2023-2024学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.把抛物线y=2x2向左平移1个单位后得到的新抛物线的表达式是( )
A. y=2x2−1B. y=2x2+1C. y=2(x−1)2D. y=2(x+1)2
2.已知点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，联结CE和BD相交于点F，如果AE：ED=1：2，那么DF：FB为( )
A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 2：5
3.在直角坐标平面的第一象限内有一点A(a,b)，如果射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么下列各式正确的是( )
A. b=a⋅tanαB. b=a⋅ctαC. b=a⋅sinαD. b=a⋅csα
4.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列判断中不正确的是( )
A. a<0
B. b<0
C. c>0
D. a+b+c<0
5.将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是( )
A. 2：1B. 2：1C. 3：1D. 3：1
6.如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从△ABC的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与△ABC相似的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.如果a5=b3(b≠0)，那么a−bb= ______ ．
8.化简：2(−a+3b)−6b= ______ ．
9.已知两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的周长比为______ ．
10.点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)，AB=2，那么线段AP的长是______ ．
11.抛物线y=23x2−3的顶点坐标是______ ．
12.如果点A(2,a)、B(3,b)在二次函数y=x2−3x的图象上，那么a ______ b(填“>”“<”或“=”)．
13.如果α是直角三角形的一个锐角，sinα=45，那么tanα= ______ ．
14.如图，已知D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，DE/​/BC，EF/​/AB，△ADE、△EFC的面积分别为1、4，四边形BFED的面积为______ ．
15.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是4米，斜坡的坡度i=1：2，那么相邻两树间的坡面距离为______ 米.
16.如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东60°的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东45°方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处______ 海里．
17.把矩形ABCD绕点C按顺时针旋转90°得到矩形A′B′CD′，其中点A的对应点A′在BD的延长线上，如果AB=1，那么BC= ______ ．
18.在△ABC中，AC=6，P是AB边上的一点，Q为AC边上一点，直线PQ把△ABC分成面积相等的两部分，且△APQ和△ABC相似，如果这样的直线PQ有两条，那么边AB长度的取值范围是______ ．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：sin245°−1tan45∘+ct60°⋅cs30°．
20.(本小题10分)
某学校有一喷水池，如果以喷水口(点A)所在的铅垂线为y轴，相应的地面水平线为x轴，1米为单位长度建立直角坐标系xOy，喷出的抛物线形水柱在最高处(点P)距离y轴1米，水柱落地处(点B)距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度．
21.(本小题10分)
已知：如图，AM是△ABC的中线，点G是重心，点D、E分别在边AB和BC上，四边形BEGD是平行四边形．
(1)求证DE/​/AC；
(2)设BA=a，BC=b，用向量a，b表示DE= ______ ．
22.(本小题10分)
随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为4米，与墙面AD的夹角∠BAD=75.5°，靠墙端A离地高AD为3米，当太阳光线BC与地面DE的夹角为45°时，求阴影CD的长.(结果精确到0.1米；参考数据：sin75.5°≈0.97，cs75.5°≈0.25，tan75.5°≈3.87)
23.(本小题12分)
已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAC=∠BDC．
(1)求证：△AOD∽△BOC；
(2)过点A作AE/​/CD，AE交BD与点E，求证：AB⋅AD=AE⋅BC．
24.(本小题12分)
已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−1,0)、B(3,0)、C(0,−3)．
(1)求抛物线的表达式和顶点P的坐标；
(2)点D在抛物线对称轴上，∠PAD=90°，求点D的坐标；
(3)抛物线的对称轴和x轴相交于点M，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点Q，QB=QM，QO的延长线交原抛物线为E，QO=OE，求新抛物线的表达式．
25.(本小题14分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAD=∠ABC，DC⊥AC，AD与边BC相交于点P．
(1)求证：AB2=12AD⋅BC；
