专题6.3 离散型随机变量的均值与方差（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc29117" 【基础知识梳理】 PAGEREF _Tc29117 \h 1
\l "_Tc1435" 【考点1：求离散型随机变量的均值】 PAGEREF _Tc1435 \h 1
\l "_Tc24788" 【考点2：均值的性质】 PAGEREF _Tc24788 \h 5
\l "_Tc22678" 【考点3：求离散型随机变量的方差】 PAGEREF _Tc22678 \h 7
\l "_Tc13261" 【考点4：方差的性质】 PAGEREF _Tc13261 \h 9
【基础知识梳理】
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
(1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
[方法技巧]
求离散型随机变量的均值与方差的步骤
(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)；
(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；
(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
(4)利用公式求均值或方差.
【考点1：求离散型随机变量的均值】
【知识点：求离散型随机变量的均值】
1．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比赛两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得−1分，若该局为平局，则两人各得2分．
(1)求甲、乙各赢一局的概率；
(2)记两局结束后甲的最后得分为X，求X的数学期望．
2．（2023·四川·校联考一模）甲袋中装有大小相同的红球2个，白球2个：乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球3个，白球4个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出3个小球．
(1)求从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率；
(2)记从乙袋中取出的3个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
3．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）用1、2、3、4个数字组成一个六位数，要求每个数字都至少用到一次.
(1)求所有满足条件的六位数的个数；
(2)记数字1用到的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
4．（2023·山东临沂·统考一模）为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间60,100，从中随机抽取1000名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)若此次活动中获奖的学生占参赛总人数30%，试估计获奖分数线；
(2)采用比例分配分层随机抽样的方法，从成绩不低于80的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，记成绩在90,100的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格，抛掷一个质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机在原地不动；若抛出的点数为3，4，飞机向前移一格；若抛出的点数为5，6，飞机向前移两格.记抛掷骰子一次后，飞机到达1号格为事件A.记抛掷骰子两次后，飞机到达2号格为事件B.
(1)求PB∣A；
(2)抛掷骰子2次后，记飞机所在格子的号为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
6．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答对的概率均为34，小陈同学每道题答对的概率均为23，每道题是否答对互不影响.
(1)求小陈同学有机会答题的概率；
(2)记X为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求X的分布列和数学期望.
【考点2：均值的性质】
【知识点：均值的性质】
1．（2022春·江苏常州·高二校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．离散型随机变量的均值是0,1上的一个数
B．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平
C．若离散型随机变量X的均值E(X)=2，则E(2X+1)=4
D．离散型随机变量X的均值E(X)=x1+x2+⋯+xnn
2．（2022春·黑龙江绥化·高二校考期末）设ξ的分布列如表所示，又设η=2ξ+5，则E(η)等于（ ）
A．76B．176C．173D．323
3．（2023·高三课时练习）已知X的分布列如下表所示，设Y=2X+3，则EY的值为_________．
4．（2023·全国·高二专题练习）国庆节期间某商场开展了一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：箱子内装有10张大小、形状、材质完全相同的卡片，其中写有“喜”“迎”“国”“庆”的卡片各两张，另两张是没有写汉字的空白卡片；顾客抽奖时，一次性抽取4张卡片，抽完后卡片放回，记抽出的四张卡片上的汉字的个数为n（若出现两个相同的汉字，则只算一个，如抽出“迎”“迎”“国”“庆”，则n=3），若n=4则中一等奖，n=3则中二等奖，n=2则中三等奖，n⩽1时没有奖励.商场规定：一等奖奖励20元购物券，二等奖奖励10元购物券，三等奖奖励5元购物券.
(1)求某位顾客中一等奖的概率；
(2)若某位顾客可以抽奖2次，记2次抽奖所获购物券的总金额为X，求X的数学期望.
5．（2023·全国·高三专题练习）某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下：
(1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率；
(2)生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下：
①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率；
②记X，Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较EX和EY的大小.（结论不要求证明）
【考点3：求离散型随机变量的方差】
【知识点：求离散型随机变量的方差】
1．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知p1，p2∈0,1，随机变量X，Y的分布列如下表所示：
下列说法中正确的是（ ）A．若p1<12且p2<12，则EX>EY
B．若p1EY
C．若p2DY
D．若p1<12DY
2．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）设X是一个离散型随机变量、其分布列为
若0C．EX无最小值D．DX无最小值
3．（2023·高二课时练习）已知随机变量ξ的取值为1、2、3，若Pξ=1与Pξ=3相等，且方差Dξ=13，则Pξ=2=______．
4．（2023秋·辽宁阜新·高二校考期末）若随机事件A在1次试验中发生的概率为p05．（2023·高二课时练习）已知ξ是一个离散型随机变量，其概率分布如下：−10121−2q 1q2，试求Eξ和Dξ．
6．（2022秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取5个，求恰好有2个水果是礼品果的概率（结果用分数表示）；
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，
方案1：不分类卖出，单价为21元/kg；
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及方差DX.
【考点4：方差的性质】
【知识点：方差的性质】
1．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）已知随机变量X满足EX=−4，DX=5，下列说法正确的是（ ）
A．E1−X=−5B．E1−X=5
C．D1−X=5D．D1−X=−5
2．（2023·全国·高三对口高考）随机变量X的分布列如表所示，若EX=13，则D(3X−2)=_________.
3．（2022·高二课时练习）对于随机变量X，它的数学期望EX和方差DX，下列所有正确的序号是______．
①EX是反映随机变量的平均取值； ②DX越小，说明X越集中于EX；
③EaX+b=aEX+b； ④DaX+b=a2DX+b．
4．（2022春·山西忻州·高二统考期末）随机变量X的分布列如下所示．
则DbX的最大值为（ ）A．29B．19C．227D．127
5．（2023·山西·统考一模）已知随机变量ξi的分布列如下：
其中i=1，2，若12D3ξ2+1
C．Eξ1>Eξ2，D3ξ1+1Eξ2，D3ξ1+1>D3ξ2+1
6．（2022·全国·高三专题练习）某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
7．（2023秋·北京房山·高三统考期末）为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；
(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中PK赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为ξ，来自小学组的人数为η，试判断Dξ与Dη的大小关系.（结论不要求证明）X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
ξ
1
2
3
4
P
16
16
13
13
X
－1
0
1
P
12
13
16
测试指标
60,68
68,76
76,84
84,92
92,100
元件甲
12
8
40
33
7
元件乙
17
8
40
28
7
X
−1
0
1
Y
−1
0
1
P
p12
12
1−p12
P
1−p22
12
p22
X
0
1
2
P
13
x
23−x
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价（元/kg)
16
18
22
24
X
－1
0
1
P
16
a
b
X
1
2
3
P
a
2b
a
ξi
0
1
2
P
1−pi2
2pi1−pi
pi2
奖项
组别
单人赛
PK赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
中学组
40
40
120
100
小学组
32
58
210
100