2023-2024学年河北省唐山市遵化市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省唐山市遵化市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
2.一元二次方程x2−2x+1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
3.若，则的值为( )
A. 14B. 13C. 23D. 35
4.下列函数不是反比例函数的是( )
A. y=2x−1B. y=−x2C. xy=2D. y=−2x
5.关于反比例函数y=6x的图象与性质，下列说法正确的是( )
A. 图象分布在第二、四象限B. y的值随x值的增大而减小
C. 当x>−2时，y<−3D. 点(1,6)和点(6,1)都在该图象上
6.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为( )
A. 38°
B. 52°
C. 76°
D. 104°
7.点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为( )
A. 40°B. 100°C. 40°或140°D. 40°或100°
8.一个扇形的弧长是10π cm，面积是60π cm2，则此扇形的圆心角的度数是
( )
A. 300°B. 150°C. 120°D. 75°
9.已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A与⊙O的位置关系是( )
A. A在⊙O内B. A在⊙O上C. A在⊙O外D. 不能确定
10.正多边形的每个内角为108°，则它的边数是( )
A. 4B. 6C. 7D. 5
11.关于抛物线y=(x−1)2−2，下列说法中错误的是( )
A. 顶点坐标为(1,−2)B. 对称轴是直线x=1
C. 当x>1时，y随x的增大而减小D. 开口方向向上
12.用40cm的绳子围成一个的矩形，则矩形面积ycm2与一边长为xcm之间的函数关系式为( )
A. y=x2B. y=−x2+40xC. y=−x2+20xD. y=−x2+20
13.已知⊙O的半径是一元二次方程x2−2x−3=0的一个根，圆心O到直线l的距离d=4，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 平行
14.下列说法正确的是( )
A. 过平面内的三点可以确定一个圆B. 相等的圆周角所对的弧相等
C. 圆内接菱形是正方形D. 平分弦的直径垂直弦
15.如图，图①是一种携带方便的折叠凳子，图②是它的侧面图示，已知凳腿AD=BC=4分米，当凳腿AD与水平地面CD的夹角为α时人坐着最舒服，此时凳面AB离地面CD的高度为( )
A. 4sinα分米B. 4csα分米C. 4sinα分米D. 4csα分米
16.在平面直角坐标系中，点E(−4,2)，点F(−1,−1)，以点O为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为( )
A. (2,−1)或(−2,1)B. (8,−4)或(−8,4)C. (2,−1)D. (8,−4)
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是____________
18.已知平面直角坐标系中的三个点分别为A(1,−1)、B(−2,5)、C(4,−6)，则A、B、C这三个点______ 确定一个圆(填“可以”或“不可以”)．
19.如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h=20t−5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s.
三、解答题：本题共7小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
(1)解方程：2x2−3x=0；
(2)计算： 2cs45°−3tan260°+3 4．
21.(本小题10分)
老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图(图1)和不完整的扇形图(图2)，其中条形图被墨迹遮盖了一部分．
(1)求条形图中被遮盖的数，并写出册数的平均数、中位数、众数；
(2)全校共有1200名学生，求读书超过5册的学生的人数．
(3)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了______人．
22.(本小题12分)
如图直线y=2x+m与y=nx(n≠0)交于A，B两点，且点A的坐标为(1,4)．
(1)求此直线和双曲线的表达式；
(2)过x轴上一点M作平行于y轴的直线1，分别与直线y=2x+m和双曲线y=nx(n≠0)交于点P，Q，如果PQ=2QM，求点M的坐标．
23.(本小题10分)
如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=8，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒2个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒.当t为何值时，DP⊥AC？
24.(本小题10分)
如图：AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)如果：∠D=30°，BD=10，求：⊙O的半径．
25.(本小题11分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长．
26.(本小题12分)
为了传承红色教育，某学校组织学生网上游览中央红军长征出发地纪念园，门口的主题雕塑平面示意图如图所示，底座上方四边形GDEF的边DE与底座四边形ABCD的边AD在同一条直线上，已知AB/​/CD/​/EF，AD=BC=1.6米，∠FGC=∠A，雕塑的高为7.5米，底座梯形下底边AB长为8.6米，斜坡AD的坡度为3：1．

