2023-2024学年广东省深圳市重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数f(x)=x+1 3x−2+(x−1)0的定义域为( )
A. (23,+∞)B. [23,1)∪(1,+∞)C. (23,1)∪(1,+∞)D. [23,+∞]
2.若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−∞,−2]
C. [2,+∞)D. (−∞,−2]∪[2,+∞)
3.“x>0”是“x2+x>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数y=ax+4+2(a>0，且a>1)的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则sinα=( )
A. 35B. −35C. 45D. −45
5.下列是奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y=x−1B. y= xC. y=exD. y=x3
6.已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn>0，则1m+2n的最小值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
7.将函数y=2cs(4x−π3)+1图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π3个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )
A. x=π12B. x=−π6C. x=−π3D. x=−π12
8.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于(或等于)0.2毫克/毫升属于酒驾.假设某驾驶员一天晚上6点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早点(结果取整数)开车才不构成酒驾.(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列是函数图象的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数f(x)=sinx+1sinx，下列说法正确的是( )
A. f(x)的定义域是RB. f(x)的图象关于原点对称
C. f(−π6)=−52D. 当x>0时，f(x)的最小值为2
11.已知f(x)的定义域是R，f(x)既是奇函数又是减函数．若a，b∈R，且a+b0B. f(a)+f(b)0，计算：a12a23÷a16=______．
14.若函数f(x)=lg12x,(x>0)2x,(x≤0)，则f[f(2)]= ．
15.若sinθ、csθ是关于x的方程x2−ax+a=0的两个根，则cs(θ−3π2)+sin(3π2+θ)= ______ ．
16.设当x=θ时，函数f(x)=3csx−sinx，x∈R取得最大值，则csθ= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设U=R，已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}．
(Ⅰ)当m=4时，求∁U(A∪B)；
(Ⅱ)若B≠⌀，且B⊆A，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R且a≠0)，x∈R．
(1)若函数f(x)的最小值为f(1)=0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x+k在区间[1,3]上恒成立，试求k的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2( 3csx−sinx)sinx，x∈R．
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期与单调增区间；
(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π4]上的最大值与最小值．
20.(本小题12分)
某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前n(n∈N*)年的支出成本为(10n2−2n)万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？并说明理由.(注：年平均盈利额=总盈利额年度)
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=3x−3−x，x∈R．
(1)证明f(x)是增函数；
(2)若不等式3xf2(x)+m⋅f(x)≥0对于∀x∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg1−x1+x．
(1)求不等式f(x)>0的解集；
(2)函数g(x)=2−ax(a>0,a≠1)，若存在x1，x2∈[0,1)，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：要使函数f(x)=x+1 3x−2+(x−1)0有意义，
则3x−2>0x−1≠0，解得x>23且x≠1，
因此函数f(x)的定义域为(23,1)∪(1,+∞)．
故选：C．
根据函数解析式列出不等式组，求解即可．
本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的定义，以及一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题．
根据题意可得Δ>0，即可求出a的取值范围．
【解答】
解：∵∀x∈R，x2+ax+1≥0是假命题，
∴Δ=a2−4>0
∴a>2或a0，解得x的范围，即可判断出结论．
【解答】
解：由x2+x>0，解得x>0，或x0”是“x2+x>0”的的充分不必要条件，
故选：A．
4.【答案】A
【解析】解：由x+4=0得x=−4，此时y=a0+2=1+2=3，即定点P(−4,3)，
则|OP|=5，则sinα=35，
故选：A．
根据指数函数的性质求出定点坐标，利用三角函数的定义进行计算即可．
本题主要考查三角函数定义的应用，根据指数函数过定点的性质求出定点坐标是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，是奇函数，在区间(0,+∞)上单调递减，不符合题意；
对于B，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
对于C，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
对于D，是奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意．
故选：D．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
本题考查函数单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的性质，熟练掌握变形利用基本不等式的性质的方法是解题的关键，属于中档题．
利用“乘1法”变形，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：∵实数m、n满足2m+n=2，其中mn>0，
∴1m+2n=12(2m+n)(1m+2n)=12(4+nm+4mn)≥12(4+2 nm⋅4mn)=12(4+4)=4，
当且仅当nm=4mn，2m+n=2，即n=2m=1时取等号．
∴1m+2n的最小值是4．
故选A．
7.【答案】B
【解析】解：将函数y=2cs(4x−π3)+1图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y=2cs(2x−π3)+1的图象；
再向左平移π3个单位，纵坐标不变，可得y=2cs(2x+π3)+1的图象，
令2x+π3=kπ，k∈Z，可得x=kπ2−π6，k∈Z，
令k=0，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=−π6，
故选：B．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：假设经过x(x∈N*)小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，
则1×(1−10%)x1时，g(x)在(0,1)上单调递减，
∴2−a2；
当0