2023-2024学年湖南省长沙市开福区长雅中学八年级（上）入学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市开福区长雅中学八年级（上）入学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列调查方式，不适合使用全面调查的是( )
A. 旅客上飞机前的安检B. 航天飞机升空前的安检
C. 了解全班学生的体重D. 了解咸宁市中学生每天使用手机的时间
2.若x=−2y=1是关于x、y的方程x−ky=k的解，那么k的值是( )
A. −1B. 1C. −2D. 不存在
3.已知a>b，则下列结论中不一定成立的是( )
A. a−5>b−5B. 2a>2bC. ac>bcD. a−b>0
4.如图，在数轴上表示不等式组x−2>0x>1的解集，其中正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是
( )
A. 100°B. 110°C. 115°D. 120°
6.若点P(a,b)在第四象限，则点M(b−a,a−b)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：一百马，一百瓦，大马一个拖三个，小马三个拖一个，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为( )
A. x+y=1003x+3y=100B. x+y=100x+3y=100
C. x+y=1003x+13y=100D. x+y=1003x+y=100
8.如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )
A. ∠M=∠NB. AB=CDC. AM=CND. AM/​/CN
9.如图，在△ABC中，E、F分别是AD、CE边的中点，且S△ABC=8cm2，则S△BEF为( )
A. 4cm2
B. 3cm2
C. 2cm2
D. 1cm2
10.如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ//AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC−AQ=2SC，其中正确的是( )
A. ②③④B. ①②C. ①④D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.点A(−2,3)关于x轴的对称点B的坐标为______ ．
12.若方程组x=y+52x−y=5的解满足方程x+y+a=0，则a的值为______
13.若关于x的不等式(m−3)x<3−m的解集为x>−1，则m的取值范围为______ ．
14.已知：如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC=AE.若AB=5，则AD= ______ ．
15.如图，五边形ABCDE是正五边形，若直线a/​/b，则∠1−∠2的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程组：2x+3y=40x−y=−5
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式组5x−1>3(x+1)12x−1≥7−32x并把解集在数轴上表示出来．
18.(本小题8分)
如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线．
(1)在△BED中作BD边上的高．
(2)若△ABC的面积为20，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？
19.(本小题8分)
为调查七年级学生了解校园防欺凌知识的情况，小刚在主题班会后就本班学生对校园防欺凌知识的了解程度进行了一次调查统计：A：熟悉，B：较了解，C：知道．如下是他采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
(1)求该班共有多少名学生；
(2)在条形图中将表示“知道”的部分补充完整；
(3)在扇形统计图中，求“较了解”部分所对应的圆心角的度数；
(4)如果七年级共有460名同学，请你估算全年级对校园防欺凌知识“熟悉”的学生人数．
20.(本小题8分)
如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．
(1)求∠DCE的度数；
(2)试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．(不必证明)
21.(本小题8分)
如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°.A，C，D三点在同一直线上，连结BD，AE，并延长AE交BD于F．
(1)求证：△ACE≌△BCD．
(2)直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．
22.(本小题8分)
2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
23.(本小题8分)
若不等式(组)①的解集中的任意解都满足不等式(组)②，则称不等式(组)①被不等式(组)②“容纳”，其中不等式(组)①与不等式(组)②均有解.例如：不等式x>1被不等式x>0“容纳”；
(1)下列不等式(组)中，能被不等式x<−3“容纳”的是______ ；
A.3x−2<0
B.−2x+2<0
C.−19<2x<−6
D.3x<−84−x<3
(2)若关于x的不等式3x−m>5x−4m被x≤3“容纳”，求m的取值范围；
(3)若关于x的不等式a−22a+3“容纳”，若M=5a+4b+2c且a+b+c=3，3a+b−c=5，求M的最小值．
24.(本小题8分)
