2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高一（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高一（上）期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−1=0}，则下列式子表示正确的有( )
①1∈A；
②{−1}∈A；
③⌀⊆A；
④{1,−1}⊆A．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.“x<2”是“1x−2<0”的( )
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知α是第二象限角，tanα=−512，则csα=( )
A. 1213B. −1213C. 513D. −513
4.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x2+2，那么f(−1)的值是( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
5.已知函数f(x)=2x−3(x≥0)x2+1(x<0)，则f[f(1)]=( )
A. −1B. 2C. 1D. 5
6.设lg74=a，lg73=b，则lg4936=( )
A. 12a−bB. 12b+aC. 12a+bD. 12b−a
7.已知a=(12) 2，b=lg32，c=lg132，则( )
A. c8.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.某扇形玉雕壁画尺寸(单位：cm)如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为( )
A. 1600cm2B. 3200cm2C. 3350cm2D. 4800cm2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列对命题“∃x∈R，x2>3”的表述正确的是( )
A. 有一个x∈R，使得x2>3成立B. 有些x∈R，使得x2>3成立
C. 任选一个x∈R，都有x2>3成立D. 至少有一个x∈R，使得x2>3成立
10.下列结论成立的是( )
A. 若ac>bc，则a>bB. 若a>b，cb+d
C. 若a>b，c>d，则a−d>b−cD. 若ab2
11.下列各组函数是同一函数的是( )
A. y=|x|x与y=1B. y= (x−1)2与y=x−1
C. y=( x)2x与y=x( x)2D. y=x3+xx2+1与y=x
12.关于函数f(x)=2sin(2x−π3)，下列说法中正确的是( )
A. 其最小正周期为π
B. 其图象由y=2sin2x向右平移π3个单位而得到
C. 其表达式可以写成f(x)=2cs(2x−5π6)
D. 其图象关于点(−π3,0)对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合A={1,−m}，B={1,m2}，且A=B，则m的值为 ．
14.不等式2x−1x+1<0的解集是______．
15.已知cs(π6−α)=35，则sin(α+π3)=______．
16.已知函数f(x)=−x2+4ax,x≤1(2a+3)x−4a+5,x>1，若f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
化简求值：
(1)2723+2⋅(e−1)0+1 5+2−1614；
(2)已知tanα=3.求sin(π2+α)+3sin(π+α)cs(3π2−α)−cs(5π+α)的值．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|lg2x>1}．
(1)求A∩(∁RB)；
(2)已知集合C={x|119.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2x−1x+1．
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；
(2)当x∈(3,+∞)时，f(x)+lg2(x+1)>m恒成立.求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
设函数f(x)=a−22x+1．
(Ⅰ)求证：f(x)为增函数；
(Ⅱ)若f(x)为奇函数，求实数a的值，并求出f(x)的值域．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx−sin2x+cs2x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)求f(x)的单调递减区间．
22.(本小题12分)
某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：W(x)=5(x2+3),0≤x≤250−50x+1,2(1)求f(x)函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={x|x2−1=0}，∴A={−1,1}，
对于①，1∈A显然正确；
对于②，{−1}∈A，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；
对于③，⌀⊆A，根据空集是任何集合的子集，可知③正确；
对于④，{1,−1}⊆A，根据子集的定义，可知④正确．
故选：C．
先确定集合A的元素，然后根据元素与集合、集合与集合的关系逐一判断即可．
本题主要考查元素与集合、集合与集合的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由1x−2<0得x−2<0得x<2，
即“x<2”是“1x−2<0”的充要条件，
故选：A．
求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：因为α是第二象限角，
所以csα<0，
由tanα=−512，得sinαcsα=−512，
又sin2α+cs2α=1，
所以25144cs2α+cs2α=1，
所以csα=−1213．
故选：B．
由题意可求csα<0，进而根据同角三角函数基本关系式即可化简求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)是奇函数，
当x>0时，f(x)=x2+2，
则有f(−1)=−f(1)=−(12+2)=−3．
故选：A．
根据题意，由函数的奇偶性和解析式可得f(−1)=−f(1)=−(12+2)，计算可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=2x−3(x≥0)x2+1(x<0)，
∴f(1)=−1，
则f[f(1)]=f(−1)=2，
故选：B．
根据分段函数的解析式，直接把x=1代入即可求解．
本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．
6.【答案】C
【解析】解：∵lg74=a，lg73=b，
∴lg4936=lg736lg749=12(lg74+2lg73)=12(a+2b)=12a+b，
故选：C．
利用对数的运算法则及换底公式求解．
本题考查对数的运算法则及换底公式的运用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，是基础题．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】
解：∵0b=lg32>lg3 3=12，
c=lg132∴c故选A．
8.【答案】D
【解析】解：易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，
设大、小扇形所在圆的半径分别为r1，r2，相同的圆心角为θ，
则θ=160r1=80r2，得r1=2r2，
又因为r1−r2=40，所以r1=80，r2=40，
该扇形玉雕壁画面积S=12×160×r1−12×80×r2=12×160×80−12×80×40=4800(cm2).
