1792D．-5376
【答案】C
【分析】先根据二项式系数的性质可得n=8，再结合二项展开式的通项求各项系数ar=-2rC8r，分析列式求系数最小项时r的值，代入求系数的最小值.
【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则n=8
∴展开式的通项为Tr+1=C8rx8-r-2xr=-2rC8rx8-3r2,r=0,1,...,8
则该展开式中各项系数ar=-2rC8r,r=0,1,...,8
若求系数的最小值，则r为奇数且ar-ar+2≤0ar-ar-2≤0，即-2rC8r--2r+2C8r+2≤0-2rC8r--2r-2C8r-2≤0，解得r=5
∴系数的最小值为a5=-25C85=-1792
故选：C.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知x+2x2n的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116，则展开式中二项式系数最大的项为第（ ）项.
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】先求出二项式展开的通项公式，分别求出第3项的系数与倒数第3项的系数，由题意得到关于n的方程，即可确定其展开式二项式系数最大项.
【详解】x+2x2n的展开式通项公式为Tr+1=Cnrxn-r2x2r=Cnr⋅2r⋅xn-5r2，
则第3项的系数为Cn2⋅22，倒数第3项的系数为Cnn-2⋅2n-2，
因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116，
所以Cn2⋅22Cnn-2⋅2n-2=116=2-4，所以Cn2⋅22=Cnn-2⋅2n-6，解得n=8，
所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，
故选：C
3．（2022·全国·高二课时练习）已知m为正整数，x+y2m展开式的二项式系数的最大值为a，x+y2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，且13a=7b，则m的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】根据二项式系数的性质确定a,b，由关系13a=7b列方程求m的值.
【详解】由题意可知C2mm=a,C2m+1m=b,∵13a=7b,
∴13C2mm=7C2m+1m,即132m!m!⋅m!=72m+1!m!⋅m+1!,
∴13=7×2m+1m+1，解得m=6．
故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练习）设(1+2x)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，则下列说法正确的是（ ）
A．a0=1B．a1+a2+⋯+a10=310
C．a2=9a1D．展开式中二项式系数最大的项是第5项
【答案】AC
【分析】利用赋值法判断A、B；写出展开式的通项，即可求出a1、a2，进而判断C；根据二项式系数的性质判断D.
【详解】因为(1+2x)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，令x=0得a0=(1+2×0)10=1，故A正确；
令x=1得a0+a1+a2+⋯+a10=(1+2×1)10=310，所以a1+a2+⋯+a10=310-1，故B错误；
二项式(1+2x)10展开式的通项为Tr+1=C10r2xr=C10r⋅2r⋅xr，
所以a1=C101⋅21=20，a2=C102⋅22=180，所以a2=9a1，故C正确；
因为二项式(1+2x)10展开式共11项，则展开式中二项式系数最大的项是第6项，为C105，故D错误；
故选：AC.
5．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）已知二项式x3-26，在其展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．
【答案】-160
【分析】根据二项式系数的性质，可知第4项二项式系数最大，写出展开式的第4项即可得到.
【详解】由题意知，n=6.根据二项式系数的性质可得，第4项二项式系数最大.
T4=C63⋅x36-3×-23=-160x9，所以展开式中二项式系数最大的项的系数为-160.
故答案为：-160.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知x+akk∈N*,a∈R的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且x3项的系数为-160，则a⋅k=______．
【答案】-12
【分析】根据二项式系数的性质求出k的值，再利用二项展开式的通项，结合已知条件求出a的值，即可得出答案．
【详解】∵x+ak的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴k=6
∴二项展开式的通项Tr+1=C6r⋅x6-r⋅ar，令6-r=3，得r=3
∴x3项的系数为a3C63=20a3=-160，∴a=-2
则a⋅k=-12．
故答案为：-12．
7．（2022·江苏·南通市通州区石港中学高二阶段练习）在x+3x2n的二项展开式中，二项式系数之和为64.
(1)求正整数n的值；
(2)求x+3x2n的二项展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)3；(2)540
【分析】(1)由题意利用二项式系数的性质，求得n的值.
(2)由题意利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式，求得二项式系数最大的项.
（1）
∵在x+3x2n的二项展开式中，二项式系数之和为22n=64,∴2n=6,n=3.