如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，
(1)求C点的坐标；

(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP−DE的值；

(3)如图3，已知点F坐标为(−2,−2)，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负半轴交于点G(0,m)，FH与x轴正半轴交于点H(n,0)，当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m−n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、对旅客上飞机前的安检是事关重大的调查，适合普查，故A不符合题意；
B、航天飞机升空前的安全检查是事关重大的调查，适合普查，故B不符合题意；
C、了解全班学生的体重适合普查，故C不符合题意；
D、了解咸宁市中学生每周使用手机所用的时间适合抽样调查，故D符合题意；
故选：D．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2.【答案】A
【解析】解：∵x=−2y=1是关于x、y的方程x−ky=k的解，
∴−2−k=k，
∴k=−1．
故选：A．
把x=−2y=1代入关于x、y的方程x−ky=k，求出k的值是多少即可．
此题主要考查了二元一次方程的解，要熟练掌握，采用代入法即可．
3.【答案】C
【解析】解：根据不等式的性质，
A.不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，a−5>b−5，正确；
B.不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，2a>2b，正确；
C.不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，不能确定c的符号，故 ac>bc，错误；
D.不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，a−b>0，正确．
故选：C．
根据已知不等式确定出结论不成立的即可．
本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：x−2>0 ②x>1 ①，
∵由①得x>1，
由②得x>2，
∴不等式组的解是x>2．
在数轴上表示为：
，
故选：B．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可判断．
本题考查的是解一元一次不等式组．，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°；
根据三角形内角和定理计算．
【解答】解：∠ABC=50°，∠ACB=80°，
BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=25°，∠PCB=40°，
∴∠BPC=115°．
故选C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特点，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−).点P在第四象限的横坐标是正数，纵坐标是负数，可得a，b的取值范围，进而可判断出点M的位置．
【解答】
解：∵点P(a,b)在第四象限，
∴a>0，b<0，
∴b−a<0，a−b>0，
∴点M(b−a,a−b)在第二象限，
故选B．
7.【答案】C
【解析】解：由题意得：
x+y=1003x+13y=100，
故选：C．
根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
8.【答案】C
【解析】【分析】
全等三角形的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，HL，根据三角形全等的判定定理，逐条验证即可。
【解答】
解：A、∠M=∠N，在△ABM与△CDN中，∵∠M=∠N，MB=ND，∠MBA=∠NDC，∴△ABM≌△CDN(ASA)
能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；
B、AB=CD，在△ABM与△CDN中，∵MB=ND，∠MBA=∠NDC，AB=CD ∴△ABM≌△CDN(SAS)
能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；
C、根据条件AM=CN，MB=ND，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故C选项符合题意；
D、AM/​/CN，得出∠MAB=∠NCD，在△ABM与△CDN中，∵∠MAB=∠NCD，∠MBA=∠NDC，MB=ND， ∴△ABM≌△CDN(AAS)
能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意。
故选C．
9.【答案】C
【解析】解：∵点E是AD的中点，
∴S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，
∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=12S△ABD+12S△ACD=12(S△ABD+S△ACD)=12S△ABC，
∵F是CE的中点，
∴S△BEF=12S△BEC=12×12S△ABC=12×12×8=2cm2．
故选：C．
根据“点E是AD的中点”求出S△BCE=12S△ABC，再根据“F是CE的中点”求出S△BEF==12S△BEC，即可求得S△BEF．
本题考查的是三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解决本题的关键.做题时要注意添加适当的辅助线．
