专题7.3 独立性检验（3类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc9389" 【知识要点】 PAGEREF _Tc9389 \h 1
\l "_Tc9990" 【考点1：2×2列联表】 PAGEREF _Tc9990 \h 1
\l "_Tc822" 【考点2：卡方的计算】 PAGEREF _Tc822 \h 4
\l "_Tc24546" 【考点3：独立性检验解决实际问题】 PAGEREF _Tc24546 \h 7
【知识要点】
1．列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，可利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关系”．
[易错提醒]
(1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出K2的值．
(2)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对它们是否有关系的判断．
【考点1：2×2列联表】
【知识点：2×2列联表】
1．（2022春·山西太原·高二统考期中）在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）
A．散点图和残差图B．残差图和列联表
C．散点图和等高堆积条形图D．等高堆积条形图和列联表
2．（2022·全国·高二专题练习）假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为x1,x2和y1,y2，其2×2列联表为
则当整数m取______时，X与Y的关系最弱（ ）
A．8B．9C．14D．19
3．（2022春·广西河池·高二统考期末）假设有两个变量x与y的2×2列联表如下表：
对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．a=20，b=30，c=40，d=50B．a=50，b=30，c=30，d=40
C．a=30，b=60，c=20，d=50D．a=50，b=30，c=40，d=30
4．（2023·宁夏银川·校联考一模）考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：
根据以上数据，则（ ）
A．种子是否经过处理决定是否生病
B．种子是否经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理跟是否生病有关
D．以上都是错误的
5．（2022春·全国·高二期末）2022年3月，我国疫情发生频次明显增加．为了防止奥密克戎变异株的传播，各地方政府都采取了有效防治措施．社区志愿者小王参加了防止奥密克戎变异株传播的科普宣传活动，并随机调查了100名居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况，得到如下的2×2列联表：
给出下列4组数据：
①a=10，b=20，c=30，d=40 ；②a=20，b=40，c=10，d=30 ；
③a=10，b=40，c=30，d=20 ；④a=10，b=40，c=20，d=30 ．
则居民对防止奥密克戎变异株传播知识的了解情况与年龄有关系的可能性最大的是______．（填序号）
6．（2023春·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的45，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的35.若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则被调查的学生中男生可能有_________人.（请将所有可能的结果都填在横线上）
附表：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
7．（2022·全国·高二专题练习）某单位主管对50名员工进行了工作量的调查，了解男、女职工对工作量大小的看法是否存在差异，得到的数据如下：
请判断认为工作量的大小与性别是否有关．
【考点2：卡方的计算】
【知识点：卡方的计算】
1．（2023春·山西·高二统考期中）为了考察某种疫苗的预防效果，先选取某种动物进行实验，试验时得到如下统计数据：
现从实验动物中任取一只，若该动物“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（ ）
A．未注射疫苗发病的动物数为30只
B．从该实验注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为15
C．在犯错概率不超过0.05的前提下，认为未发病与注射疫苗有关
D．注射疫苗可使实验动物的发病率下降约10%
2．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）某研究机构为了探究吸烟与肺气肿是否有关，调查了200人.统计过程中发现随机从这200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为0.1.在制定2×2列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如图所示的2×2列联表，下列结论正确的是（ ）
参考公式与临界值表：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
A．不吸烟患肺气肿的人数为5人B．200人中患肺气肿的人数为10人
C．χ2的观测值k=11.42D．按99.9%的可靠性要求，可以认为“吸烟与肺气肿有关系”
3．（2023春·陕西西安·高二校考阶段练习）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到如下2×2列联表：
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ）
A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
4．（2023·全国·高三专题练习）为庆祝党的二十大的胜利召开，某高校党委从所有的学生党员中随机抽取100名，举行“二十大”相关知识的竞赛活动，根据竞赛成绩，得到如下2×2列联表.则下列说法正确的是（ ）
参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
A．有99.5%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”
B．有99.5%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“竞赛成绩是否优秀与性别无关”
D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”
【考点3：独立性检验解决实际问题】
【知识点：独立性检验解决实际问题】
1．（2023秋·四川乐山·高三校考阶段练习）为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的32%，学校为了考察学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下2×2列联表：
(1)请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；
(2)从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求所选2名学生都“适应寄宿生活”的概率．．
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
2．（江西省宜春市2023届高三第二轮验收考试数学（文）试题）为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果A和其它作物，并根据市场需求确定有机水果A的种植面积.农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会员中随机抽取了南方､北方会员共200人，调查数据如下.
(1)视频率为概率，分别估计南方､北方会员中喜欢有机水果A的概率；
(2)（i）判断是否有97.5%的把握认为是否喜欢有机水果A与会员的区域有关？
（ii）已知农场CSA会员有2000人，其中南方会员有1200人，若喜欢有机水果A的人不低于1100人，则可种植50亩左右的有机水果A，否则只能种植30亩左右，试问该农场应怎样安排有机水果A的种植面积.
附：K2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.
