河南省焦作市重点中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题（含答案）

这是一份河南省焦作市重点中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1、若，则（ ）
A.1B.C.D.
2、已知复数满足，则的最大值是（ ）
A.B.C.2D.
3、已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的高为（ ）
A.1B.C.D.2
4、如图，设，两点在河的两岸，在点所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（ ）（其中，，精确到0.1）
A.B.C.D.
5、设非零向量，，，满足，，则向量，的夹角等于（ ）
A.150°B.120°C.60°D.30°
6、已知向量与的夹角为120°，，，则
A.B.2C.D.4
7、下列命题不正确的是（ ）
A.正方体一定是正四棱柱
B.底面是正多边形的棱柱是正棱柱
C.有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D.平行六面体的六个面均为平行四边形
8、下列四个命题中，正确的个数是（ ）
①；②“”等价于“存在实数，使得”；③
A.0个B.1个C.2个D.3个
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9、有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A.若，，则
B.若与共线且模长相等，则
C.若且与方向相同，则
D.恒成立
10、已知，，是三个不同的点，，，，则下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.，，三点共线
11、已知中，其内角，，的对边分别为，，下列命题正确的有（ ）
A.若，则
B.若，，则外接圆半径为10
C.若，则为等腰三角形
D.若，，，则
12、在中，，，.若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（ ）
A.B.C.1D.
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13、台风中心从地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市在的正东40千米处，则城市处于危险区的时间为______小时.
14、设函数，的值域是，则实数的取值范围为______.
15、已知向量，，则的最大值为______.
16、化简：______.
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17、计算：（1）；
（2）.
18、已知函数（）.
（1）若，用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象.
（2）若为偶函数，求.
（3）在（2）的前提下，将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在的单调递减区间.
19、在①，且，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.
问题：锐角的内角，，的对边分别为，，，且______.
（1）求；
（2）求的最大值.
20、已知向量，满足，，.
（1）求在上的投影的数量：
（2）求与夹角的余弦值.
21、设，为两个不共线的向量，若，.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若，为互相垂直的单位向量，且，求实数的值.
22、如图所示，某公路一侧有一块空地，其中，，，当地政府拟在中间开挖一个人工湖，其中，都在边上（，不与，重合，在，之间），且.
（1）若在距离点处，求点，之间的距离；
（2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，试确定的位置，使的面积最小，并求出最小面积.
答案解析
第1题答案C 第1题解析
利用共轭复数的概念及复数的运算法则求解.
因为，则，所以，则.故选C.
第2题答案B 第2题解析
由可知，则复数在复平面对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆.
又的几何意义为点与点的距离，
又，则.故选：B.
第3题答案C 第3题解析
设圆锥的底面圆的半径为，母线为，则，
所以其侧面积为，解得，
所以圆锥的高为.故选：C.
第4题答案C 第4题解析
由题意可知，
由正弦定理可知，即，
解得，故选：C.
第5题答案B 第5题解析
由已知得，则，
所以.
，即
第6题答案B 第6题解析
因为，所以，，，，故选B.
第7题答案B 第7题解析
对于A，上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，故A正确；
对于B，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形但侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故B错误；
对于C，有两个相邻的侧面是矩形，说明公共侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，而侧棱与底面垂直的棱柱为直棱柱，所以有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故C正确；
对于D，底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，而棱柱的各个侧面都是平行四边形，故D正确.故选：B.
第8题答案A第8题解析
对于①，等式左边，
等式右边，故①不正确；
对于②，“（）”等价于“存在实数，使得（），故②不正确；
对于③，，故③不正确；故选：A.
第9题答案A，B，C 第9题解析
对于A选项，取，因为，，则、不一定共线，A错；
对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项，恒成立，D对.故选：ABC.
第10题答案A，B，D 第10题解析
由题可得，，
，
∴，故A正确；，故B正确；，故C错误；
由可得，为公共点故，，三点共线，故D正确.
故选：ABD.
第11题答案A，C，D 第11题解析
因为，所以，由正弦定理，可得
，即，A正确；
由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B不正确；
因为，所以，即，
整理可得，即，
因为，为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确；
因为，，，所以，D正确.
故选：ACD.
第12题答案B，D 第12题解析
由题意知：；由余弦定理得：，
即，则；
当，即时，，满足题意；
当，即时，方程两根需一正一负或一根为零、一根为正，
∴，解得：.综上所述：的可能取值为或.故选：BD.
第13题答案1 第13题解析
设地东北方向上存在点到的距离为30干米，，
在中，，
故，
化简得，设方程的两根为，，
则，，所以，
即图中千米，所以城市处于危险区的时间为小时，故答案为：1.
第14题答案 第14题解析
因为，所以，
又，
所以，所以，
故答案为：.
第15题答案3 第15题解析
根据题意，由于向量，，
则可知，
那么可知当取得最大值时，
即可知当时，满足题意，最大值为3.
第16题答案 第16题解析
原式
故答案为：
第17题答案（1）；（2）.
第17题解析
（1）
.
（2）方法一：
.
方法二：.
第18题答案（1）见解析；（2）；（3）.
第18题解析
（1）当时，.
列表：
函数在区间上的图象是：
（2）.
∵为偶函数，则轴是图像的对称轴，
所以，则（）即（），
又∵，故.（用偶函数的定义解也给分）
（3）由（2）知，将的图象向右平移个单位后，
得到的图象，再将横坐标变为原来的4倍，得到，
∴.
当（），
即（）时，
的单调递减，因此在的单调递减区间.
第19题答案见解析；
（1）若选①∵，∴，∴，
∵，∴.
若选②∵，
，
∵，∴，∴，
∵，∴.
若选③，由正弦定理得，
∵，∴，
即，∴，
又∵，∴.
（2）在三角形中，由正弦定理：，∴，∴，
由余弦定理：，∴，
又∵，∴，当等号成立
∴.故最大值为.
第20题答案见解析
（1）
∴，∴，设和的夹角为，
在上的投影的数量为：；
（2）设与夹角为，
第21题答案见解析；
（1）若与共线，则存在实数，使得，即
，
则且，解得；
（2）由题可知，，，
若，则，
变形可得：，即.
第22题答案见解析
（1）在中，因为，，，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，
在中，
，
在中，由，得.
（2）解法一：设，，在中，由余弦定理得
，
所以，
所以，
在中，
，由，得
，
所以
，（），
令，则，，则
，
当且仅当，即，时等号成立，的最小值为，
所以的位置为距离点处，
可使的面积最小，最小面积是.
解法二：设，，
在中，由，得，
在中，由，得，
所以
，（），
当，即时，的最小值为，
所以应设计，可使的面积最小，最小面积是.
0
1
2
0
0
1