连接AP，由三角形全等的判定得Rt△APR≌Rt△APS，得AS=AR，∠1=∠2，由平行线的性质可得∠2=∠3，进而得到∠1=∠3，得QP=AQ，答案可得．
【解答】
解：连接AP，
∵PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，PR=PS，
在Rt△APR与Rt△APS中，
PR=PSAP=AP
∴Rt△APR≌Rt△APS，
∴AS=AR，∠1=∠2，
又QP/​/AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AQ=PQ，
没有办法证明△PQR≌△CPS，③不成立，
没有办法证明AC−AQ=2SC，④不成立．
故选B．
11.【答案】(−2,−3)
【解析】解：∵A(−2,3)与点B关于x轴对称，
∴对称点B的坐标是(−2,−3)．
故答案为：(−2,−3)．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于x轴的对称点的坐标是(x,−y)，据此即可求得点(−2,−3)关于x轴对称的点的坐标．
本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
12.【答案】5
【解析】解：x=y+52x−y=5，
①代入②，得：2(y+5)−y=5，解得y=−5，
将y=−5代入①得，x=0；
故x+y=−5，代入方程x+y+a=0中，得：
−5+a=0，即a=5．
故a的值为5．
首先解方程组求得x、y的值，然后代入方程中即可求出a的值．
此题主要考查的是二元一次方程组的解法以及方程解的定义．
13.【答案】m<3
【解析】解：不等式(m−3)x<3−m的解集为x>−1，
∴m−3<0，
m<3．
故答案为：m<3．
根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的解集，由不等号方向改变，得出未知数的系数小于0．
14.【答案】5
【解析】解：∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，
∴∠C=∠AED=90°，∠CAB+∠B=90°，
∵AD⊥AB于A，
∴∠CAB+∠EAD=90°，
∴∠B=∠EAD(同角的余角相等)，
∵BC=AE，
∴△ABC≌△DAE(ASA)，
∴AD=AB=5．
故填：5．
此题可根据已知条件用ASA证明△ABC≌△DAE，则AD=AB=5．
此题主要利用ASA判定直角三角形全等，还有同角的余角相等的性质，做题时要注意应用条件．
15.【答案】72°
【解析】解：如图，AB的延长线交b于点M，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形ABCDE的每个外角相等．
∴∠MBC=360°5=72°．
∵a/​/b，
∴∠2=∠BMD，
∵∠1=∠BMD+∠MBC，
∴∠1−∠BMD=∠1−∠2=∠MBC=72°．
故答案为：72°．
由a/​/b，得∠2=∠BMD.由∠1=∠BMD+∠MBC，得∠1−∠BMD=∠1−∠2=∠MBC.欲求∠1−∠2，需求∠MBC.由正五边形的性质，得∠MBC=72°，从而解决此题．
本题主要考查多边形内角与外角、三角形外角的性质以及平行线的性质，熟练掌握正多边形的性质是解决本题的关键．
16.【答案】解：2x+3y=40 ①x−y=−5 ②，
①+②×3得：5x=25，
解得：x=5，
把x=5代入①得：y=10，
则方程组的解为x=5y=10．
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
17.【答案】解：5x−1>3(x+1)①12x−1≥7−32x②，
解不等式①得，x>2，
解不等式②，x≥4，
所以，原不等式组的解集为x≥4，
在数轴上表示为：
．
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
18.【答案】解：(1)如图所示：
(2)∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=12S△ABC，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△BED=12S△ABD，
∵△ABC的面积为20，
∴△EBD的面积是20÷4=5，
∴12⋅DB⋅EH=5，
∴12×5⋅EH=5，
EH=2．
即点E到BC边的距离为2．
【解析】(1)根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
(2)首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得△EBD的面积是5，再利用三角形的面积公式进而得到EH的长．
此题主要考查了复杂作图，以及三角形中线的性质，关键是掌握中线把三角形的面积分成相等的两部分．
19.【答案】解：(1)∵20÷50%=40，
∴该班共有40名学生；
(2)表示知道的人数为40−20−12=8人，补全条形图如下：
(3)“较了解”部分所对应的圆心角的度数为360°×1240=108°；
(4)460×50%=230(人)，
答：全年级对校园防欺凌知识“熟悉”的学生人数为230人．
【解析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图则能直接反映部分占总体的百分比大小．
(1)利用A所占的百分比和相应的人数即可求出；
(2)根据各了解程度的人数之和等于总人数求出C的人数，然后补充条形统计图即可；
(3)求出“较了解”部分的占比，即可求出“较了解”部分所对应的圆心角的度数；
(4)利用样本估计总体求解可得．
20.【答案】解：(1)∵∠A=40°，∠B=72°，
∴∠ACB=68°
∵CD平分∠ACB
∴∠DCB=12∠ACB=34°
