专题6.1 随机事件的条件概率（3类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc19309" 【考点1：条件概率】 PAGEREF _Tc19309 \h 1
\l "_Tc21031" 【考点2：乘法公式与事件的独立性】 PAGEREF _Tc21031 \h 6
\l "_Tc3732" 【考点3：全概率公式】 PAGEREF _Tc3732 \h 13
【考点1：条件概率】
【知识点：条件概率】
[方法技巧]
解决条件概率问题的步骤
第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．
第二步，计算概率，这里有两种思路：
[提醒] 要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
1．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）甲、乙两个家庭出去游玩，准备分别从北京、上海、重庆和天津4个地点中随机选择一个，记事件A：甲和乙选择的地点不同，事件B：甲和乙恰有一个选择北京，则P(B∣A)=（ ）
A．14B．34C．23D．12
【答案】D
【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】事件AB：甲乙只有其中一个人选择了北京，故P(AB)=2×34×4 ,P(A)=4×34×4,因此P(B∣A)=P(AB)P(A)=12,
故选：D
2．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ）
A．0.24B．0.36C．0.48D．0.75
【答案】C
【分析】根据条件概率公式求解即可．
【详解】设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B，
则由题意得PA=0.6，PB|A=0.8，
所以她两次均击中9环的概率为PAB=PA×PB|A=0.6×0.8=0.48．
故选：C．
3．（2023·安徽淮南·统考一模）近年来，准南市全力推进全国文明城市创建工作，构建良好的宜居环境，城市公园越来越多，某周末，甲、乙两位市民准备从龙湖公园、八公山森林公园、上密森林公园、山南中央公园4个景点中随机选择共中一个景点游玩，记事件M：甲和乙至少一人选择八公山森林公园，事件N：甲和乙选择的景点不同，则PNM=（ ）
A．716B．78C．37D．67
【答案】D
【分析】根据对立事件可求出PM=716，然后求得PMN=38，根据条件概率公式，即可求出答案.
【详解】由已知可得，甲乙两人随机选择景点，所有的情况为4×4=16种，甲乙两人都不选择八公山森林公园的情况为3×3=9种，所有甲乙两人都不选择八公山森林公园的概率为p1=916，所以PM=1−916=716.
事件MN：甲选择八公山森林公园，乙选择其他，有3种可能；或乙选择八公山森林公园，甲选择其他，有3种可能.甲乙两人随机选择有所以事件MN发生的概率为PMN=3+316=38，
根据条件概率公式可得，PNM=PMNPM=38716=67.
故选：D.
4．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是12，连续两次遇到红灯的概率是16，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ）
A．23B．34C．13D．12
【答案】C
【分析】由条件概率公式求解即可
【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A，
“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件B，
则由题意可得PA=12,PAB=16，
则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，
第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为PB∣A=PABPA=13．
故选：C．
5．（江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高三下学期1月联考数学试题）寒假期间，甲，乙，丙，丁，戊共5位同学被安排到A，B，C，D四个小区参加社会实践活动，要求每个小区至少安排一位同学，且每位同学只能到一个小区参加实践活动，则下列结论正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有240种
B．甲同学被安排到A小区的概率是14
C．甲乙两位同学被安排在同一小区的概率为15
D．在甲同学被安排到A小区的前提下，A小区有两位同学的概率是25
【答案】ABD
【分析】由捆绑法判断A；由捆绑法结合概率公式判断B；由组合公式得出甲乙两位同学被安排在同一小区的方法数结合概率公式判断C；由概率公式判断D.
【详解】对A，甲、乙、丙、丁、戊共5位同学被安排到A，B，C，D四个小区参加社会实践活动，则共有C52A44=240种安排方法，故A正确；
对B，甲同学被安排到A小区，若A小区只有一个人，则有C42A33=36种安排方法，若A小区只有2个人，则有A44=24种安排方法，所以甲同学被安排到A小区有36+24=60种安排方法，所以甲同学被安排到A小区的概率是60240=14，故B正确；
对C，甲乙两位同学被安排在同一小区，共有A44=24种不同的安排方法，所以甲乙两位同学被安排在同一小区的概率为24240=110，故C错误；
对D，甲同学被安排到A小区有60种安排方法，在甲同学被安排到A小区支教的前提下，A小区有两名同学的安排方法有24种，所以在甲同学被安排到A小区支教的前提下，A小区有两名同学的概率是2460=25，故D正确.