故选：D．
利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解．
本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，命题“∃x∈R，x2>3”，
即有一个x∈R，使得x2>3成立或有些x∈R，使得x2>3成立或至少有一个x∈R，使得x2>3成立，
故选：ABD．
根据题意，由特称命题的定义分析可得答案．
本题考查存在命题，注意存在量词的定义，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．
对于A，B，结合特殊值法，即可求解，对于C，结合不等式的性质，即可求解，对于D，结合作差法，即可求解．
【解答】
解：对于A，当c<0，a对于B，令a=2，b=1，c=1，d=2，满足a>b，c对于C，∵c>d，
∴−d>−c，
∵a>b，
∴a−d>b−c，故C正确，
对于D，∵a∴a−b<0，a+b<0，
∴a2−b2=(a−b)(a+b)>0，a2>b2，故D正确．
故选：CD．
11.【答案】CD
【解析】解：对于A：函数y=|x|x的定义域为{x|x≠0}，函数y=1定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；
对于B：函数y= (x−1)2定义域为R，化简可得y=|x−1|，与y=x−1解析式不同，故不是同一函数；
对于C：函数y=( x)2x定义域为{x|x>0}，化简可得y=1(x>0)，函数y=x( x)2定义域为{x|x>0}，化简可得y=1(x>0)，故为同一函数；
对于D：函数y=x3+xx2+1定义域为R，化简可得y=x，与y=x为同一函数．
故选：CD．
根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案．
本题主要考查了函数的定义的应用，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查y= Asin( ωx+ φ)( A>0,ω>0)的图象变换及正弦函数的周期性和对称性的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
利用正弦函数的图象与性质及y= Asin( ωx+ φ)( A>0,ω>0)的图象变换规律对四个选项逐一分析可得答案．
【解答】
解：函数f(x)=2sin(2x−π3)的最小正周期T=2π2=π，故A正确；
y=2sin2x向右平移π3个单位得到y=2sin(2x−2π3)≠2sin(2x−π3)，故B错误；
f(x)=2sin(2x−π3)=2cs[π2−(2x−π3)]=2cs(5π6−2x)=2cs(2x−5π6)，故C正确；
f(−π3)=2sin(−π)=0，故f(x)的图象关于点(−π3,0)对称，故D正确，
故选ACD．
13.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查实数m的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意集合相等的概念的灵活运用．
由A={1,−m}，B={1,m2}，且A=B，知m2=−m，由此能求出实数m的值，m=−1不满足集合中元素的互异性，舍去．
【解答】
解：∵A={1,−m}，B={1,m2}，且A=B，
∴m2=−m，
解得m=−1，或m=0．
m=−1不满足集合中元素的互异性，舍去．
∴m=0符合题意．
故答案是：0．
14.【答案】(−1,12)
【解析】解：不等式2x−1x+1<0，
即为(2x−1)(x+1)<0，
解得−1可得解集为(−1,12).
故答案为：(−1,12).
原不等式等价为(2x−1)(x+1)<0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
本题考查分式不等式的解法，注意运用转化思想，转化为二次不等式的解法是解题的关键，属于基础题．
15.【答案】35
【解析】解：∵cs(π6−α)=35=sin[π2−(π6−α)]=sin(α+π3)，
∴sin(α+π3)=35，
故答案为：35．
由题意，利用诱导公式，计算求得结果．
本题主要考查诱导公式，属于基础题．
16.【答案】[12,32]
【解析】解：x≤1时，f(x)=−x2+4ax，对称轴是x=2a，
x>1时，f(x)=(2a+3)x−4a+5，系数2a+3>0，
若f(x)在R递增，
则2a≥12a+3>0−1+4a≤2a+3−4a+5⇒12≤a≤32，
故答案为：[12,32].