(2)如果sin∠ABC=45，求BP：PC的值；
(3)如果△BCD是直角三角形，求∠ABC的正切值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y=2x2向左平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=2(x+1)2，
故选：D．
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
2.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/CB，AD=CB，
∵AE：ED=1：2，
∴EDCB=EDAD=23，
∵ED//CB，
∴△DFE∽△BFC，
∴DFFB=EDCB=23，
故选：C．
由平行四边形的性质得AD/​/CB，AD=CB，由AE：ED=1：2，得EDCB=EDAD=23，再证明△DFE∽△BFC，得DFFB=EDCB=23，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△DFE∽△BFC是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：过A作AB⊥x轴于B，则∠ABO=90°，
∵A的坐标是(a,b)，
∴AB=b，OB=a，
∴sinα=ABOA=bOA，csα=OBOA=aOA，tanα=ABOB=ba，ctα=OBAB=ab，
∴b=OA⋅sinα，b=a⋅tanα，b=actα，
故选：A．
过A作AB⊥x轴于B，由点A的坐标求出AB和OB的长，再由锐角三角函数的定义，即可得到答案．
本题考查坐标与图形性质，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：由所给图形可知，
a<0，b<0，c>0，
当x=1时，函数值大于零，
则a+b+c>0．
故选：D．
根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合x=1时，函数值的正负即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：设原来矩形较长边为a，较短边为b，
由题意得：12ab=ba，
则a2b2=2，
∴a：b= 2：1，
故选：B．
根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，计算即可．
本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图，
根据勾股定理得，AD= 12+12= 2，AC= 32+12= 10，BC= 12+12= 2，BE= 22+12= 5，CF= 22+12= 5，
又∵AB=2，CD=2，BF=1，
∴ADCB=1，CDAB=1，ACAC=1，ABBC=2 2= 2，ACBE= 10 5= 2，BCCE= 21= 2，BCBF= 2，ABBC=2 2= 2，ACCF= 10 5= 2，
∴ADCB=CDAB=ACAC，ABBC=ACBE=BCCE，BCBF=ABBC=ACCF，
∴△ABC∽△CDA，△ABC∽△BCE，△ABC∽△CBF，
故选：C．
根据“三边对应成比例的两个三角形相似”求解即可．
此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】23
【解析】解：设a5=b3=k，
∴a=5k，b=3k，
∴a−bb=5k−3k3k=23，
故答案为：23．
利用设k法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
8.【答案】−2a
【解析】解：2(−a+3b)−6b
=−2a+6b−6b
=−2a．
故答案为：−2a．
根据平面向量的运算法则计算即可．
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解答本题的关键．
9.【答案】2：3
【解析】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的周长比等于相似比，即：2：3．
故答案为：2：3．
直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案．
本题考查对相似三角形性质的理解．(1)相似三角形周长的比等于相似比．(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
10.【答案】 5−1
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)，AB=2，
∴AP= 5−12AB= 5−12×2= 5−1，
故答案为： 5−1．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
11.【答案】(0,−3)
【解析】解：抛物线y=23x2−3的顶点坐标是(0,−3)．
故答案为：(0,−3)．
由抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可．
此题考查了二次函数的性质，根据顶点式写出顶点坐标是解题的关键．
12.【答案】<
【解析】解：∵点A(2,a)、B(3,b)在二次函数y=x2−3x的图象上，
∴a=x2−3x=22−3×2=−2；b=x2−3x=32−3×3=0；
∴a故答案为：<．
分别计算自变量为2、3对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式是关键．
13.【答案】43
【解析】解：根据题意，a是锐角，且sinα=45，
则csα= 1−(45)2=35，
则tana=4535=43．
故答案为：43．
根据题意，由sinα=45易得csα的值，进而由同角三角函数的关系，求解可得答案．
本题考查同角三角函数的关系，记忆时，须结合三角函数的定义．
14.【答案】4
【解析】解：∵DE/​/BC，EF/​/AB，
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B，∠EFC=∠B，
