高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课堂教学课件ppt

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6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时 余弦定理
千岛湖位于我国浙江省杭州市淳安县境内,因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名.现有三个岛屿A,B,C,岛屿A与B之间的距离因A,B之间有另一小岛而无法直接测量,但可测得AC,BC的长度分别为6 km和4 km,且AC,BC的夹角为120°.岛屿A,B间的距离为多少?如何将这个实际问题转化为数学问题?如图,已知边AC,BC和角C(两条边、一个夹角),求边AB.
勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系.如图,如果是斜三角形,三条边之间的关系又是怎样的呢?能否用刚才的方法来探究?
余弦定理:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2=b2+c2-2bccs A,b2=c2+a2-2cacs B,c2=a2+b2-2abcs C.
勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系,余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,勾股定理与余弦定理有什么关系?余弦定理是勾股定理的推广,而勾股定理是余弦定理特例.
你能用其他方法证明余弦定理吗?如图, A(0,0),B(c,0),C(bcs A,bsin A). 由两点间距离公式,得|BC|2=(bcs A-c)2+(bsin A-0)2,即a2=b2cs2A-2bccs A+c2+b2sin2A,所以a2=b2+c2-2bccs A. 同理可证得b2=c2+a2-2cacs B,c2=a2+b2-2abcs C.
解三角形: 一般地, 三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
通过同角三角函数的基本关系由正弦值求余弦值时,要注意角的取值范围,角的取值范围决定了余弦值的正负.
已知三角形的三边或三边关系,利用余弦定理判断三角形的形状,其实质是什么?利用余弦定理判断三角形的形状,其实质是求最大角的余弦值,若最大角的余弦值为正,则此三角形为锐角三角形;若最大角的余弦值为零,则此三角形为直角三角形;若最大角的余弦值为负,则此三角形为钝角三角形.
说说这节课你学到了哪些知识,用到了哪些数学思想方法,会解决哪些问题.