故选：ABD
6．（2023·全国·高三对口高考）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是3的整数倍”，则PBA=_________.
【答案】1340
【分析】根据组合知识可得事件A，AB包含的基本事件数，再利用条件概率公式即得.
【详解】由题可知事件A包含的基本事件数为nA=C51C81=40，
事件AB包含的基本事件数为nAB=C31C31+C21C21=13，
所以P(BA)=n(AB)n(A)=1340．
故答案为：1340.
7．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）我国的中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎有显著疗效，功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒､莲花清㾓胶囊和血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤､化湿败毒方和宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出三种，A表示事件“选出的三种中至少有一药”，B表示事件“选出的三种中有且仅有一方”，则PB∣A=__________.
【答案】919
【分析】利用古典概型分别求出P(A)，P(AB)，进而求得P(B|A).
【详解】若某医生从“三药三方”中随机选出三种，A表示事件“选出的三种中至少有一药”，B表示事件“选出的三种中有且仅有一方”，
则P(A)=C63−C33C63=1920，P(AB)=C32C31C63=920，
∴P(B∣A)=P(AB)P(A)=9201920=919.
故答案为：919
8．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选.
(1)求女生乙被选中的概率；
(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.
【答案】(1)12
(2)25
【分析】（1）直接用古典概型的概率求解即可.
（2）先算男生甲被选中的概率，再算女生乙被选中，然后根据条件概率求解.
【详解】（1）女生乙被选中事件的概率P=C52C63=12.
（2）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，
则PA=C52C63=12,PAB=C41C63=15,∴PB∣A=PABPA=25
9．（2023·全国·高二专题练习）盒中装有5个同种产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求；
(1)取两次，两次都取得一等品的概率；
(2)取两次，第二次取得一等品的概率；
(3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．
【答案】(1)310
(2)35
(3)12
【分析】（1）利用古典概型概率的计算公式，计算出所求答案.
（2）根据概率的知识求得正确答案.
（3）根据条件概率计算公式，计算出所求答案.
【详解】（1）有5个同种产品，其中3个一等品，
取两次，两次都取到一等品的概率为35×24=310.
（2）有5个同种产品，其中3个一等品，
根据概率的知识可知：取两次，第二次取得一等品的概率为35×24+25×34=35.
（3）记事件Ai表示“第i次取到一等品”，其中i=1,2．
取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为P(A1|A2)=P(A1A2)P(A2)=25×3435=12．
10．（2022·高二课时练习）一个袋中有大小与质地相同的2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取2个球，记事件A表示“第一次抽到黑球”；事件B表示“第二次抽到黑球”．
(1)分别求事件A、B、A∩B发生的概率；
(2)求PBA．
【答案】(1)PA=25，PB=25，PA∩B=110．
(2)14
【分析】（1）由独立事件发生的概率求解即可；
（2）由条件概率公式求解即可．
（1）
记“第一次抽到黑球”为事件A，则P(A)=C21C51=25；
“第二次抽到黑球”为事件B．则PB=35×24+25×14=25；
A∩B表示“第一次和第二次都抽到黑球”，则PA∩B=25×14=110；
（2）
由（1）得：PBA=P(AB)P(A)=11025=14．
【考点2：乘法公式与事件的独立性】
【知识点：乘法公式与事件的独立性】
相互独立事件概率的求法
与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：
[方法技巧]
求相互独立事件概率的步骤
第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；
第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；
第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．
此外，也可以从对立事件入手计算概率．
1．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）对于事件A，B，下列命题不正确的是（ ）
A．若A，B互斥，则PA+PB≤1
B．若A，B对立，则PA+PB=1
C．若A，B独立，则PAPB=PAB
D．若A，B独立，则PA+PB≤1
【答案】D
【分析】根据对立事件，独立事件和互斥事件的性质，分别进行判断即可.
【详解】因为A，B互斥，互斥事件概率和在(0,1]区间，所以PA+PB≤1，故选项A正确；
因为A，B对立，对立事件概率和为1，所以PA+PB=1，故选项B正确；
因为A，B独立，则A,B也相互独立，所以PAPB=PAB，故选项C正确；
因为A，B独立，由独立事件的性质可知：二者同时发生的概率P(AB)=P(A)P(B)，由概率大于零可知：PA+PB≤1不一定成立，故选项D错误；
所以命题不正确的是D，
故选：D.
