专题6.6 概率（基础巩固卷）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021·高二课时练习）已知4支钢笔的单价分别为10元、20元、30元、40元．从中任取2支，若以Y表示取到的钢笔的较高单价（单位：元），则Y的取值范围为（ ）
A．10,20,30,40,50,60,70,80B．10,20,30,40,50,60,70
C．10,20,30,40D．20,30,40
【答案】D
【分析】任取2支钢笔的单价（单位：元）的所有可能情况为10,20，10,30，10,40，20,30，20,40，30,40，即可得到答案；
【详解】10,20表示取出的2支钢笔为10元和20元，余类推，则任取2支钢笔的单价（单位：元）的所有可能情况为10,20，10,30，10,40，20,30，20,40，30,40，故取到的钢笔的较高单价为20元、30元、40元，即Y的取值范围为20,30,40．
故选：D
2．（2022·高二课时练习）某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
已知ξ的期望Eξ=8.9，则y的值为（ ）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】D
【解析】利用概率之和等于1，由分布列求出期望，列出方程组，解方程组即可.
【详解】由概率之和等于1得：x+y=0.6①，
Eξ=7x+8×0.1+9×0.3+10y=8.9，即7x+10y=5.4②，
由①②可得：x=0.2，y=0.4，
故选：D
【点睛】本题主要考查了概率的性质，考查了由分布列求数学期望，属于中档题.
3．（2023·全国·高二专题练习）设0则当a在0,1内增大时（ ）A．DX增大B．DX减小
C．DX先增大后减小D．DX先减小后增大
【答案】D
【分析】根据分布列中的数据，结合期望与方差的公式，求得D(X)=29(a−12)2+16，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，根据分布列，可得EX=1+a3，
则D(X)=(1+a3−0)2×13+(1+a3−a)2×13+(1+a3−1)2×13=29(a−12)2+16，
当a在(0,1)内增大时，可得DX先减小后增大.
故选：D.
4．（2022春·湖南·高二南县第一中学校联考期中）某皮划艇训练小组有7人，其中4人会划左浆，5人会划右浆．现选4人参加比赛，2人划左桨，2人划右浆，设选中的人中左右浆均会划的人数为X，则E(X)=（ ）
A．65B．75C．4831D．3831
【答案】D
【分析】由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此就可以求出E(X)
【详解】解析：由题意7人中既会划左浆又会划右浆的有2人，所以选4人参加比赛共有C22C52+C21C21C32+C21C22C31+C22C32=31种选法，当X=0时，有C22C32=3种，P(X=0)=331，当X=1时，有C21C21C32+C22C21C31=18种，P(X=1)=1831；当X=2时，有C22C32+C21C31+C22C22=10种，P(X=2)=1031，E(X)=1831+1031×2=3831．
故选：D
5．（2022春·广西北海·高二统考期末）在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N1,σ2σ>0，若P1<ξ<3=0.3，则Pξ>−1=（ ）
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.6
【答案】B
【分析】根据正态分布图像的对称性求解即可
【详解】由正态分布的图像和性质得Pξ>−1=P−1<ξ<1+0.5=P1<ξ<3+0.5=0.3+0.5=0.8.
故选：B
6．（2023·全国·高二专题练习）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和4个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，第一次取出的球是红球的概率（ ）
A．1019B．215C．4790D．12
【答案】C
【分析】根据取到甲、乙、丙袋分三种情况结合条件概率求解.
【详解】设第一次取到红球为事件A，取到甲、乙、丙袋为事件A1,A2,A3,
由条件概率公式可得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)
=25×13+46×13+48×13=4790,
故选:C.
7．（2021春·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A．13B．25C．23D．45
【答案】B
【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率.
【详解】由题意，甲获得冠军的概率为23×23+23×13×23+13×23×23=2027，
其中甲获得冠军且比赛进行了3局的概率为23×13×23+13×23×23=827，
∴所求概率为827÷2027=25.
故选：B.
8．（2021春·天津滨海新·高二天津经济技术开发区第一中学校考期中）甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为（ ）
A．0.0123B．0.0234C．0.0345D．0.0456
【答案】C
【分析】用独立事件和互斥事件概率公式即可求得.
