2023-2024学年甘肃省兰州重点中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省兰州重点中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024的相反数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 斐波那契螺旋线B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图D. 科克曲线
3.从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米.其中9000000000用科学记数法表示为( )
A. 9×108B. 9×109C. 9×1010D. 9×1011
4.若∠A=42°，则∠A的补角的度数为( )
A. 48°B. 58°C. 138°D. 148°
5.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a4=a8B. a4−a3=aC. (a2)3=a6D. a6÷a3=a2
6.一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD=( )
A. 3.5cmB. 3cmC. 4.5cmD. 6cm
7.方程2x=3x+1的解为( )
A. x=1B. x=−1C. x=2D. x=−2
8.我们知道压强P，是指物体单位面积S上受到的压力F，即P=FS.如果50N的压力F作用于物体上，产生的压强P要大于500Pa，则下列关于物体受力面积S(m2)的说法正确的是( )
A. S小于0.1m2B. S大于0.1m2C. S小于102D. S大于10m2
9.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的13名运动员的成绩如表所示．
这些运动员成绩的众数和中位数分别为( )
A. 1.70米，1.65米B. 1.65米，1.70米C. 1.75米，1.65米D. 1.70米，1.70米
10.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是( )
A. 8x+3=y7x−4=y
B. 8x−3=y7x+4=y
C. 8x+3=y7x+4=y
D. 8x−3=y7x−4=y
11.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( )
A. y=(x+3)2+2B. y=(x−1)2+2C. y=(x−1)2+4D. y=(x+3)2+4
12.如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C=40°.则∠AOB的度数是( )
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.因式分解：2x2−8=____________．
14.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD=2：3，则△ABC与△DEF的周长比是______．
15.关于x的一元二次方程x2−5x+m=0有两个相等的实数根，则m=______．
16.一个仅装有球的不透明布袋里只有8个红球和n个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为0.4，则n= ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.化简：(a+1a−1+1)÷2aa2−1．
四、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
计算：( 5+ 2)( 5− 2)−( 3− 2)2
19.(本小题4分)
解一元一次不等式组2x+1>x①x<−3x+8②．
20.(本小题6分)
如图，已知直线y=x+b与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(2,3)，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点C．
(1)求直线AB和反比例函数图象的表达式；
(2)求△ABC的面积．
21.(本小题6分)
先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图：
已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1．
求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．
小明的做法如下：
22.(本小题6分)
小星手中有一把残缺的刻度尺，他想知道其宽度OA，但手中只有一把刻度模糊的45°直角三角板，无法直接测量，于是他将直角三角板锐角顶点与尺下沿的端点A重合，斜边与尺下沿DA重合，如图①，一直角边与尺上沿的交点B在尺上的读数即为直尺的宽．
【实践探究】小红受到小星的启发，将39°的∠DAB按小星的方式放置在一把残缺的刻度尺上，如图②，AB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为3厘米，求该刻度尺的宽度OA的长；
【问题解决】小红继续按相同的方式将24°的∠DAC放置在刻度尺上，求OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为多少厘米.(结果精确到0.1厘米)
(参考数据sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.81，sin24°≈0.41，cs24°≈0.91，tan24°≈0.45)
23.(本小题6分)
阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个图1所示的喷水池，水池中心O处立着一个高为2m的实心石柱OA，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合.为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到最大高度，且离池面的高度为2.25m．
【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流．
【任务解决】
(1)小张同学设计的水池半径为2m，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求．
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？
