高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体图文ppt课件

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9.2.3 总体集中趋势的估计
狐狸在森林里开了一家服装公司,生意日渐红火起来,可是公司的员工们却十分不满.原来雇用的员工们每天工作强度很大,但工资却很低,所以它们集体罢工,要求减轻工作量,增加工资.狐狸想:“与其给原来的员工加工资以求保住员工,还不如招一批新员工划算.因为即使给新员工低工资,一时半会儿它们也不会闹事儿.”于是狐狸马上印了许多广告,到处张贴,说:“本公司月平均工资1 800元,名额有限,欲报从速.”小老虎看到以后,心想一个月1 800元工资还不错,于是到公司报名.狐狸对小老虎说:“我们公司的月平均工资是1 800元,你愿意到我们公司工作吗?”小老虎表示同意,狐狸马上录用了它,合同期为1年.
第一个月,小老虎干得非常卖力.到了月底,小老虎高高兴兴地去领工资,等钱拿到手后,一数才800元.小老虎气呼呼地找到狐狸,问:“为什么不是1 800元,而只给了800元?”狐狸狡猾地一笑,说:“我说的是员工月平均工资是1 800元呀!既然是平均数,那自然就有高有低了.”狐狸从桌子里拿出一张表格:
本公司员工月平均工资为(10 000×1+3 700×2+800×12)÷(1+2+12)=(10 000+7 400+9 600)÷15=27 000÷15=1 800(元).狐狸指着这张表格说:“看见了吗?本公司的月平均工资确实是1 800元.”小老虎迷惑了,难道月平均工资是1 800元,不是每个员工每月工资1 800元吗?小老虎的工资为什么比平均工资少得多?经理及副经理的工资大大高于员工的工资.除了看平均工资,还应该看什么?还应该看这组数据的中位数、众数等,从而获得完整的信息.
1.平均数、中位数的区别和联系问题1 利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量(如下表)的调查数据,计算样本数据的平均数和中位数,并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.
假设某个居民小区有2 000户,你能估计该小区的月用水总量吗?根据上述思考可得全市居民用户的月均用水量约为8.79 t,则估计2 000户居民的月用水总量约为2 000×8.79=17 580(t).
问题2 小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数.但在录入数据时,不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数,并与真实的样本平均数和中位数作比较.哪个量的值变化更大?你能解释其中的原因吗?通过简单计算可以发现,平均数由原来的8.79 t变为9.483 t,中位数没有变化,还是6.8 t.
因为样本平均数与每一个样本数据有关,样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变;但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值,并未利用其他数据,所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变.因此,与中位数比较,平均数反映出样本数据中的更多信息,对样本中的极端值更加敏感.
问题3 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图的三种分布形态中,平均数和中位数的大小存在什么关系?
一般来说,对一个单峰的频率分布直方图来说,如果直方图的形状是对称的(如图1),那么平均数和中位数应该大体上差不多;如果直方图在右边“拖尾”(如图2),那么平均数大于中位数;如果直方图在左边“拖尾”(如图3),那么平均数小于中位数.也就是说,和中位数相比,平均数总是在“长尾巴”那边.
2.由频率分布直方图估计总体的集中趋势问题4 某学校要定制高一年级的校服,学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计,高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示.如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格,那么在中位数、平均数和众数中,哪个量比较合适?试讨论用上表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.
为了更直观地观察数据的特征,我们用条形图来表示表中的数据(如下图所示).可以发现,选择校服规格为“165”的女生的频数最高,所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异,所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理.
从上述问题中,你能总结出平均数、中位数、众数各自的特点吗?
根据平均数、中位数、众数各自的特点,我们应如何选择适合的统计量来描述数据的集中趋势?一般地,对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述,可以用平均数、中位数;而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述,可以用众数.
探究 样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计,但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据.例如,我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图.这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数?你能以下面的频率分布直方图提供的信息为例,给出估计方法吗?
根据频率分布直方图如何来计算样本平均数?在频率分布直方图中,无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时,通常假设它们在组内均匀分布.
根据频率分布直方图如何计算样本中位数?
观察频率分布直方图,样本众数应该在哪个小矩形内?由此估计众数是多少?
上面计算的样本平均数为8.96,这个结果与根据原始数据计算的样本平均数8.79相差不大;中位数为6.71,这个结果与根据原始数据求得的中位数6.8很接近;众数为5.7,这个信息具有实际意义.
3.正确解读数据以上讨论了平均数、中位数和众数等特征量在刻画一组数据的集中趋势时的各自特点,并研究了用样本的特征量估计总体特征量的方法.那么,这种方法有什么不足呢?这些特征量有时会被利用而产生误导.
假设你到人力市场去找工作,有一个企业老板告诉你,“我们企业员工的年平均收入是20万元”,你如何理解这句话?这句话是真实的,但它可能描述的是差异巨大的实际情况.例如,可能这个企业的工资水平普遍较高,也就是员工年收入的中位数、众数与平均数差不多;也可能是绝大多数员工的年收入较低,而少数员工的年收入很高,在这种情况下,年收入的平均数就比中位数大得多.尽管在后一种情况下,用中位数或众数比用平均数更合理些,但这个企业的老板为了招揽员工,却用了平均数.所以,我们要强调“用数据说话”,但同时又要防止被误导.