∵CE是AB边上的高
∴∠ECB=90°−∠B=90°−72°=18°
∴∠DCE=34°−18°=16°
(2)∠DCE=12(∠B−∠A)．
【解析】本题求的是∠DCE的度数，由图示知∠DCE=∠DCB−∠ECB，又由角平分线定义得∠DCB=12∠ACB，然后利用内角和定理，分别求出∠ECB与∠ACB即可．
本题主要考查三角形内角和定理、角平分线及高线性质，解答的关键是沟通未知角和已知角的关系．
21.【答案】(1)证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
∴AC=BC，CE=CD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)；
(2)解：直线AE与BD互相垂直，理由如下：
由(1)可知，△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠DBC，
又∵∠DBC+∠CDB=90°，
∴∠EAC+∠CDB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AF⊥BD，
即直线AE与BD互相垂直．
【解析】(1)根据SAS判定△ACE≌△BCD即可；
(2)由全等三角形的性质得∠EAC=∠DBC，再根据角之间的关系证得AF⊥BD即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，
2x+3y=315x+6y=70，
解得x=8y=5．
即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨；
(2)由题意可得，
设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为x辆、y辆，
x+y=208x+5y≥148y≥2,
解得x=18y=2或x=17y=3或x=16y=4，
故有三种派车方案，
第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆；
第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆；
第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆．
【解析】(1)根据题意可以得到相应的二元一次方程，从而可以求得一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨；
(2)根据题意可以列出相应的关系式，从而可以求得有几种方案．
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23.【答案】C
【解析】解：(1)∵不等式A的解集为：x<23，
∴A不符合题意；
∵不等式B的解集为：x>1，
∴B不符合题意；
∵不等式C的解集为：−192∴C符合题意；
∵不等式组D的解集为：无解，
∴D不符合题意；
综上，能被不等式x<−3“容纳”的是：C．
故答案为：C；
(2)解不等式3x−m>5x−4m得x<3m2，
∵不等式3x−m>5x−4m被x≤3“容纳”，
∴3m2≤3，
∴m≤2；
(3)∵不等式a−22a+3“容纳”，
∴−2a−3>a−22a+3≤a−2，
解得a≤−5，
又∵a+b+c=33a+b−c=5，
解得b=4−2ac=a−1，
∴M=5a+4b+2c=−a+14，
∵a≤−5，
∴M≥19，
∴M的最小值是19．
(1)求出每一个不等式的解集，利用题干的新定义解答即可；
(2)求出关于x的不等式的解集，根据题干的新定义列出关于m的不等式即可求解；
(3)解关于x的不等式a−2本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组及其应用．本题是阅读型题目，准确理解新定义并正确应用是解题的关键．
24.【答案】解：(1)过C作CM⊥x轴于M点，如图1，
∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°
则∠MAC=∠OBA
在△MAC和△OBA中∠CMA=∠AOB=90°∠MAC=∠OBAAC=BA
则△MAC≌△OBA(AAS)
则CM=OA=2，MA=OB=4，则点C的坐标为(−6,−2)；
(2)过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP−DE=PQ，∠APO+∠QPD=90°
∠APO+∠OAP=90°，则∠QPD=∠OAP，
在△AOP和△PDQ中∠AOP=∠PQD=90°∠QPD=∠OAPAP=PD
则△AOP≌△PDQ(AAS)
∴OP−DE=PQ=OA=2；
(3)结论②是正确的，m+n=−4，
如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，
则FS=FT=2，∠FHS=∠HFT=∠FGT，
在△FSH和△FTG中∠FSH=∠FTG=90°∠FHS=∠FGTFS=FT
则△FSH≌△FTG(AAS)
则GT=HS，
又∵G(0,m)，H(n,0)，点F坐标为(−2,−2)，
∴OT═OS=2，OG=|m|=−m，OH=n，
∴GT=OG−OT=−m−2，HS=OH+OS=n+2，
则−2−m=n+2，
则m+n=−4．
【解析】(1)要求点C的坐标，则求C的横坐标与纵坐标，因为AC=AB，则作CM⊥x轴，即求CM和AM的值，容易得△MAC≌△OBA，根据已知即可求得C点的值；
(2)求OP−DE的值则将其放在同一直线上，过D作DQ⊥OP于Q点，即是求PQ的值，由图易求得△AOP≌△PDQ(AAS)，即可求得PQ的长；
(3)利用(2)的结论，可知m+n为定长是正确的，过F分别作x轴和y轴的垂线，类似(2)，即可求得m+n的值．
本题考查了三角形全等的判定和性质；熟记三角形全等的求法，尤其是Rt△，数形结合是重要的解题方法，同学们一定要学会应用．