【详解】所求概率为：0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.0345.
故选：C.
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022秋·河北邢台·高三校联考开学考试）随机事件A与B互相独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则（ ）
A．A发生的概率为0.6B．B发生且A不发生的概率为0.2
C．A或B发生的概率为0.9D．A与B同时发生的概率0.2
【答案】BD
【分析】根据相互独立事件概率的知识求得正确答案.
【详解】依题意A与B互相独立，
PB=0.4,PB=0.6，PAB=PA⋅PB=PA⋅0.6=0.3，
所以PA=0.5，A选项错误，PA=0.5，
所以PAB=PA⋅PB=0.5×0.4=0.2，B选项正确，
A或B发生的概率为1−PAB=1−PA⋅PB=1−0.5×0.6=0.7，C选项错误，
PAB=PA⋅PB=0.5×0.4=0.2，D选项正确.
故选：BD
10．（2021·湖南岳阳·统考模拟预测）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布Nμ1,σ12,Nμ2,σ22，其正态分布密度曲线（正态分布密度曲线是函数φμ,σ(x)=12πσe(x−μ)22σ2,x∈(−∞,∞)的图象）如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量为0.4kg
B．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分更集中于平均值左右
C．平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大
D．σ2=1.99
【答案】ABC
【分析】根据正态分布密度曲线可直接判断.
【详解】由题图可知，甲类水果的平均质量为μ1=0.4kg，故A正确；
由图可知，甲类水果的质量分布比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；
由图可看出平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大，故C正确；
乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足12πσ2=1.99，则σ2≠1.99，故D错误.
故选：ABC.
11．（2023秋·广西北海·高一统考期末）某工厂制造一种零件，甲机床的正品率是0.7，乙机床的正品率为0.8，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（ ）
A．两件都是次品的概率为0.06
B．事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件
C．恰有一件正品的概率为0.38
D．事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件
【答案】ACD
【分析】求得两件都是次品的概率判断选项A；判定出事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”的关系判断选项B；求得恰有一件正品的概率判断选项C；判定出事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品” 的关系判断选项D.
【详解】两件都是次品的概率(1−0.7)×(1−0.8)=0.3×0.2=0.06，A正确；
“至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品；
“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品；
故“至多有一件正品” “至少有一件正品”两个事件不是互斥事件，B错误；
恰有一件正品的概率0.7×(1−0.8)+(1−0.7)×0.8=0.14+0.24=0.38，C正确；
分别从甲乙机床制造的产品中任意抽取一件，
共有两件都是正品、一件正品和一件次品，两件都是次品三种情况；
“至少有一件正品”包含有两件都是正品、一件正品和一件次品两种情况，
则“至少有一件正品”“两件都是次品”是对立事件；D正确；
故选：ACD.
12．（2022春·全国·高二期末）甲、乙、丙三人参加某公司招聘面试，面试时每人回答3道题，3道题都答对则通过面试，已知甲、乙、两三人答对每道题的概率分别是23，35，12，假设甲、乙、丙三人面试是否通过相互没有影响，且每次答题相互独立，则（ ）
A．甲通过该公司招聘面试的概率是827
B．甲、乙都通过该公司招聘面试的概率是7125
C．甲、丙都通过该公司招聘面试的概率是127
D．在乙通过该公司招聘面试的条件下，恰有两人通过该公司招聘面试的概率是2572
【答案】ACD
【分析】根据相互独立的概率乘法公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，甲、乙、两三人通过招聘的概率分别P1=(23)3=827，P2=(35)3=27125，P3=(12)3=18，
所以甲通过该公司招聘面试的概率是827，所以A正确；
甲、乙都通过该公司招聘面试的概率为P1P2=827×27125=8125，所以B不正确；
甲、丙都通过该公司招聘面试的概率是P1P3=827×18=127，所以C正确；
在乙通过该公司招聘面试的条件下，恰有两人通过该公司招聘面试的概率是
827×1−18+1−827×18=2572，所以D正确.
故选：ACD.
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知随机变量X的分布列，则DX=_____________.