∴∠ADE=∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∴S△ADES△EFC=(AEEC)2，
∵S△ADE=1，S△EFC=4，
∴AE：EC=1：2，
∵AC=AE+EC，
∴AE：AC=1：3，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(AEAC)2=19，
∴S△ABC=9，
∴四边形BFED的面积=S△ABC−S△ADE−S△EFC=9−1−4=4，
故答案为：4．
根据平行线的性质推出∠AED=∠C，∠ADE=∠EFC，即可判定△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质得出AE：EC=1：2，进而得出AE：AC=1：3，根据相似三角形的判定与性质求出S△ABC=9，再根据四边形BFED的面积=S△ABC−S△ADE−S△EFC求解即可．
辞退考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】2 5
【解析】解：∵株距是4米，斜坡的坡度i=1：2，
∴铅直高度是2米，
由勾股定理得：相邻两树间的坡面距离为： 22+42=2 5(米)，
故答案为：2 5．
根据坡度的概念求出铅直高度，再根据勾股定理求出相邻两树间的坡面距离．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
16.【答案】(4 3+4)
【解析】解：由题意可知：在Rt△ADB中，∠BAD=30°，AB=8海里，
则BD=12AB=4海里，AD=AB⋅cs∠BAD=4 3海里，
在Rt△BDC中，∠DBC=45°，
则DC=BD=4海里，
∴AC=AD+DC=(4 3+4)海里，
故答案为：(4 3+4)．
根据含30°角的直角三角形的性质求出BD，根据余弦的定义求出AD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，进而求出AC．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
17.【答案】1+ 52
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=1，
∴CD=AB=1，∠ABC=∠BCD=90°，
由旋转得A′B′=AB=1，B′C=BC，∠B′=∠ABC=90°，∠BCB′=90°，
∴∠BCD=∠BCB′，
∴点D在B′C上，
∴∠A′DB′=∠BDC，
∵∠B′=∠BCD=90°，
∴△A′DB′∽△BDC，
∴B′DCD=A′B′BC，
∵B′D=B′C−CD=BC−1，
∴BC−11=1BC，
整理得BC2−BC−1=0，
解得BC=1+ 52或BC=1− 52(不符合题意，舍去)，
故答案为：1+ 52．
由矩形的性质得CD=AB=1，∠ABC=∠BCD=90°，由旋转得A′B′=AB=1，B′C=BC，∠B′=∠ABC=90°，∠BCB′=90°，则点D在B′C上，可证明△A′DB′∽△BDC，得B′DCD=A′B′BC，所以BC−11=1BC，求得BC=1+ 52，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△A′DB′∽△BDC是解题的关键．
18.【答案】3 2≤AB≤6 2
【解析】解：如图，当△APQ∽△ABC时，
∴S△APQS△ABC=(APAB)2=12，
∴只要满足APAB=AQAC= 22，都能满足题意，
如图，当△APQ∽△ABC时，
∵直线PQ把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△APQ=12S△ABC，
∴S△APQS△ABC=(APAC)2=12，
∴APAC=AQAB= 22，
∴AP= 22AC=3 2，AQ= 22AB，
∵AP≤AB，AQ≤AC，
∴AB≥3 2， 22AB≤6，
∴3 2≤AB≤6 2，
综上所述，直线PQ把△ABC分成面积相等的两部分，且△APQ和△ABC相似，如果这样的直线PQ有两条，那么边AB长度的取值范围是3 2≤AB≤6 2．
故答案为：3 2≤AB≤6 2．
分两种情况进行讨论，画出图形，根据面积之比等于相似比的平方即可解答．
本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
19.【答案】解：sin245°−1tan45∘+ct60°⋅cs30°
=( 22)2−11+ 33× 32
=12−1+12
=0．
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20.【答案】解：由已知得点A的坐标是(0,2)，点B的坐标是(4,0)，抛物线对称轴为直线x=1，
设抛物线表达式为：y=ax2+bx+c，
则c=216a+4a+c=0−b2a=1，
解得：a=−14b=12c=2，
∴抛物线的表达式为y=−14x2+12x+2=−14(x−1)2+94，
当x=1时，y有最大值为94，
∴水抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为94米．
【解析】直接利用待定系数法求出二次函数解析式，化为顶点式即可得出答案．
本题主要考查二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
21.【答案】13(b−a)
【解析】(1)证明：∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GM，
∵四边形BEGD是平行四边形，
∴GE//AB，DG//BM，
∴BE：EM=AG：GM，
∴BE=2ME，
∴BE=23MB，
∵AM是△ABC的中线，
∴MB=12BC，
∴BE=13BC，
∵DG//BM，
∴BD：AD=MG：AG，
∵G是△ABC的重心，
∴MG=12AG，
∴BD=12AD，
∴BD=13BA，
∴BD：BA=BE：BC=13，
∵∠DBE=∠ABC，
∴△BDE∽△BAC，
∴∠BDE=∠BAC，
∴DE/​/AC；
(2)解：∵BA=a，BC=b，
∴AC=b−a，
∵△BDE∽△BAC，
∴DE：AC=BD：BA=1：3，
∴DE=13AC，
∵DE/​/AC，
∴DE=13AC=13(b−a).
故答案为：13(b−a).