(1)判断四边形DEFG的形状；
(2)求底座四边形ABCD中CD的长度；
(3)若雕塑中弧PH所在圆的圆心为点D，且点P为边DE的三等分点，求弧PH的长度.(精确到0.1，sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3， 10≈3.2)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；
B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；
C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；
D、原来数据的方差=(1−2)2+2×(2−2)2+(3−2)24=12，
添加数字2后的方差=(1−2)2+3×(2−2)2+(3−2)25=25，故方差发生了变化．
故选：D．
依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可知Δ=(−2)2−4×1×1=0，
∴一元二次方程x2−2x+1=0有两个相等的实数根．
故选B．
本题考查一元二次方程的根的判别式．
根据根的判别式即可求出答案．
3.【答案】A
【解析】【分析】
根据得出b=3a，再代入进行计算即可得出答案．
【解答】
解：，
∴b=3a，
．
故选：A．
【点评】
本题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
4.【答案】B
【解析】解：A.y=2x−1是反比例函数，故本选项不符合题意；
B.y=−x2是正比例函数，不是反比例函数，故本选项符合题意；
C.xy=2是反比例函数，故本选项不符合题意；
D.y=−2x是反比例函数，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据反比例函数的定义逐个判断即可．
本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数，叫反比例函数．
5.【答案】D
【解析】解：A.k=6>0，图象分布在第一、三象限，故A说法不正确；
B.k=6>0，图象在第一、三象限内，在每一象限内，y随x增大而减小，故B说法错误；
C.k=6>0，图象在第一、三象限内，在每一象限内，y随x增大而减小，所以当−2D.当x=1时，y=6；x=6时，y=1，所以点(1,6)和点(6,1)都在该图象上，故D说法正确；
故选：D．
依据反比例函数图象的性质作答．
本题主要考查反比例函数图象的性质，关键是熟记函数图象在每个象限内如何变化．
6.【答案】C
【解析】解：∵OM=ON，
∴∠M=∠N=52°，
∴∠MON=180°−2×52°=76°．
故选：C．
根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等)．
7.【答案】C
【解析】解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，
∴∠A=40°，∠A′=140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°．
故选：C．
利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数．
此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
利用扇形面积公式求出R的值，再利用扇形面积公式计算即可得到圆心角度数．
【解答】
解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，
∴S=12lR，即60π=12R×10π，
解得：R=12，
∴S=60π=nπ×122360，
解得：n=150．
故选B．
9.【答案】A
【解析】解：因为OP=6cm，A是线段OP的中点，所以OA=3cm，小于圆的半径，因此点A在圆内．
故选：A．
知道OP的长，点A是OP的中点，得到OA的长与半径的关系，求出点A与圆的位置关系．
本题考查的是点与圆的位置关系，根据OP的长和点A是OP的中点，得到OA=3cm，与圆的半径相等，可以确定点A的位置．
10.【答案】D
【解析】解：方法一：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴每一个外角的度数为180°−108°=72°，
∴边数=360°÷72°=5，
方法二：设多边形的边数为n，
由题意得，(n−2)⋅180°=108°⋅n，
解得n=5，
所以，这个多边形的边数为5．
故选：D．
方法一：根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解；
方法二：设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°列方程求解即可．
本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【解答】
解：∵y=(x−1)2−2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1,−2)，对称轴为直线x=1，
∴x>1时，y随x的增大而增大．
故选：C．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查根据实际问题列出二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．
先根据矩形一边长为xcm，周长为40cm得出另一边长为20−x(cm)，再根据矩形的面积公式可得答案．
【解答】
解：∵矩形一边长为xcm，周长为40cm，
∴另一边长为40−2x2=20−x(cm)，
∴矩形的面积y=x(20−x)=−x2+20x，
故选：C．
13.【答案】C
【解析】解：∵x2−2x−3=0，
∴x1=−1，x2=3，
∵⊙O的半径为一元二次方程程x2−2x−3=0的根，
∴r=3，
∵d>r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故选：C．