2．（2023秋·辽宁·高二辽河油田第二高级中学校考期末）已知A、B是随机事件，则下列结论正确的是（ ）
A．若A、B是互斥事件，则PAB=PAPB
B．若A、B是对立事件，则A、B是互斥事件
C．若事件A、B相互独立，则PA+B=PA+PB
D．事件A、B至少有一个发生的概率不小于A、B恰好有一个发生的概率
【答案】BD
【分析】利用互斥事件的定义可得出AB=∅，进而可判断A选项；利用对立事件的定义可判断B选项；利用并事件的概率公式以及独立事件的概率公式可判断C选项；列举两个事件所包含的基本情况，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若A、B是互斥事件，则A∩B=∅，则PAB=0≠PAPB，A错；
对于B选项，若A、B是对立事件，则A、B是互斥事件，B对；
对于C选项，若事件A、B相互独立，
则PA+B=PA+PB−PAB=PA+PB−PAPB≠PA+PB，C错；
对于D选项，事件A、B至少发生一个包含三种情况：AB、AB、AB，
事件A、B恰好发生一个包含两种情况：AB、AB，
因此，事件A、B至少有一个发生的概率不小于A、B恰好有一个发生的概率，D对.
故选：BD.
3．（2023·全国·模拟预测）某校10月份举行校运动会，甲､乙､丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为13，且每人选择相互独立，则（ ）
A．三人都选择长跑的概率为127
B．三人都不选择长跑的概率为23
C．至少有两人选择跳绳的概率为427
D．在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为57
【答案】AD
【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.
【详解】由已知
三人选择长跑的概率为13×13×13=127，故A正确.
三人都不选择长跑的概率为23×23×23=827，故B错误.
至少有两人选择跳绳的概率为13×13×13+C3213×13×23=727，故C错误.
记至少有两人选择跳远为事件A，所以PA=13×13×13+C3213×13×23=727.
记丙同学选择跳远为事件B，所以PAB=1313×13+C21×23×13=527.
所以在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为PBA=PABPB=57 ，故D正确.
故选：AD
4．（2023·高三课时练习）甲、乙、丙三家企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为12、13、14，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有一家购买该机床设备的概率是_________.
【答案】1124
【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
【详解】三家企业中恰有一家购买该机床设备的概率是：
12×23×34+12×13×34+12×23×14=1124.
故答案为：1124
5．（2023秋·湖北恩施·高二校联考期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是23，乙解出这道题目的概率是34，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是______.
【答案】1112
【分析】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率P=1−PA
【详解】设数学题没被解出来为事件A，则PA=1−23⋅1−34=112.
故这道题被解出（至少有一人解出来）的概率P=1−PA =1−112=1112.
故答案为：1112
6．（2022秋·湖北十堰·高二统考期末）甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为13，则最后甲获胜的概率是______________．
【答案】2027
【分析】判断甲获胜的情况为前两局胜或第一局胜第二局输第三局胜或第一局输第二局胜第三局胜，根据互斥事件的概率加法公式即可求得答案.
【详解】因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），由题意知甲每局比赛获胜的概率都为23，
因此甲获胜的情况为前两局胜或第一局胜第二局输第三局胜或第一局输第二局胜第三局胜，
所以最后甲获胜的概率P=23×23+23×13×23+13×23×23=2027,
故答案为：2027
7．（2022秋·上海虹口·高二校考期末）在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3，甲乙两人的击互不影响，求：
(1)甲乙同时射中目标的概率；
(2)甲乙中至少有一人击中目标的概率.
【答案】(1)0.12
(2)0.58
【分析】（1）设出相应的事件，找出对应事件的概率，利用相互独立事件的概率求解即可，
（2）利用对立事件性质求解即可.
【详解】（1）设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，
则PA=0.4,PB=0.3，且事件A，B相互独立，
所以甲乙同时射中目标的概率为PA⋅B=PA⋅PB=0.4×0.3=0.12.
（2）设“甲乙中至少有一人击中目标”为事件C，
则它的对立事件为“甲乙都没有击中目标”记为：A⋅B，
则PC=1−PA⋅B=1−PA⋅PB=1−1−0.41−0.3=0.58.