24.(本小题6分)
青少年健康问题越来越引起社会的广泛关注，某学校九年级的学生有600人，该校为了解学生的健康状况，对九年级的学生进行了一次心理健康和体质健康的测试，调查小组从九年级学生的测试成绩中抽取了40人的测试成绩进行了整理描述和分析，下面给出了部分信息：
a.40名学生的心理健康测试成绩的频数分布直方图如图①：
b.40名学生的心理健康测试成绩在70≤x≤80分这一组的是：
71 72 73 73 74 75 75 78 79 79
c.40名学生的心理健康测试成绩和体质健康测试成绩情况统计图如图②；
d.甲同学的心理测试成绩是74分．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲同学心理测试成绩在抽取的样本中排名第______；
(2)某位同学的体质测试成绩排名最高，那他的心理健康测试成绩为______分；
(3)下列推断合理的是______．
①乙同学更需要加强心理方面的素质；
②丙同学相较于乙同学测试成绩总的排名更高．
25.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF=BE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠DAB，CF=3，DF=5，求四边形BFDE的面积．
26.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD=AC．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠A=60°，AC=2 3，求BD的长．
27.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，点D为AB的中点，射线CB上有动点E，F，连接DE，DF，使得∠EDF=∠A．
小军根据学习函数的经验，对线段CE，BF，DE长度之间的关系进行了探讨，下面是小军的探究过程，请补充完整．
(1)列表：如表的已知数据是根据取点、画图、测量得到：
在线段CE，BF，DE的长度这三个量中，确定______的长度是自变量x，另外两条线段的长度都是这个自变量的函数y；
(2)描点、连线：在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的两个函数图象；
(3)解决问题：当BF−CE=1时，CE的长度大约是______cm.(保留两位小数)
28.(本小题9分)
综合与实践：
【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2024的相反数是−2024，
故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
3.【答案】B
【解析】解：9000000000=9×109．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠A=42°，
∴∠A的补角=180°−∠A
=180°−42°
=138°，
故选：C．
根据补角的定义进行计算，即可解答．
本题考查了余角和补角，熟练掌握补角的定义是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a4=a6，故此选项不符合题意；
B、a4与a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、(a2)3=a6，故此选项符合题意；
D、a6÷a3=a3，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由图可得，
∠ACB=90°，AB=7−1=6，点D为线段AB的中点，
∴CD=12AB=3，
故选：B．
根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】C
【解析】解：分式方程去分母得：2x+2=3x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故选：C．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
8.【答案】A
【解析】解：∵P=FS，F=50，
∴p=50S，
∵产生的压强P要大于500Pa，
∴50S>500，
∴S<0.1，
故选：A．
根据已知条件利用压强公式推导即可得到答案．
本题考查了反比例的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：1.70出现了5次，出现的次数最多，则众数是1.70；
把这些数从小到大排列，最中间的数是第7个数，则中位数是1.70．
故选：D．
根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
10.【答案】B
【解析】解：设人数为x人，物价为y钱，
依题意得：8x−3=y7x+4=y．
故选：B．
设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y=(x+1−2)2+3−1，即y=(x−1)2+2．
故选：B．
直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
本题主要考查二次函数的几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵∠C=12∠AOB，∠C=40°，
∴∠AOB=80°．
故选：D．
由圆周角定理即可得到答案．
本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理．
13.【答案】2(x+2)(x−2)
【解析】【分析】
本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．
观察原式，找到公因式2，提出后再对括号内运用平方差公式分解即可得出答案．
【解答】
解：2x2−8
=2(x2−4)
=2(x+2)(x−2)．
故答案为2(x+2)(x−2)．
14.【答案】2：5
【解析】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．
∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，
∵OA：AD=2：3，
∴OA：OD=2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．
故答案为：2：5．
先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，再利用比例性质得到OA：OD=2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换．位似变换的两个图形相似．相似比等于位似比．