先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
14.【答案】C
【解析】解：A、平面内，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故该选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故该选项不符合题意；
C、圆内接菱形是正方形，故该选项符合题意；
D、平分弦(弦不是直径)的直径垂直弦，故该选项不符合题意．
故选：C．
根据过不在同一直线上的三个点定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质、垂径定理即可对每一种说法的正确性作出判断．
本题考查了垂径定理、圆内接四边形的性质、圆周角定理和过不在同一直线上的三个点定理，准确掌握各种定理是解题的关键．
15.【答案】A
【解析】解：连接AC、BD，
∵AB/​/CD，AB=CD，AD=BC，
∴四边形ACDB为矩形，
∴∠ACD=90°，
∵∠ADC=α，AD=4分米，
∴AC=AD⋅sin∠ADC=4sinα(分米)，
故选：A．
连接AC、BD，根据矩形的性质得到∠ACD=90°，根据正弦的定义计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握矩形的判定定理和性质定理、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16.【答案】A
【解析】解：∵E(−4,2)，位似比为1：2，
∴点E的对应点E′的坐标为(2,−1)或(−2,1)．
故选A．
利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为(2,−1)或(−2,1)，注意分两种情况计算．
本题考查位似图形及相关概念，以及坐标与图形性质．
17.【答案】25(1+x)2=36
【解析】解：设这个增长率为x，
根据题意可得：25(1+x)2=36，
故答案为：25(1+x)2=36．
本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设这个增长率为x，根据“五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元”，即可得出方程．
本题为增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
18.【答案】能
【解析】解：能．理由如下：
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A(1,−1)，B(−2,5)代入得
k+b=−1−2k+b=5，
解得k=−2b=1，
所以直线AB的解析式为y=−2x+1，
当x=4时，y=−2x+1=−8+1=−7，
所以点C(4,−6)不在直线AB上，
即点A、B、C不共线，
所以过A、B、C这三个点能确定一个圆．
先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线AB上，然后根据确定圆的条件进行判断．
本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．会利用待定系数法求一次函数解析式．
19.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的应用有关知识，根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间．
【解答】
解：依题意，令h=0得：
0=20t−5t2，
得t(20−5t)=0，
解得t=0(舍去)或t=4，
即小球从飞出到落地所用的时间为4s．
故答案为4．
20.【答案】解：(1)2x2−3x=0，
x(2x−3)=0，
∴x=0或2x−3=0，
∴x1=0，x2=32；
(2) 2cs45°−3tan260°+3 4
= 2× 22−3×( 3)2+3×2
=1−9+6
=−2．
【解析】(1)利用因式分解法解方程即可；
(2)直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程和特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21.【答案】3
【解析】解：(1)∵被调查的总人数为6÷25%=24(人)，
∴5册的人数为24−(5+6+4)=9(人)，
平均数为(4×5+5×9+6×6+4×7)÷24=438(册)，
被抽查的学生读书册数的中位数是第12、13个数据的平均数，而第12、13个数据均为5册，
∴被抽查的学生读书册数的中位数为5册，
众数是5册，
答：条形图中被遮盖的数是9，册数的平均数是438册，中位数是5册，众数是5册；
(2)1200×6+424=500(人)，
答：全校读书超过5册的人数约为500人；
(3)∵4册和5册的人数和为14，中位数没有改变，
∴总人数不能超过27，即最多补查了3人，
故答案为：3．
(1)由6册人数及其所占百分比求出总人数，再根据各册数的人数和等于总人数可得5册人数；
(2)用1200乘以对应人数所占比例即可得；
(3)由4册和5册的人数和为14，中位数没有改变知总人数不能超过27，据此可得答案．
本题考查了概率公式，也考查了统计图和中位数，能从统计图中读取相关信息是解题关键．
22.【答案】解：(1)∵y=2x+m与y=nx(n≠0)交于A(1,4)，
∴4=2+m4=n，
∴m=2n=4，
∴直线的解析式为y=2x+2，反比例函数的解析式为y=4x．
(2)设M(a,0)，
∵l/​/y轴，
∴P(a,2a+2)，Q(a4a)，
∵PQ=2QD，
∴|2a+2−4a|=|2×4a|，
解得：a=2或a=−3，
∴M(−3,0)或(2,0)．