8．（2022秋·上海浦东新·高二校考期末）甲、乙两位同学上课后独自完成自我检测题，甲及格概率为45，乙及格概率为35，求：
(1)求甲、乙两人都及格的概率；
(2)求至少有一人及格的概率；
(3)求恰有一人及格的概率．
【答案】(1)1225
(2)2325
(3)1125
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可；
（2）先求出两人都不及格的概率，再根据对立事件概率求解即可；
（3）根据独立事件的乘法公式求解即可；
【详解】（1）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，
所以，甲、乙两人都及格的概率P1=45×35=1225.
（2）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，
所以，两人都不及格的概率为(1−45)(1−35)=225，
所以，至少有一人及格的概率P2=1−225=2325；
（3）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，
所以，恰有一人及格的概率P3=45×(1−35)+(1−45)×35=1125．
9．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试，甲通过测试的概率是0.8，乙通过测试的概率为0.9，丙通过测试的概率为0.5，假定甲、乙、丙3人是否通过测试相互之间没有影响.
(1)求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率P1；
(2)求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率P2.
【答案】(1)0.36；
(2)0.49.
【分析】（1）根据概率乘法公式进行求解即可；
（2）根据概率加法公式和乘法公式进行求解即可.
【详解】（1）设甲、乙、丙3人通过测试分别为事件A，B，C，
则PA=0.8，PB=0.9，PC=0.5.
∴P1=PABC=PAPBPC=0.8×0.9×0.5=0.36.
（2）甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试，等价于恰有1人未通过测试，
∴P2=PAPBPC+PAPBPC+PAPBPC
=0.2×0.9×0.5+0.8×0.1×0.5+0.8×0.9×0.5=0.49.
10．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁进行乒乓球比赛，比赛规则如下：
第一轮：甲和乙进行比赛，同时丙和丁进行比赛，两个获胜者进入胜者组，两个败者进入败者组；
第二轮：胜者组进行比赛，同时败者组进行比赛，败者组中失败的选手淘汰；
第三轮：败者组的胜者与胜者组的败者进行比赛，失败的选手淘汰；
第四轮：第三轮中的胜者与第二轮中胜者组的胜者进行决赛，胜者为冠军．
已知甲与乙、丙、丁比赛，甲的胜率分别为12,23,25；乙与丙、丁比赛，乙的胜率分别为12,35；丙与丁比赛，丙的胜率为12.任意两场比赛之间均相互独立．
(1)求丙在第二轮被淘汰的概率；
(2)在丙在第二轮被淘汰的条件下，求甲所有比赛全胜并获得冠军的概率．
【答案】(1)724；
(2)276875.
【分析】（1）由题可得第一轮中丙败给丁，第二轮丙败给甲或乙，进而即得；
（2）设“丙在第二轮被淘汰”为事件A，“甲所有比赛全胜并获得冠军”为事件B，根据条件分类讨论可得PAB，然后根据条件概率公式即得.
【详解】（1）若丙在第二轮被淘汰，则根据规则，
第一轮中丙和丁比赛，丙为败者的概率为12，
而甲与乙比赛的败者分两种情况，若第二轮甲进入败者组，其概率为12，
则第二轮丙被淘汰的概率P1=12×12×23=16；
若第二轮乙进入败者组，其概率为12，
第二轮丙被淘汰的概率P2=12×12×12=18；
故丙在第二轮被淘汰的概率为P=P1+P2=16+18=724；
（2）第一轮甲与乙比赛中，甲获胜进入胜者组的概率为12，
并且与丁进行第二轮比赛，第二轮胜者组比赛甲获胜的概率为25，
丁与乙进行第三轮比赛，故分两种情况，
若第三轮乙获胜，乙获胜的概率为35，甲与乙进行决赛，甲获胜的概率为12，
此时甲获得冠军的概率为P3=12×25×35×12=350；
若第三轮丁获胜，丁获胜的概率为25，甲、丁进行决赛，甲获胜的概率为25，
此时甲获得冠军的概率为P4=12×25×25×25=4125.
设“丙在第二轮被淘汰”为事件A，“甲所有比赛全胜并获得冠军”为事件B，
则P(BA)=P(AB)P(A)=P3+P4724=276875.