【答案】0.25
【分析】先计算出a，再计算期望和方差即可.
【详解】由题意知，0.5+a=1，则a=0.5，E(X)=0×0.5+1×a=a=0.5，
所以DX=0−0.52×0.5+1−0.52×0.5=0.25．
故答案为：0.25.
14．（2022·全国·高三专题练习）某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ近似服从正态分布N95,σ2，且P91<ξ≤95=0.3，若该校1800学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于99分的学生人数为___________.
【答案】360
【分析】由题意，成绩X近似服从正态分布N95,σ2，则正态分布曲线的对称轴为X=95，根据正态分布曲线的对称性，求得PX≥99=12×[1−2×P(91【详解】解：由题意，成绩X近似服从正态分布N95,σ2，则正态分布曲线的对称轴为X=95，
又由P(91<ξ≤95)=0.3，
根据正态分布曲线的对称性，可得PX≥99=12×[1−2×P(91所以该市某校有1800人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为1800×0.2=360人，
故答案为：360.
15．（2022秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考阶段练习）已知随机变量X~B6,p，Y~Nμ,σ2，且PY≥2=12，EX=EY，则p=______.
【答案】13
【分析】根据二项分布和正态分布的期望公式可得EX=6p=E(Y)=μ，再由PY≥2=12可得μ=2，求解即可.
【详解】由题意，X~B6,p，Y~Nμ,σ2，
∴EX=6p=E(Y)=μ，
又PY≥2=12，故μ=2，
即6p=2，
解得：p=13.
故答案为：13
16．（2022·高二课时练习）在一个袋子中装有10个球，其中1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，从中依次摸出2个球，则在摸出的第一个球为红球的条件下，摸出的第二个球为黄球或黑球的概率为______．
【答案】59
【分析】设“摸出的第一个球为红球”为事件A，“摸出的第二个球为黄球”为事件B，“摸出的第二个球为黑球”为事件C．解法一：利用条件概率及古典概型的概率公式计算可得；
解法二：先求出nA，nAB∪AC，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】解：设“摸出的第一个球为红球”为事件A，“摸出的第二个球为黄球”为事件B，“摸出的第二个球为黑球”为事件C．
解法一：PA=110，PAB=1×210×9=145，PAC=1×310×9=130．
∴PBA=PABPA=145110=1045=29，PCA=PACPA=130110=13．
∴PB∪CA=PBA+PCA=29+13=59．
∴所求的条件概率为59．
解法二：∵nA=1×C91=9，nAB∪AC=C21+C31=5，
∴PB∪CA=nAB∪ACnA=59．
∴所求的条件概率为59．
故答案为：59
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2021·高二课时练习）在某项体能测试中，跑1km时间不超过4min为优秀．某同学跑1km所用时间为X．
(1)X是不是随机变量？
(2)若只关心该同学能否取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？
【答案】(1)是连续型随机变量；
(2)具体见解析.
【分析】（1）根据随机变量的定义即可得到答案；
（2）记测试优秀为“1”，否则为“0”，进而定义随机变量Y只取0或1即可.
（1）由随机变量的定义可知，X是连续型随机变量.
（2）记测试优秀为“1”，否则为“0”，则定义随机变量Y=0,X>4,1,018．（2023秋·山东潍坊·高一临朐县第一中学校考期末）小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.
【答案】（1）0.398；（2）0.994.
【分析】结合独立事件的乘法公式即可.
【详解】解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件.
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.
（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
19．（2022春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期末）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选.
(1)求甲恰有2个题目答对的概率；
(2)求乙答对的题目数X的分布列及数学期望；
【答案】(1)216625
(2)分布列见解析，165
【分析】（1）根据二项分布的概率公式求解即可；
（2）易得乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，再根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而求得数学期望即可
(1)∵甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是35，答错的概率为1−35=25
∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率.
P=C42352252=216625.