【解析】(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)设M(a,0)，表示出P(a,2a+2)，Q(a,4a)，根据PQ=2QD，列方程|2a+2−4a|=|2×4a|，解得a=2，a=−3，即可得到结果．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD/​/AB，
∴∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，
∴△APQ∽△CDQ；
(2)解：当t=2时，DP⊥AC；
∵∠ADC=90°，DP⊥AC，
∴∠AQD=∠AQP=∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠APQ=∠CAB+∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠ACB，
∴△DAP∽△ABC，
∴DAAB=APBC，
∴816=2t8
解得：t=2，
即当t=2时，DP⊥AC．
【解析】(1)根据矩形的性质可得CD/​/AB，根据平行线的性质可得∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，进而可得判定△APQ∽△CDQ；
(2)首先证明△DAP∽△ABC，结合相似三角形即可得到t的值．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例．
24.【答案】(1)证明：连接OC，如图；
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠DCB=∠A，
∴∠ACO=∠DCB．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACO+∠OCB=∠DCB+∠OCB，
即∠ACB=∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴OD=2OC，
∵OC=OB，
∴OC=OB=BD=10，即⊙O的半径为10．
【解析】(1)连OC，由直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再通过角度代换求出∠OCD=90°．
(2)由∠D=30°，得到OC与OD的关系OD=2OC，从而得到OB=BD．
熟练掌握圆的切线的判定定理．学会把证明切线的问题转化为证明直线垂直的问题．记住在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半．
25.【答案】解：(1)将A(−1,0)，B(3,0)代入y=x2+bx+c，
得：1−b+c=09+3b+c=0，
解得：b=−2c=−3,
∴该抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)∵抛物线的解析式为y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线的顶点F的坐标为(1,−4)，抛物线的对称轴为直线x=1．
当x=0时，y=02−2×0−3=−3，
∴点C的坐标为(0,−3)．
设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0)，
将B(3,0)，C(0,−3)代入y=mx+n，
得：3m+n=0n=−3，
解得：m=1n=−3，
∴直线BC的解析式为y=x−3．
当x=1时，y=1−3=−2，
∴点E的坐标为(1,−2)，
∴EF=|−2−(−4)|=2．
【解析】(1)根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
(2)利用二次函数的性质，可求出抛物线顶点F的坐标及抛物线的对称轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点B，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，结合点F的坐标，即可求出线段EF的长．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，求出点F，E的坐标．
26.【答案】解：(1)四边形DEFG是平行四边形．
理由如下：延长FG交AB于点Q，

∵AB/​/CD，
∴∠FGC=∠FQB，
∵∠FGC=∠A，
∴∠FQB=∠A，
∴FQ//EA，
∵CD/​/EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
(2)过点D，C分别作AB的垂线段DM，CN，
∵AB=BC，DC/​/AB，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴AM=BN，
∵斜坡AD的坡度为3：1，
∴可设AM=k米，DM=3k米，
在Rt△ADM中，
∵AM2+DM2=AD2，
∴(3k)2+k2=1.62，
解得k=1.6 10≈(米)(负的已舍)，
∴AM=BN=0.5米，DM=1.5米，
∴CD=AB−AM−BN=8.6−0.5−0.5=7.6(米)，
答：底座四边形ABCD中CD的长度约为7.6米；
(3)∵tan∠DAM=3：1，tan72°≈3，
∴∠DAM≈72°，
∵DC/​/AB，
∴∠PDH=∠DAM≈72°，
过点E作EI⊥AB交CD于点J，
∵AB/​/CD，
∴EJ⊥CD，
由题意，知EI=7.5米，IJ=DM=1.5米，
∵EJ=EI−IJ=7.5−1.5=6(米)，
在Rt△EDJ中，
∵sin∠EDJ=EJDE，
∴DE=EJsin∠EDJ=6sin72∘≈60.95≈6.32(米)，
∵点P为边DE的三等分点，
∴DP=23DE=23×6.32≈4.21(米)，
∴弧PH的长度=72π×4.21180≈5.3(米)，
答：弧PH的长度约为5.3米．
【解析】(1)根据平行四边形的定义可以判断其形状，并说明理由；
(2)过点D，C分别作AB的垂线段DM，CN，求出AM，BN即可求出CD；
(3)先求出DE，∠DAB，进而求出DP，∠PDH，再利用弧长公式计算即可．
本题考查平行四边形的判定，等腰梯形的性质，解直角三角形的应用−坡度坡角问题，弧长的计算，理解题意，灵活运用相关知识是解题的关键．