高中人教A版 (2019)8.3 简单几何体的表面积与体积图文课件ppt

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8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
在生产生活中,人们经常会遇到包装盒用纸量的计算问题,如图所示.用纸量的多少跟什么有关系?跟围成几何体各个面的面积密切相关.
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 问题1 棱柱的侧面展开图是什么?如何计算棱柱的表面积?如图,棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形,棱柱的侧面积就是这些平行四边形的面积和,侧面积再加上两个底面的面积就是它的表面积.
如果是直棱柱,如图,它的侧面展开图是什么图形?是由矩形组成的平面图形.
问题2 棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形,棱锥的侧面积就是这些三角形的面积和,侧面积再加上底面的面积就是它的表面积.
问题3 棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积? 棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形,棱台的侧面积就是这些梯形的面积和,侧面积再加上上、下两个底面的面积就是棱台的表面积.
问题4 求棱柱、棱锥、棱台的表面积的一般思路是什么? 求棱柱、棱锥、棱台的侧面积的问题可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题,而计算它们的表面积就是计算它们的各个侧面面积与底面面积之和.
(1)直棱柱的侧面积=它的底面周长c×高h.(2)斜棱柱的侧面积①可以先求出各侧面的面积,然后求和.②也可以用直截面周长与侧棱长的乘积来求.如果斜棱柱的侧棱长为l,直截面的周长为c',则其侧面积的计算公式就是S斜棱柱侧=c'l.注:直截面是垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面.
求多面体表面积的注意事项:(1)多面体的表面积可转化为各面面积之和.(2)解决有关棱台的问题时,常用两种解题思路:一是把基本量转化到梯形中去解决;二是把棱台还原成棱锥,利用棱锥的有关知识来解决.
2.棱柱、棱锥、棱台的体积 你们还记得以前学过的特殊棱柱—正方体、长方体的体积公式吗?V正方体=a3(a是正方体的棱长),V长方体=abc (a,b,c分别是长方体的长、宽、高).正方体、长方体的体积公式可以统一为V=Sh.
问题5 棱柱的体积公式是什么?如何计算它的体积? 一般地, 如果棱柱的底面积是S,高是h,那么这个棱柱的体积V棱柱=Sh. 棱柱的高是指两底面之间的距离,即从一个底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.特别地,直棱柱的侧棱垂直于底面,故侧棱长即为直棱柱的高.
取一摞书放在桌面上,并改变它们的位置,高度、书中每页纸的面积和顺序不变,如图,观察改变前后的体积是否发生变化?
祖暅原理:幂势既同,则积不容异. 即:如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.
问题6 棱锥的体积公式是什么?如何计算它的体积? 棱锥和棱柱有关系吗?能否用棱柱的体积公式推导棱锥的体积公式?一个三棱柱可以分解成三个体积相等的三棱锥,如图所示.
问题7 棱台的体积公式是什么?如何计算它的体积? 棱台是如何得到的? 能否用棱锥的体积公式推导棱台的体积公式?棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的,因此可以用下面的方法得到棱台的体积公式.
问题8 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系?你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗?
漏斗由两个多面体组成,其容积就是两个多面体的体积和.
求棱柱、棱锥、棱台的体积的注意事项:(1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法:直接代入公式求解.②等积法:例如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.③分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.
求棱柱、棱锥、棱台的体积的注意事项:(2)求几何体体积时需注意的问题棱柱、棱锥、棱台的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.
回顾本节课的学习内容,回答下列问题:通过这节课,你学到了什么知识?在解决问题时,用到了哪些数学思想? (1)知识总结①求几何体的表面积求组合体的表面积时,首先应弄清它的组成部分,其表面有哪些底面和侧面,各个面应该怎样求面积,再根据公式求出各面的面积,最后相加.
②求几何体体积的常用方法(2)思想方法转化、一般化与特殊化、数形结合等.