(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，
PX=2=C22C82C104=28210=215，
PX=3=C21C83C104=112210=815，
PX=4=C84C104=70210=13，
X的分布列为：
EX=2×215+3×815+4×13=165
20．（2021秋·内蒙古阿拉善盟·高二阿拉善盟第一中学校考开学考试）甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是35，乙答对每道题目的概率都是12．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响．
（Ⅰ）求甲第二次答题通过面试的概率；
（Ⅱ）求乙最终通过面试的概率；
（Ⅲ）求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率．
【答案】（Ⅰ）625；（Ⅱ）78；（Ⅲ）124125.
【分析】（Ⅰ）甲第二次答题通过面试，则第一次面试未通过，利用分步用乘法即可计算出概率.
（Ⅱ）利用对立事件求出乙最终未通过面试的概率，再用1减去未通过面试的概率即得通过的概率.
（Ⅲ）利用对立事件求出甲、乙两人都未通过面试的概率，再用1减去甲、乙两人都未通过面试的概率即得甲、乙两人至少有一人通过面试的概率.
【详解】解：（Ⅰ）设甲第二次答题通过面试为事件A，则PA=1−35×35=625．
（Ⅱ）设乙最终通过面试为事件B，对立事件为乙最终没通过面试，
∵PB=1−121−121−12=18，
∴PB=1−18=78．
（Ⅲ）设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件C，对立事件为甲、乙两人都没有通过面试，
∵PC=1−351−351−35×18=1125，
∴PC=1−1125=124125．
21．（2021春·全国·高三专题练习）某卖馒头的商贩每天以3元/斤的价格购进面粉，将其全部做成馒头，然后以0.5元/个的价格出售馒头，每个馒头内含面粉0.1斤，如果当天卖不完，剩下的馒头以0.2元/个的价格卖给饲料场．根据以往的统计资料，得到该商贩一天的面粉需求量的频率分布直方图如图所示，若某天该商贩购进了80斤面粉，以x(单位：斤)(其中50≤x≤100)表示一天的面粉的需求量，T(单位：元)表示一天的利润．
（1）求该天该商贩的利润T关于需求量x的函数；
（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以区间的中间值作为该区间的需求量，以频率作为概率，求T的分布列和数学期望．
【答案】（1）T=3x−80，50≤x≤80，160，80【分析】（1）根据题中条件，得到1斤面粉可制作成10个馒头；讨论50≤x≤80，80（2）由（1）先确定T的可能取值，结合题中条件，分别求出对应的概率，即可得出分布列，再由期望的概念，直接计算，即可得出结果.
【详解】（1）由题意知1斤面粉可制作成10个馒头．
当50≤x≤80时，T=0.5×10x−3×80+0.280−x×10=3x−80；
当80故该天该商贩的利润T关于需求量x的函数为
T=3x−80，50≤x≤80，160，80（2）当x=55时，T=3×55−80=85；
当x=65时，T=3×65−80=115；
当x=75时，T=3×75−80=145；
当80所以T可能的取值为85，115，145，160，
则PT=85=0.015×10=0.15，
PT=115=0.02×10=0.2，
PT=145=0.03×10=0.3，
PT=160=0.015+0.02×10=0.35．
故T的分布列为
数学期望ET=85×0.15+115×0.2+145×0.3+160×0.35=135.25．
【点睛】思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
22．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为p0(1)若p=12，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望EX；
(2)若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为fp，求fp的最大值．
【答案】(1)分布列见解析；期望为3316
(2)81256
【分析】（1）根据题意可知随机变量X的可能取值为0、1、2、3，再分别计算每种情况对应的概率，再计算期望即可
（2）先根据题意求出f(p) 的表达式，然后利用导数判断其单调性即可求得最值
（1）
由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2、3，
则PX=0=123=18，PX=1=C31124=316，PX=2=C42125=316，
PX=3=123+C31124+C42125=12
随机变量X的分布列如下：
则EX=0×18+1×316+2×316+3×12=3316
（2）甲队只胜一场的概率为fp=C31p1−p3，
则f'p=C311−p3+3p1−p2−1=31−p21−4p．
故当00，fp递增；
当14则fpmax=f14=81256ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
X
0
a
1
P
13
13
13
X
0
1
P
0.5
a
X
2
3
4
P
215
815
13
T
85
115
145
160
P
0.15
0.2
0.3
0.35
X
0
1
2
3
P
18
316
316
12