3．（2023春·河南郑州·高三校考阶段练习）某小区的住房结构有A和B两种户型，从中各随机抽取40户，调查他们的月平均电费，所得数据如下：
(1)分别估计该小区A户型和B户型居民的月平均电费低于200元的概率；
(2)根据列联表，能否有99%的把握认为该小区居民的月平均电费与所居住的户型有关？
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
4．（2023·宁夏吴忠·统考模拟预测）某企业为了扩大产能规模并提高生产效率，对生产设备进行升级换代，为了对比生产设备升级后的效果，采集了生产设备升级前后各20次连续正常运行的时间（单位：天），得到以下数据：
升级前：21，32，25，24，33，19，28，26，39，36，22，18，28，26，31，17，24，21，22，26；
升级后：33，28，40，23，27，38，41，35，44，39，33，25，40，35，41，27，38，33，46，34.
(1)完成下面列联表；
(2)是否有99%的把握说明生产设备升级与设备连续正常运行的时间有关？
参考公式：χ2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
5．（2023春·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．2021年4月7日，“学习强国”上线“强国医生”功能，提供智能导诊、疾病自查、疾病百科、健康宣传等多种医疗健康服务，传播普及健康常识、卫生知识，助力健康生活．
(1)为了解“强国医生”的使用次数多少与性别之间的关系，某调查机构调研了200名“强国医生”的使用者得
根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关；
(2)该机构统计了“强国医生”上线7天内每天使用该服务的女性人数，“强国医生”上线的第x天，每天使用“强国医生”的女性人数为y，得到以下数据：
通过观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y=a⋅bx的周围，求y关于x的回归方程，并预测“强国医生”上线第12天使用该服务的女性人数．
附:随机变量χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．
其中zi=lgyi．
参考公式：对于一组数据x1,y1,x2,y2,⋯,xn,yn，其回归直线y=c+dx的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为d=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，c=y−dx．
6．（江西省名校协作体2023届高三二轮复习联考（二）（期中）数学（文）试题）旅游承载着人们对美好生活的向往.随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代.某旅游景区为吸引旅客，提供了A、B两条路线方案.该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对300名的旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表：
(1)填补上面的统计表中的空缺数据，并讨论能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为对A、B两条路线的选择与性别有关系?
(2)为提高服务质量，A路线管理部门从对A路线评价为“一般”的50人中按照分层抽样的方法抽取5人听取整改建议，并从抽取的5人中随机抽取2人给予奖励，求被奖励的人恰为一男一女的概率.
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
7．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）卡塔尔世界杯期间，为了解某地观众对世界杯的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，将卡塔尔世界杯期间累计收看比赛超过20场的观众称为“体育迷”，不超过20场的观众称为“非体育迷”，下面是根据调查结果绘制的列联表：
(1)根据已知条件，你是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？
(2)在“体育迷”当中，按照男､女比例抽取5人，再从5人当中随机抽取3人进行访谈，求至少抽到2名男性的概率．
附：K2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d．
8．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．
(1)现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：
是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？
(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能他从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率；
(3)元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为p0参考公式：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
y1
y2
x1
a
b
x2
c
d
项目
种子处理
种子未处理
总计
得病
32
101
133
不得病
192
213
405
总计
224
314
538
了解
不了解
总计
年龄不小于60岁
a
b
a＋b
年龄小于60岁
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
α
0.050
0.010
xα
3.841
6.635
性别
工作量
合计
认为工作量大Y=1
认为工作量小Y=0
男X=1
18
9
27
女X=0
8
15
23
合计
26
24
50
未发病
发病
总计
未注射疫苗
注射疫苗
40
总计
70
100
患肺气肿
不患肺气肿
合计
吸烟
15
不吸烟
120
合计
200
α
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
A
B
总计
认可
13
5
18
不认可
7
15
22
总计
20
20
40
P（K2≥k）
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
优秀
非优秀
合计
男
20
30
50
女
35
15
50
合计
55
45
100
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
不适应寄宿生活
适应寄宿生活
合计
男生
女生
合计
喜欢有机水果A
不喜欢有机水果A
南方会员
80
40
北方会员
40
40
PK2≥k0
0.05
0.025
0.005
k0
3.841
5.024
7.879
月平均电费
低于200元
不低于200元
A户型
32
8
B户型
18
22
PK2≥k0
0.100
0.050
0.010
k0
2.706
3.841
6.635
生产设备连续正常运行超过30天
生产设备连续正常运行不超过30天
合计
生产设备升级前
生产设备升级后
合计
Pχ2≥x0
0.10
0.05
0.010
0.005
x0
2.706
3.841
6.635
7.879
男
女
总计
使用次数多
40
使用次数少
30
总计
90
200
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
100
195
Px2≥k0
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
y
z
i=17xizi
i=17xiyi
100.6
61.9
1.6
51.8
2522
3.98
A路线
B路线
合计
好
一般
好
一般
男
20
55
120
女
90
40
180
合计
50
75
300
PK2≥k0
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
非体育迷
体育迷
合计
男
40
60
100
女
60
40
100
合计
100
100
200
PK2≥k
0.05
0.01
k
3.841
6.635
选择甲公司直播间购物
选择乙公司直播间购物
合计
用户年龄段19—24岁
40
50
用户年龄段25—34岁
30
合计
pχ2≥k
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828