【考点3：全概率公式】
【知识点：全概率公式】
若样本空间中的事件满足：
（1）任意两个事件均互斥，即，．
（2）．
（3）．则对任意事件，都有，则称该公式为全概率公式．
上述公式可借助图形来理解：
1．（2023·全国·模拟预测）某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为（ ）
A．0.78B．0.64C．0.58D．0.48
【答案】A
【分析】设B=“任取一块芯片是正品”，Ai(i=1,2,3)分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据互斥事件的概率公式以及全概率公式，即可求得答案.
【详解】设B= “任取一块芯片是正品”，Ai(i=1,2,3)分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，
根据题意可得∶P(A1)=525=0.2,P(A2)=1025=0.4,P(A3)=1025=0.4，
P(B|A1)=1−0.1=0.9,P(B|A2)=1−0.2=0.8,P(B|A3)=1−0.3=0.7，
由全概率公式可得∶P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.2×0.9+0.4×0.8+0.4×0.7=0.78.
故选：A
2．（2022·安徽黄山·统考一模）两批同种规格的产品，第一批占40%、合格品率为95%，第二批占60%、合格品率为96%.将两批产品混合，从混合产品中任取一件.则这件产品是次品的概率为（ ）
A．95.6%B．42.4%C．59.6%D．4.4%
【答案】D
【分析】次品率等于1减合格品率，计算可得.
【详解】40%×(1-95%)+60%×(1-96%)=4.4%.
故选：D.
3．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是23，夏季来的概率是13，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（ ）
A．1115B．1645C．1745D．13
【答案】C
【分析】根据古典概型分别求出冬季去了“一眼望三国”和夏季去了“一眼望三国”的概率，再结合全概率公式即可求解.
【详解】设事件A1=“冬季去吉林旅游”，事件A2=“夏季去吉林旅游”，事件B=“去了一眼望三国”，
则PA1=23，PA2=13，
在冬季去了“一眼望三国”的概率PB|A1=C41C11C52=25，
在夏季去了“一眼望三国”的概率PB|A2=C51C11C62=13，
所以去了“一眼望三国”的概率PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2=23×25+13×13=1745，
故选：C.
4．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A1,A2,A3表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．PBA1=511B．PB=25
C．PA1B=59D．PA2B=655
【答案】AC
【分析】计算出PA1=12，PA1B=522，利用条件概率求出PBA1=511，A正确；同理得到PA2B=455，D错误，利用全概率公式求出PB，B错误；利用条件概率得到C正确.
【详解】由题意得：PA1=55+2+3=12，PA1B=12×4+110+1=522，
故PBA1=PA1BPA1=52212=511，A正确；
PA2=25+2+3=15，PA2B=15×410+1=455，D错误；
PA3=35+2+3=310，PA3B=310×410+1=655，
故PB=PA1B+PA2B+PA3B=522+455+655=922，B错误；
PA1B=PA1BPB=522922=59，C正确.
故选：AC
5．（2023秋·海南·高三统考期末）已知小明每天步行上学的概率为0.6，骑自行车上学的概率为0.4，且步行上学有0.05的概率迟到，骑自行车上学有0.02的概率迟到．若小明今天上学迟到了，则他今天骑自行车上学的概率为________．
【答案】419
【分析】根据题目信息利用全概率公式可计算出小明上学迟到的概率，再根据条件概率即可算出结果.
【详解】用A表示事件“小明步行上学”，B表示事件“小明骑自行车上学”，C表示事件“小明迟到”；
由已知得PA=0.6，PB=0.4，PCA=0.05，PCB=0.02；
根据全概率公式可知
PC=PAPCA+PBPCB=0.6×0.05+0.4×0.02=0.038，
利用条件概率可得PBC=PBCPC=PBPCBPC=0.4×；
即小明今天骑自行车上学的概率为419.
故答案为：419
6．（2023秋·山西太原·高三统考期末）在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设A=“试验结果为阳性”，B=“试验者患有此癌症”，据临床统计显示PAB=0.99，PAB=0.98．已知某地人群中患有此种癌症的概率为0.001，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为_____________．
【答案】11233
【分析】根据已知得出PAB，PB与PB，再由条件概率公式与全概率公式计算得出结果.
