专题6.2 离散型随机变量及其分布列（3类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc128127190" 【基础知识梳理】 PAGEREF _Tc128127190 \h 1
\l "_Tc128127191" 【考点1：随机变量】 PAGEREF _Tc128127191 \h 2
\l "_Tc128127258" 【考点2：求简单随机变量的分布列】 PAGEREF _Tc128127258 \h 3
\l "_Tc128127612" 【考点3：随机变量分布列的性质】 PAGEREF _Tc128127612 \h 8
【基础知识梳理】
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)分布列的性质：①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②eq \i\su(i＝1,n,p)i＝1.
3．离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
[方法技巧]
求离散型随机变量分布列的步骤
(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)；
(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；
(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．
【考点1：随机变量】
【知识点：随机变量】
1．（2022春·浙江绍兴·高二校考期中）先后抛掷一个骰子两次，记随机变量ξ为两次掷出的点数之和，则ξ的取值集合是（ ）
A．｛1，2，3，4，5，6｝B．{2，3，4，5，6，7}
C．{2，4，6，8，10，12}D．{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}
2．（2022·高二课时练习）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）．
A．至少取到1个白球B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球D．取到的球的个数
3．（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）甲､乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得−1分）.若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X的所有可能取值之和是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2022春·江苏连云港·高二统考期中）同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为X1，X2，记X=minX1,X2，则P2≤X≤4=（ ）
A．512B．712C．13D．12
5．（2022春·广东深圳·高二校考期中）甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用ξ表示甲的得分，则ξ=3表示（ ）．
A．甲赢三场B．甲赢一场、输两场
C．甲、乙平局三次D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
6．（2023·全国·高二专题练习）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），从中任取4张，则随机变量可能为（ ）
A．所取牌数B．所取正牌和大王的总数
C．这副牌中正牌数D．取出的副牌的个数
7．（2022·高二课时练习）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比賽，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则X≤1表示______.
8．（2022·高二课时练习）将4把串在一起的钥匙逐一试开1把锁，其中只有1把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为______．
【考点2：求简单随机变量的分布列】
【知识点：求简单随机变量的分布列】
1．（2022·高二课时练习）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（ ）
A．AB．BC．CD．D
3．（2004·全国·高考真题）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为：___________．
4．（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，以X表示取出球的最大号码，则X的分布列为_____________
5．（2022秋·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）A，B两个乒乓代表队进行对抗赛，每组三名队员，A队队员为A1，A2，A3，B队队员为B1，B2，B3.按照以往比赛统计，对阵队员之间的胜负的概率如下：
现按表中对阵方式出场，每场获胜队伍得1分，负队的0分，设A队，B队最后所得总分分别为ε与η，求ε与η的概率分布
6．（2023·全国·高三专题练习）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按 1小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．
7．（2023·全国·高三专题练习）我校举办“学党史”知识测试活动，每位教师3次测试机会，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过12，且他直到第二次测试才合格的概率为932，乙教师3次测试每次测试合格的概率均为23，每位教师参加的每次测试是否合格相互独立．
(1)求甲教师第一次参加测试就合格的概率P；
(2)设甲教师参加测试的次数为m，乙教师参加测试的次数为n，求ξ=m+n的分布列．
8．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）某电视台“挑战主持人”的节目中，挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得5分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得10分，回答不正确得-5分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是34，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总得分不低于5分，就算他闯关成功．
(1)求至少回答对一个问题的概率；
(2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列；
(3)求这位挑战者闯关成功的概率．
9．（2022秋·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）某家电专卖店试销A,B,C三种新型电暖器，销售情况如下表所示：
(1)从前三周随机选一周，求该周C型电暖器销售量最高的概率；
(2)为跟踪调查电暖器的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第一周和第二周售出的电暖器中分别随机抽取一台，求抽取的两台电暖器中A型电暖器台数X的分布列和数学期望；
(3)直接写出一组a,b,c的值，使得表中每行数据的方差相等.
【考点3：随机变量分布列的性质】
【知识点：随机变量分布列的性质】
1．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量ξ的概率分布列如下表：
则Pξ－2=1=（ ）A．712B．12C．512D．16
2．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知等差数列an的公差为d，随机变量X满足P(X=i)=ai0