（2）
由（1）小问可知n=3，∴ x+3x2n=x+3x6的二项展开式中，第4项的二项式系数最大，此时r=3，
故二项式系数最大的项为T4=C63⋅33=540.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知3x+123xn的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)358；(2)7x23
【分析】（1）利用二项式展开式的通项和等差中项解出n.当n是偶数时，中间项的二项式系数Cnn2最大，当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cnn-12，Cnn+12相等且最大．
（2）求系数最大的项，则只需比较相邻两项系数的大小即可．
（1）3x+123xn的展开式的通项Tr+1=Cnr3xn-r123xr=Cnr12rxn-2r3．因为展开式中前三项的系数成等差数列，所以2Cn1⋅12=Cn0+Cn2⋅14，即n=1+nn-18，整理得n2-9n+8=0，解得n=8或n=1．又因为n≥2，所以n=8，所以第5项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为T5=C84124x8-83=358．
（2）由（1）得展开式中系数为Cnr(12)r由C8r(12)r≥C8r+1(12)r+1C8r(12)r≥C8r-1(12)r-1得2×8!r!(8-r)!≥8!(r+1)!(7-r)!8!r!(8-r)!≥2×8!(r-1)!(9-r)!整理得2r+2≥8-r9-r≥2r，解得2≤r≤3所以当r=2或3时项的系数最大.因此，展开式中系数最大的项为T3=C82122x43=7x43和T4=C83123x23=7x23．
【考点5：二项式定理的应用】
【知识点：二项式定理的应用】
1．（2022·全国·高二单元测试）0.997的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930B．0.931C．0.932D．0.933
【答案】C
【分析】由二项式定理求解
【详解】0.997=1-0.017=C70×1-C71×0.01+C72×0.012-⋅⋅⋅=1-0.07+0.0021-⋅⋅⋅≈0.932.
故选：C
2．（2022·全国·高二单元测试）关于x-12021及其二项展开式，下列说法正确的是（ ）
A．该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为22021
B．该二项展开式中第8项为-C20217x1007
C．当x=100时，x-12021除以100的余数是9
D．该二项展开式中不含有理项
【答案】BC
【分析】对于A，由二项式系数的性质，由公式可得答案；
对于B，根据二项式定理的通项公式，令r=7时，可得答案；
对于C，根据二项式定理，结合带余除法的变换等式，可得答案；
对于D，利用二项式定理通项，使x的指数为整数，可得答案.
【详解】偶数项的二项式系数之和为22020，故A错误；
展开式中第8项为T7+1=C20217x2014⋅-17=-C20217x1007，故B正确；
当x=100时，x-12021=10-12021=C20210⋅102021-C20211⋅102021+⋯-C20212019⋅102+C20212020⋅101-C20212021
=100C20210⋅102019-C20211⋅102018+⋯-C20212019⋅100+C20212020⋅101-1，
∵C20212020⋅101-1=20209=20200+9，除以100的余数是9，
∴当x=100时，x-12021除以100的余数是9，故C正确；
x-12021的展开式的通项为Tr+1=C2021r⋅x2021-r-1r=-1rC2021rx2021-r2，
当2021-r2为整数，即r=1,3,5,⋯,2021时，Tr+1为有理项，故D错误．
故选：BC．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x6ai∈R,i=0,1,2,3,⋅⋅⋅,6的定义域为R．（ ）
A．a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a6=-1
B．a1+a3+a5=-364
C．a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+6a6=12
D．f(5)被8整除余数为7
【答案】BC
【分析】利用赋值x=1或x=-1，判断AB；对函数两边求导，再赋值x=1，判断C；f5=96=8+16，展开后可判断余数，判断D.
【详解】A.当x=1时，a0+a1+a2+...+a6=1-26=1，①故A错误；
B.当x=-1时，a0-a1+a2+...+a6=1+26=36，②，
①-②=2a1+a3+a5=1-36，解得：a1+a3+a5=1-362=-364，故B正确；
C.f'x=-121-2x5=a1+2a2x+3a3x2+...+6a6x5，令x=1得a1+2a2+3a3+...+6a6=-121-25=12，故C正确；
D.f5=96=8+16=86+C61⋅85+C62⋅84+...+C65⋅8+1，所以f5被8整除余数为1，故D错误.
故选：BC
4．（2022·江苏省镇江中学高二期末）下列说法正确的是（ ）
A．若(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，则a1+a2+⋯+an=310-1
B．1.0510精确到0.1的近似值为1.6
C．5555被8除的余数为1
D．若1+2Cn1+22Cn2+⋯+2nCnn=2187，则Cn1+Cn2+⋯+Cnn=127
【答案】ABD
【分析】对于选项A：利用赋值法，令x=0,则a0=1；再令x=-1,即可求解；对于选项B：利用二项式定理 ,取展开式前3项,即可求解；对于选项C： 利用二项式定理，判断出5555被8除的余数为1不正确；对于选项D： 先求出n=7.再求出C71+C72+⋯+C77的值.