【详解】由题意可得：
PAB=1−PAB=0.02，PB=0.001，PB=0.999，
∴PBA=PABPA=PABPBPAB+PAB=PABPBPABPB+PABPB，
=0.99××0.001+0.02×0.999=992097=11233，
故答案为：11233.
7．（2023·全国·高三专题练习）某病毒会造成“持续的人传人”，即存在甲传乙，乙又传丙，丙又传丁的传染现象，那么甲，乙，丙就被称为第一代、第二代、第三代传播者. 假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.5. 已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为______.
【答案】0.79
【分析】根据全概率计算公式即可求解.
【详解】被第一代感染者传染的概率p1=C51C101×0.9=0.45，
被第二代感染者传染的概率p2=C31C101×0.8=0.24，
被第三代感染者传染的概率p3=C21C101×0.5=0.1，
所以小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触被感染的概率为
p=p1+p2+p3=0.45+0.24+0.1=0.79，
故答案为：0.79.
8．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线.如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6;如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8.
(1)求小明放学时选择A路线的概率;
(2)已知小明放学时选择A路线，求小明上学时选择B路线的概率.
【答案】(1)0.7
(2)47
【分析】(1) 设A1=“上学时选择A路线”，B1=“上学时选择B路线”，A2=“放学时选择A路线”，再利用条件概率公式求解；
(2)利用条件概率公式求解.
【详解】（1）设A1=“上学时选择A路线”，B1=“上学时选择B路线”，A2=“放学时选择A路线”，
则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥，
根据题意得PA1=PB1=0.5，
PA2|A1=0.6，PA2|B1=0.8，
由全概率公式，得
PA2=PA1PA2|A1+PB1PA2|B1=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7
所以小明放学时选择A路线的概率为0.7.
（2）PB1|A2=PA2B1PA2=PB1PA2|B1PA2=0.5×
所以已知小明放学时选择A路线，上学选择B路线的概率为47.
9．（2023·山西·统考一模）假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
【答案】(1)47
(2)2235
【分析】（1）利用对立事件的概率公式与条件概率公式，结合古典概型求解即可；
（2）利用全概率公式，结合古典概型求解即可.
【详解】（1）依题意，记事件Ai表示第i次从第一个盒子里取出红球，记事件B表示两次取球中有红球，
则PB=1−PB=1−35×24=1−310=710，
PA2B=PA2BPB=PA1A2+PA1A2PB=2×15×4+3×25×4710=47.
（2）记事件C1表示从第一个盒子里取出红球，记事件C2表示从第一个盒子里取出白球，记事件D表示从第二个盒子里取出红球，
则PD=PC1PDC1+PC2PDC2=25×57+35×47=2235.
10．（2022·全国·高三专题练习）鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼的保质期一般在三至四天.据统计，某超市一天鲜花饼卖出3箱的概率为15，卖出2箱的概率为12，卖出1箱的概率为15，没有卖出的概率为110，为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上存货，若卖出2箱及以上，则需补货至3箱，否则不补货.假设第一天该超市开始营业时货架上有3箱鲜花饼.
(1)在第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有1箱存货的概率；
(2)求第二天结束营业时货架上有1箱存货的概率.
【答案】(1)15(2)1125
【分析】（1）利用条件概率的概念直接计算；
（2）利用全公式直接计算.
（1）设事件A：“第二天开始营业时货架上有3箱鲜花饼”，事件B：“第二天开始营业时货架上有2箱鲜花饼”，，事件C：“第二天结束营业时货架上有1箱存货”，
因为第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼，故第二天只卖出1箱，
故PCB=15；
（2）由题意PA=110+15+12=45，PB=15，PCA=12，
由全概率公式得PC=PAPCA+PBPCB=45×12+15×15=1125.定义
设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
性质
①0≤P(B|A)≤1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
思路一
缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝eq \f(nAB,nB)计算
思路二
直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)计算
定义
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立
性质
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)；
②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也都相互独立
事件A，B相互独立
概率计算公式
A，B同时发生
P(AB)＝P(A)P(B)
A，B同时不发生
P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))
＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)
A，B至少有一个不发生
P＝1－P(AB)
＝1－P(A)P(B)
A，B至少有一个发生
P＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))
＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))
＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
A，B恰有一个发生
P＝P(Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B)
＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)
＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)