数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课文ppt课件

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8.6.1 直线与直线垂直
问题1 空间中两条直线有哪些位置关系?你能画图表示吗?空间中两条直线的位置关系及其图形表示:(1)共面直线
相交直线:在同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:在同一平面内,没有公共点;
(2)异面直线:①定义:不同在任何一个平面内的两条直线,没有公共点.②画法:③判别:A.(反证法)两条直线既不相交,又不平行.B.(定义法)两条直线不同在任何一个平面内.C.经过平面外一点和平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.
问题2 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,直线A'C'与直线AB,直线A'D'与直线AB都是异面直线,直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗?如果不同,如何表示这种差异呢?
1.异面直线所成的角我们知道,平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.如图中的角θ即为直线a与直线b的夹角.
问题3 如何得出两条异面直线a与b所成的角?如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
思考 O点选取的位置会影响直线a与b所成的角吗? 为什么?依据是什么? 根据“等角定理”,O点选取的位置不会影响直线a与b所成的角. 异面直线a,b所成的角,只与a,b的相对位置有关,而与点O的位置无关. 能否把点O取在两异面直线中的a或b上? 在实际解题过程中,O点一般不是任意选取的,而是选择一些特殊点,以便于求解.
异面直线所成的角θ的取值范围是什么? 根据异面直线所成的角的定义和两条直线夹角的定义可知,异面直线所成的角θ的取值范围是0°<θ≤90°.
2.两条异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.如图,直线a与直线b垂直,记作a⊥b. 当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成的角α的取值范围是0°<θ≤90°.
问题4 空间两条直线互相垂直时,它们一定相交吗?如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与BC互相垂直,它们相交;AB与CC1互相垂直,它们不相交.
空间两条直线互相垂直,它们不一定相交,可能是相交垂直(即共面垂直),也可能是异面垂直.
求直线BA'与CC'所成的角,我们选取哪个点,平移哪条直线比较好?选取点B,把CC'平移到BB',∠A'BB'就是异面直线BA'与CC'所成的角;也可选取点C,把A'B平移到CD',∠D'CC'就是异面直线BA'与CC'所成的角.
求直线BA'与AC所成的角,选取哪个点,平移哪条直线比较好? 选取点A',把AC平移到A'C',∠BA'C'就是异面直线BA'与AC所成的角.
对于(3),还有其他构造角的方法吗? 取点C,把BA'平移到CD',∠D'CA就是异面直线BA'与AC所成的角.
如何构造异面直线AM与CN所成的角?
求异面直线所成的角(或其三角函数值)的一般步骤:(1)作:恰当地选择一个点(经常在其中一条直线上取一点),然后用平移法作出异面直线所成的角(或其补角);(2)证:证明(1)中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角; (注:证明线线平行)(3)求:通过解三角形或其他方法,求出异面直线所成的角的大小(或其三角函数值).(注:假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成的角的大小;若90°<α<180°,则180°-α即为所求)
如何构造直线AO1与BD所成的角?选取哪个点?平移哪条直线?
通过这节课,你学到了什么知识?在解决问题时,用到了哪些数学思想?有什么需要注意的地方?1.知识点:(1)异面直线所成的角和两条异面直线互相垂直的定义.(2)求异面直线所成的角的步骤:一作(找)、二证、三求.(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.2.方法归纳:转化与化归.3.易错点:容易忽视异面直线所成的角θ的取值范围是0°<θ≤90°.