【详解】对于选项A：在(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10中，令x=0,则a0=1；令x=-1,则a0+a1+a2+⋯+an=310,所以a1+a2+⋯+an=310-1,故A正确;
对于选项B：1.0510=1+0.0510=C100×0.050++C101×0.051+⋯+C1010×0.0510 ,取展开式前3项,则1.0510精确到0.1的近似值为1+0.5+0.1=1.6.故 B正确;
对于选项C： 555=(56-1)55=C5505655-C5515654+⋯+C5554561(-1)54+C5555(-1)55
在展开式中，含56 的项都能被8整除，最后一项为-1，除以8的余数是7.故5555被8除的余数为1不正确.故C错误;
对于选项D： 因为1+2Cn1+22Cn2+⋯+2nCnn=Cn01n20+Cn11n-121+⋯+Cnn102n=3n=2187，
所以n=7.
所以C70+C71+C72+⋯+C77=27=128，所以C71+C72+⋯+C77=128-C70=127.
故D正确.
故选：ABD.
5．（2007·全国·高考真题）9192除以100的余数是______．
【答案】81
【分析】根据二项式定理的应用求余数即可.
【详解】9192=90+192=C920×9092×10+⋯+C9290×902×190+C9291×901×191+C9292×900×1，在此展开式中，除了最后两项外，其余项都能被100整除，故9192除以100的余数等价于C9291×901×191+C9292×900×1=8281除以100的余数，所以余数为81.
故答案为：81.
6．（2022·全国·高二课时练习）若512020+a能被13整除，则实数a的值可以为________．（填序号）
①0；②11；③12；④25．
【答案】③④
【分析】由512020=(52-1)2020，根据二项式定理展开，转化为1+a能被13整除，结合选项即可求解.
【详解】解析：∵512020+a=(52-1)2020+a= C20200522020(-1)0+C20201522019(-1)1+ C20202⋅522018(-1)2 +⋯+C20202019521(-1)2019+C20202020⋅(-1)2020+a，
又52能被13整除，∴需使C20202020(-1)2020+a能被13整除，即1+a能被13整除，
∴1+a=13k，k∈Z，结合选项可知③④满足．
故答案为：③④．
7．（2007·湖南·高考真题）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第__________行中从左至右第14与第15个数的比为2:3．
第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14644第5行15101051⋯⋯⋯⋯
【答案】34
【分析】由杨辉三角形得出第n行的第14和第15个数的表示形式，然后由它们的比值可求得n．
【详解】设在第n行满足题意，因此Cn13Cn14=23，解得n=34．
故答案为：34.
8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数n，第2n行中最大的数为x，第2n+1行中最大的数为y，且13x=7y，则n的值为______．
【答案】6
【分析】根据二项式系数的最大值满足的条件求出x，y，代入13x=7y，根据组合数的公式求解即可．
【详解】由题意知x=C2nn,y=C2n+1n+1，故13C2nn=7C2n+1n+1
∴13×(2n)!n!⋅n!=7×(2n+1)!n!⋅(n+1)!，
∴13=7×2n+1n+1，∴13(n+1)=7(2n+1)，
解得n=6．
故答案为：6．
9．（2022·全国·高二课时练习）已知f(x)=(2x+3)9=a0+a1(x+1)+ a2(x+1)2+⋯+a9(x+1)9．
(1)求a1+a2+a3+⋯+a9的值；
(2)求f(20)-20被6整除的余数．
【答案】(1)19682；(2)5
【分析】（1）根据赋值法即可求解系数和，
（2）将(42+1)9根据二项式定理进行展开，即可求解余数.
（1）
令x=-1，得a0=1，
令x=0，得a0+a1+a2+a3+⋯+a9=39．
所以a1+a2+a3+⋯+a9=39-1=19682．
（2）
由f(20)-20=439-20=(42+1)9-20 =C90429+C91428+⋯+C9842+1-20
=42C90428+C91427+⋯+C98-19 =42C90428+C91427+⋯+C98-1+23．
因为42C90428+C91427+⋯+C98-1能被6整除，所以23被6整除后余数为5．
所以f(20)-20被6整除的余数为5．二项
展开式
公式(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二项式定理
二项式
的通项
Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk为展开式的第k＋1项
二项式
系数
二项展开式中各项的系数Ceq \\al(r,n)(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数
项的
系数
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Ceq \\al(r,n)an－rbr
相关试卷
专题6.5 正态分布（3类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）： 这是一份专题6.5 正态分布（3类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册），文件包含专题65正态分布3类必考点北师大版选择性必修第一册原卷版docx、专题65正态分布3类必考点北师大版选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
专题5.3 组合问题（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）： 这是一份专题5.3 组合问题（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册），文件包含专题53组合问题4类必考点北师大版选择性必修第一册原卷版docx、专题53组合问题4类必考点北师大版选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
专题5.2 排列问题（5类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）： 这是一份专题5.2 排列问题（5类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册），文件包含专题52排列问题5类必考点北师大版选择性必修第一册原卷版docx、专题52排列问题5类必考点北师大版选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