(1)由三角形重心的性质得到AG=2GM，由平行四边形的性质得到GE/​/AB，DG//BM，推出BE：EM=AG：GM，得到BE=23MB，而MB=12BC，得到BE=13BC，由DG//BM，推出BD：AD=MG：AG，得到BD=13BA，因此BD：BA=BE：BC，而∠DBE=∠ABC，推出△BDE∽△BAC，得到∠BDE=∠BAC，即可证明DE/​/AC；
(2)由平面向量的运算法则，即可求解．
本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量，关键是证明△BDE∽△BAC，掌握平面向量的运算法则．
22.【答案】解：如图，过B作BT⊥AD于点T，BK⊥DE于点K，

在Rt△ABT中，
sin∠BAT=BTAB，cs∠BAT=ATAB，
∴BT=AB⋅sin∠BAT=4×sin75.5°≈3.9(米)，AT=AB⋅cs∠BAT=4×cs75.5°≈1.0(米)，
∵∠BTD=∠D=∠CKB=90°，
∴四边形BTDK是矩形，
∴DK=BT=3.9米，BK=DT=AD−AT=3−1=2(米)，
在Rt△BKC中，∠BCK=45°，
∴CK=BK=2米，
∴CD=DK−CK=3.9−2=1.9(米)，
答：阴影CD的长约为1.9米．
【解析】过B作BT⊥AD于点T，BK⊥DE于点K，在Rt△ABT中，求出AT，BT，得到DK=BT，BK=DT=AD−AT，根据∠BCK=45°，得到CK，根据CD=DK−CK计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
23.【答案】证明：(1)∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴OAOD=OBOC，
∴OAOB=ODOC，
∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BOC．
(2)∵△AOD∽△BOC，
∴∠ADE=∠BCA，
∴AE/​/CD，
∴∠AED=∠BDC，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠AED=∠BAC，
∴△AED∽△BAC，
∴ADBC=AEAB，
∴AB⋅AD=AE⋅BC．
【解析】(1)由∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△AOB∽△DOC，得OAOD=OBOC，变形为OAOB=ODOC，而∠AOD=∠BOC，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△AOD∽△BOC；
(2)由相似三角形的性质得∠ADE=∠BCA，由AE/​/CD，得∠AED=∠BDC，则∠AED=∠BAC，即可证明△AED∽△BAC，得ADBC=AEAB，所以AB⋅AD=AE⋅BC．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△AOB∽△DOC及△AED∽△BAC是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)，
则−3a=−3，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：y=x2−2x−3，
则点P(1,−4)；
(2)由点A、P的坐标得，tan∠MAP=MPAM=42=2，

则tan∠DAM=12，
则直线AD的表达式为：y=12(x+1)，
当x=1时，y=12(x+1)=1，
即点D(1,1)；
(3)如上图，
∵QB=QM，则点Q在MB的中点，
故设点Q(2,m)，
∵QO=OE，
则点E、Q关于原点对称，
故点E(−2,−m)，
将点E的坐标代入抛物线的表达式得：−m=4+4−3=5，
即m=−5，
则点Q(2,−5)，
则新抛物线的表达式为：y=(x−2)2−5．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由点A、P的坐标得，tan∠MAP=MPAM=42=2，则tan∠DAM=12，则直线AD的表达式为：y=12(x+1)，即可求解；
(3)设点Q(2,m)，得到点E(−2,−m)，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、解直角三角形、点的对称性等，有一定的综合性，难度适中．
25.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠CAD=∠ABC，
∴∠CAD=∠ACB．
∴PA=PC，
∵DC⊥AC，
∴∠ACB+∠DCP=90°，∠CDP+∠CAD=90°，
∴∠DCP=∠CDP，
∴PD=PC，
∴PA=PD=PC=12AD．
∵∠CAP=∠ABC，∠ACP=∠BCA，
∴△ACP∽△BCA，
∴PCAC=ACBC，
∴AC2=PC⋅BC．
∵AB=AC，PC=12AD，
∴AB2=12AD⋅BC；
(2)解：过点A作AE⊥BC于点E，如图，
∵AB=AC，AE⊥BC
∴BE=EC=12BC．
∵sin∠ABC=45，
∴AEAB=45，
∴设AE=4k，则AB=5k，AC=AB=5k，
∴BE= AB2−AE2=3k，
∴EC=3k，
∴BC=6k．
由(1)知：AC2=PC⋅BC，
∴PC=256k，
∴BP=BC−PC=6k−256k=116k，
∴BP：PC=11：25；
(3)解：①当∠DBC=90°时，过点A作AE⊥BC于点E，如图，
∵AB=AC，AE⊥BC
∴BE=EC=12BC．
∵AE⊥BC，BD⊥BC，
∴BD/​/AE，
由(1)知：PA=PD，
∴PB=PE，
设PB=PE=a，则BE=EC=2a，
∴CP=PE+EC=3a，
∴AP=PC=3a，
∴AE= AP2−PE2= (3a)2−a2=2 2a.
∴∠ABC的正切值=AEBE=2 2a2a= 2；
②当∠BDC=90°时，如图，
∵AC⊥DC，BD⊥DC，
∴BD/​/AC，
由(1)知：PA=PD，
∴PB=PC，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∵∠BDC=90°，AB=AC，
∴平行四边形ABDC为正方形，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABC的正切值为1．
综上，∠ABC的正切值为1或 2．
【解析】(1)利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质得到PA=PD=PC=12AD，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
(2)过点A作AE⊥BC于点E，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到AEAB=45，设AE=4k，则AB=5k，AC=AB=5k，利用勾股定理和(1)的结论解答即可得出结论；
(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当∠DBC=90°时，过点A作AE⊥BC于点E，利用平行线等分线段定理，勾股定理和直角三角形的边角关系定理解答即可；当∠BDC=90°时，利用平行四边形的判定和正方形的判定与性质求得∠ABC=45°即可．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，平行线等分线段定理，作出等腰三角形的底边上的高线是解决此类问题常添加的辅助线．