先保证每一段在定义域内单调递增，再保证在x=1时的单调性保持一致，得到关于a的不等式组，解出即可求出a的范围．
本题考查了函数的单调性问题，考查常见函数的性质，是一道基础题．
17.【答案】解：(1)2723+2⋅(e−1)0+1 5+2−1614
=(33)23+2+ 5−2−(24)14
=32+2+ 5−2−2
=7+ 5；
(2)解：sin(π2+α)+3sin(π+α)cs(3π2−α)−cs(5π+α)
=csα−3sinα−sinα+csα
=1−3tanα−tanα+1
=1−3×3−3+1
=4．
【解析】(1)根据指数幂的运算性质即可求解；
(2)先由诱导公式进行化简，再由商数关系求值即可．
本题主要考查三角函数的诱导公式，以及指数幂的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)集合A={x|3≤3x≤27}={x|3≤3x≤33}={x|1≤x≤3}，
B={x|lg2x>1}={x|lg2x>lg22}={x|x>2}，
∴∁RB={x|x≤2}，
∴A∩(∁RB)={x|1≤x≤2}；
(2)∵C∩A=C，∴C⊆A，
①当a≤1时，C=⌀，此时C⊆A；
②当a>1时，集合C={x|1则1综上可得，实数a的取值集合是(−∞,3]．
【解析】本题考查交、并、补集的混合运算，子集的定义，以及指数函数、对数函数的单调性，考查分类讨论思想．
(1)由指数函数、对数函数的单调性分别求出集合A、B，由补集的运算求出∁RB，由交集的运算求出A∩(∁RB)；
(2)由C∩A=C得C⊆A，根据条件对a分类讨论，分别由子集的定义求出a的范围，最后并在一起求出实数a的取值集合．
19.【答案】解：(1)由函数f(x)=lg2x−1x+1，得x−1x+1>0，
即(x−1)(x+1)>0，解得x<−1或x>1，
所以函数f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，关于原点对称．
又f(−x)=lg2−x−1−x+1，=lg2x+1x−1=−lg2x−1x+1=−f(x)，
所以f(x)是奇函数；
(2)f(x)+lg2(x+1)>m恒成立，则lg2x−1x+1+lg2(x+1)>m，
即lg2(x−1)>m在(3,+∞)恒成立，
令g(x)=lg2(x−1)，
因为g(x)在(3,+∞)上单调递增，
当x=3时，g(3)=lg2(3−1)=1，
所以x∈(3,+∞)时，g(x)∈(1,+∞)，
则实数m的取值范围是(−∞,1]．
【解析】(1)根据对数函数的真数大于0，求出函数的定义域，然后利用函数的奇偶性的定义进行判断即可．
(2)由题意可得lg2(x−1)>m在(3,+∞)恒成立，结合对数函数的单调性求解即可．
本题考查了判断函数的奇偶性、对数函数的性质及转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)证明：由题意知，x∈R，
设x1∵x10，
∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)是增函数；
(Ⅱ)由题意可知，f(x)+f(−x)=2a−22x+1−22−x+1=0，
∴a=12x+1+12−x+1=1，故f(x)=1−22x+1，
∵2x+1>0，∴0<22x+1<2，
∴−2<−22x+1<0，∴−1故f(x)的值域是(−1,1)．
【解析】(Ⅰ)利用函数单调性证明出函数是定义域上的增函数，得到本题结论；(Ⅱ)利用函数奇偶性的定义得到相应的恒等式，化简后，求出参数a的值．
本题考查了函数的奇偶性、单调性和函数的值域，属于基础题．
21.【答案】解：(1)∵f(x)=2 3sinxcsx−sin2x+cs2x= 3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
所以，函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，
最大值为2．
(2)解不等式π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z)，
可得π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z)，
因此，函数f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z)．
【解析】(1)利用三角恒等变换将函数f(x)化简，由三角函数的性质即可求解；
(2)由正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查三角恒等变换、三角函数的性质，对f(x)化简是解题的关键，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为肥料成本投入为10x元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且W(x)=5(x2+3),0≤x≤250−50x+1,2所以f(x)=15W(x)−20x−10x=15W(x)−30x=15×5(x2+3)−30x,0≤x≤215×(50−50x+1)−30x,2即f(x)函数关系式为f(x)=75x2−30x+225,0⩽x⩽2750x1+x−30x,2(2)由(1)得f(x)=75x2−30x+225,0≤x≤2,750−7501+x−30x,2当0≤x≤2时，f(x)max=f(2)=465(元)；
当2因为465<480，所以当x=4时，f(x)max=480(元)．
所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元
【解析】(1)利用f(x)=15×W(x)−30x，即可求解；
(2)对f(x)进行化简，得到=75(x−15)2+222,0⩽x⩽2,780−30[251+x+(1+x)],2本题考查了函数模型在实际问题中的应用，属于中档题．