15.【答案】254
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−5x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=52−4×1×m=25−4m=0，
解得：m=254．
故答案为：254．
直接利用当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，进而得出答案．
此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
16.【答案】12
【解析】解：根据题意，88+n=0.4，
解得n=12，
经检验n=12是方程的解．
∴n=12．
故答案为：12．
根据红球的概率公式，列出方程求解即可．
本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：(a+1a−1+1)÷2aa2−1
=a+1+a−1a−1·a2−12a
=2aa−1⋅(a+1)(a−1)2a
=a+1．
【解析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
首先将括号内的加法通分化为同分母分式的加法，再根据同分母分式的加法法则计算，然后将括号外的除法变形为乘法，最后根据分式的乘法法则计算即可．
18.【答案】解：原式=5−2−5+2 6=2 6−2．
【解析】用平方差公式和完全平方公式计算．
在二次根式的混合运算中，要掌握好运算顺序及各运算律．
19.【答案】解：解不等式①，得x>−1，
解不等式②，得x<2，
所以原不等式组的解集是−1【解析】先解每一个不等式，再求它们的公共部分．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式是解题的关键，
20.【答案】解：(1)∵直线y=x+b与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(2,3)，
∴3=2+b，3=k2，
∴b=1，k=6，
∴直线AB为y=x+1，反比例函数为y=6x；
(2)令x=0，则y=x+1=1，
∴B(0,1)，
把y=1代入y=6x，解得x=6，
∴C(6,1)，
∴BC=6，
∴△ABC的面积S=12×6×(3−1)=6．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)通过直线解析式求得B点的坐标，由反比例函数的解析式求得C点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得△ABC的面积．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
21.【答案】(2)如图3，
(3)CF=BD；DF=BC；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；
【解析】【分析】
利用几何语言画出对应的几何图形，然后根据平行四边形的判定方法可证明四边形DBCF是平行四边形．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．
【解答】
(2)见答案；
(3)证明：如图3，
∵CF=BD，DF=BC，
∴四边形DBCF是平行四边形．(两组对边分别相等的四边形为平行四边形)．
故答案为：CF=BD，DF=BC；两组对边分别相等的四边形为平行四边形．
22.【答案】解：【实践探究】∵OB//AD，
∴∠ABO=∠DAB=39°，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=3厘米，
tan∠ABO=AOOB，
∴AO=3×0.81=2.43(厘米)，
即该刻度尺的宽度OA约为2.43厘米．
【问题解决】】∵OB//AD，
∴∠ACO=∠DAC=24°，
在Rt△AOC中，∠AOB=90°，OA=2.43厘米，
tan∠ACO=OAOC，
∴OC=≈5.4(厘米)，
即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为5.4厘米．
【解析】【实践探究】在Rt△ABO中，先根据刻度尺上沿和下沿互相平行求出∠ABO的度数，然后根据∠ABO的正切列出关系式即可求出OA的长；
【问题解决】在Rt△ACO中，根据刻度尺上沿和下沿互相平行求出∠ACO的度数，然后根据∠ACO的正切列出关系式求出OC的长，就是C在尺上的读数为多少厘米．(；
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握平行线的性质和正切函数的用法是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)符合要求，理由如下：
由题意可得，顶点为(0.5,2.25)，
∴设解析式为y=a(x−0.5)2+2.25，
∵函数过点(0,2)，
∴代入解析式得，a(0−0.5)2+2.25=2，
解得a=−1，
∴解析式为：y=−(x−0.5)2+2.25，
令y=0，则−(x−0.5)2+2.25=0，
解得x=2或x=−1(舍去)，
∴花坛的半径至少为2m；
(2)令y=1.25，则−(x−0.5)2+2.25=1.25，
解得x=1.5或x=−0.5(舍)，
∴为了不影响水流，小水池的半径不能超过1.5米．
【解析】(1)知道顶点，列二次函数顶点式得出抛物线的解析式，令y=0，则可以求水池的半径；
(2)令y=1.25，求出x的值，进而可得出结论．
本题主要考查二次函数在生活中的实际应用，在求解函数解析式时，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
24.【答案】12名 98 ①②
【解析】解：(1)甲同学心理测试成绩在抽取的样本中排名第7+5=12(名)；
故答案为：12名；
(2)某位同学的体质测试成绩排名最高，由图②可知，他的心理健康测试成绩为98分；
故答案为：98；
(3)由图②可知：①乙同学更需要加强心理方面的素质；②丙同学相较于乙同学测试成绩总的排名更高．
故答案为：①②．
(1)利用a，b中的信息，可得结论；
(2)利用图②判断即可；
(3)利用图②判断即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力等知识．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
25.【答案】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴DF/​/EB，
又∵DF=EB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
(2)解：∵DE⊥AB，
∵AF平分∠DAB，DC/​/AB，
∴∠DAF=∠FAB，∠DFA=∠FAB，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=FD=5，
∵AB=CD，DF=BE，
∴AE=CF=3，
∴DE= AD2−AE2=4，
∴矩形BFDE的面积是：DF⋅DE=5×4=20，
即矩形BFDE的面积是20．
【解析】(1)根据平行四边形的性质可以得到DF/​/EB，再根据DF=EB，可以得到四边形BFDE是平行四边形，然后根据DE⊥AB，即可证明结论成立；
(2)根据勾股定理可以得到AD的长，再根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到∠DAF=∠DFA，从而可以得到AD=FD，然后即可得到DF的值，最后根据矩形的面积=DF⋅DE计算即可．
本题考查矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26.【答案】(1)证明：连接OD．

∵AC=CD，
∴∠A=∠ADC．
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO．
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∴∠ADC+∠BDO=90°．
∴∠ODC=180°−(∠ADC+∠BDO)=90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵AC=CD=2 3，∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD=60°．
∴∠DCO=∠ACB−∠ACD=30°．
在Rt△OCD中，OD=CDtan∠DCO=2 3⋅tan30°=2．
∵∠B=90°−∠A=30°，OB=OD，
∴∠ODB=∠B=30°．
∴∠BOD=180°−(∠B+∠BDO)=120°．
∴BD的长=120π×2180=43π．
【解析】(1)连接OD.由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A=∠ADC，∠B=∠BDO.再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC=180°−(∠ADC+∠BDO)=90°.最后由切线的判定定理可得结论；
(2)根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO=∠ACB−∠ACD=30°.再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
27.【答案】CE 0.65或2.56
【解析】解：(1)由题意并结合表格中的数据可以看出，DE和BF随着CE的变化而变化，所以CE的长度就是自变量x．
故答案为：CE．
(2)根据表格描点画图，
(3)令CE的横坐标变为纵坐标，即y=x，
∴BF−CE=1时，
由题意得CE=0.65cm或CE=2.56cm，
故答案为：0.65或2.56．
(1)结合图象并观察表格，因变量随着自变量的变化而变化，从而确定自变量；
(2)根据表格中的数据描点连线即可得到函数图象；
(3)通过观察图象和表格，找到符合条件的CE的范围，再保留两位小数．
本题主要考查描点法作图，三角形中的动点变化关系，关键是需要结合图形题意完成题目．
28.【答案】解：(1)四边形ABCD是正方形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵GD⊥DF，
∴∠FDG=90°，
∴∠ADG=∠CDF，
又∵AG=CF，∠G=∠DFC=90°，
∴△ADG≌△CDF(AAS)，
∴AD=CD，
∴矩形ABCD是正方形；
(2)HF=AH+CF，
理由：∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，
∴四边形HFDG是矩形，
∴∠G=∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADG=∠CDF，
∴△ADG≌△CDF(AAS)，
∴AG=CF，DG=DF，
∴矩形HFDG是正方形，
∴HG=HF=AH+AG=AH+CF；
(3)连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，
∵AH⊥CE，AH=HM，
∴△AHM是等腰直角三角形，
∴∠HAM=45°，
∴∠HAB=∠MAC，
∵AHAM=ABAC= 22，
∴△AHB∽△AMC，
∴BHCM=AHAM= 22，
即BH= 22CM．
【解析】【分析】
(1)根据矩形的性质得到∠ADC=90°，得到∠ADG=∠CDF，根据全等三角形的判定和性质得到AD=CD，于是得到四边形ABCD是正方形；
(2)根据矩形的判定定理得到四边形HFDG是矩形，求得∠G=∠DFC=90°，根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC=90°，求得∠ADG=∠CDF，根据全等三角形的判定和性质得到AG=CF，DG=DF，根据正方形的判定定理得到矩形HFDG是正方形，于是得到HG=HF=AH+AG=AH+CF；
(3)连接AC，根据正方形的性质得到∠BAC=45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠HAM=45°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．成绩/米
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
人数
1
2
3
5
2
(1)设计方案
先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法．
(2)设计作图步骤，完成作图．
作法：如图3，
①以点C为圆心、BD为半径画弧；
②再以点D为圆心、BC为半径画弧，两弧交于点F；
③连接DF与CF．
∴四边形DBCF即为所求．
请在图3中完成尺规作图，保留作图痕迹
(3)推理论证
证明：∵ ，
∴四边形DBCF是平行四边形.( )(填推理依据)
CE/cm
0
0.51
0.81
1
1.40
1.74
2
2.22
2.41
2.71
BF/cm
2
1.78
1.61
1.47
1.09
0.59
0
0.76
1.78
5.35
DE/cm
2.50
2.11
1.91
1.80
1.62
1.52
1.50
1.52
1.55
1.66