高中人教A版 (2019)8.6 空间直线、平面的垂直图片课件ppt

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8.6.3 平面与平面垂直第1课时 平面与平面垂直的判定
在日常生活中,有很多平面与平面相交的例子.比如笔记本电脑打开过程中,屏幕和键盘所在的平面相交并形成了一定的角度;打开门(或窗)的过程中,门(或窗)与墙所在的平面相交并形成了一定的角度;修筑水坝时为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度……
问题1 在平面几何中,我们通过引入“角”的概念来刻画两条相交直线的位置关系,你能在空间中引入类似的概念来刻画两个相交平面的位置关系吗?
1.二面角及二面角的平面角问题2 数学上,可以用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角?半平面:平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.
二面角:如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角α-AB-β.有时为了方便,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q.如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q.
问题3 虽然都是平面与平面相交,但在直观感觉上,两个平面的“开合程度”并不一样.比如日常生活中,常说“把门开大一些”,这说明门与墙面所形成的角度有不同的状态.那么该如何定量地刻画两个平面的位置关系呢?根据前面研究异面直线所成的角和直线与平面所成的角的经验,我们可以用一个平面角来度量二面角的大小.这样的平面角该如何建构呢?
在二面角的棱上任取一点,从该点出发,分别在两个半平面内任作一条射线,即可构成一个平面角,这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗?为什么?如果不能,又该如何作图呢?不行,因为角的大小会由于所作射线的位置不同而不一样.以棱上的一点为顶点,如何在两个半平面内各作一条射线,使之形成的角度是唯一确定的?以棱上给定的一点为顶点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线形成的角度是唯一确定的.
若在棱上任意选取一点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线形成角,作出的平面角的大小会有所不同吗?为什么?在棱上任意选取一点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线形成的角度也是唯一确定的.依据是等角定理.
二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的平面角必须满足:(1)角的顶点在棱上;(2)角的两边分别在两个面内;(3)角的两边都垂直于二面角的棱.二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.
二面角的平面角α的取值范围是什么?二面角的取值范围:二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
异面直线所成的角、线面角的取值范围分别是什么?和二面角的平面角的取值范围一样吗?不一样.异面直线所成的角的取值范围是(0°,90°],线面角的取值范围是[0°,90°].
2.平面与平面垂直及其判定问题4 教室里相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.二面角C-AO-B,二面角A-BO-C,二面角A-CO-B.
教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角是多少度?90°.90°的二面角,我们也称直二面角,我们常说墙面直立于地面上.
两个平面互相垂直的定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作α⊥β.如图,画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
问题5 对于平面与平面垂直,利用定义来证明需要每次都找角、计算,显然太过麻烦.除了根据定义,通过度量其二面角的平面角的大小来判断它们是否垂直外,是否存在其他的判断方法呢?如图,建筑工人在砌墙时,常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面,工人师傅就认为墙面垂直于地面,否则他就认为墙面不垂直于地面.你能分析其中蕴含的道理并总结出相应的结论吗?
两个平面互相垂直的判定定理:(1)文字语言:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.(2)图形语言:(3)符号语言:
线面垂直,则面面垂直.
(4)定理证明:如图,设α∩β=l.因为m⊥α,l⊂α,所以m⊥l.设垂足为O,B为直线m上异于点O的点,则OB⊥l.在平面α内,过点O作OA⊥l,则∠AOB即为二面角的平面角.所以m⊥OA,即OB⊥OA.所以∠AOB=90°,即二面角α-l-β是直二面角,所以α⊥β.
1.平面与平面垂直的判定方法定义法、两个平面互相垂直的判定定理.2.数学思想方法(1)比较与类比类比平面与平面平行判定定理的归纳过程归纳平面与平面垂直的判定定理.(2)转化与化归“面面垂直”转化为“线面垂直”,“ 空间问题”转化为“平面问题”.