2023-2024学年上海市杨浦高级中学高一(上)期末数学试卷(含解析)
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这是一份2023-2024学年上海市杨浦高级中学高一(上)期末数学试卷(含解析),共12页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.如果a>b>0,那么下列式子中一定成立的是( )
A. 1a>1bB. a20,则“2023a+2024b+12023a+12024b=4”是“(2023a+2024b)(12023a+12024b)=4”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
4.中国传统文化中很多内容体现了数学中的“对称美”,太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义图象能够将圆O(O为坐标原点)的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”,给出下列命题:
①对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个;
②函数f(x)=ln( x2+1−x)可以是某个圆O的“太极函数”;
③函数f(x)=x23可以同时是无数个圆O的“太极函数”;
④函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为y=f(x)的图象是中心对称图形.
其中正确结论的序号是( )
A. ①②B. ①②④C. ①③D. ①④
二、填空题:本题共10小题,每小题4分,共40分。
5.若全集U=N,A={x|x>2,x∈N},则用列举法表示集合A−= ______ .
6.2024°角的终边在第______ 象限.
7.在平面直角坐标系xOy中,已知角θ的始边是x轴的非负半轴,终边经过点P(1,2),则tanθ= ______ .
8.已知lg2=a,lg3=b,则lg18= ______ .
9.若x∈R,|x+1|+|x−3|的最小值是______.
10.已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=x−4lg2x,用二分法计算此函数在区间[1,3]上零点的近似值,第一次计算f(1)、f(3)的值,第二次计算f(x1)的值,第三次计算f(x2)的值,则x2=______.
11.已知函数f(x)=(m2−5m+7)xm(x≠0)是幂函数,其图像分布在第一、三象限,则m= ______ .
12.不等式(a−2)x2+4(a−2)x−127在(−∞,∞)上是严格增函数,则实数a的取值范围是______ .
14.给机器人输入一个指令(m,2m+48)(其中常数m>0)后,该机器人在坐标平面上先面向x轴正方向行走m个单位距离,接着原地逆时针旋转90°后再面向y轴正方向行走2m+48个单位距离,如此就完成一次操作.已知该机器人的安全活动区域满足x≤6y∈R,若开始时机器人在函数f(x)=2x图象上的点P处面向x轴正方向,经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点Q处,且点Q恰好也在函数y=f(x)图象上,则m= ______ .
三、解答题:本题共5小题,共48分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
设全集为R,集合A={x|x−3x+20可得a2>b2,B错误;
由a>b>0可得ab>1,C错误;
由a>b>可得a2>ab,D正确.
故选:D.
结合不等式的性质检验各选项即可判断.
本题主要考查了不等式性质在不等式大小比较中的应用,属于基础题.
2.【答案】B
【解析】解:利用反证法证明,应先假设结论不成立,即假设a,b都不小于0.
故选:B.
由反证法的定义即可选出答案.
本题主要考查反证法的应用,属于基础题.
3.【答案】A
【解析】解:因为2023a+12023a≥2 2023a⋅12023a=2,当且仅当a=12023时取等号,
2024b+12024b≥2 2024b⋅12024b=2,当且仅当b=12024时取等号,
所以2023a+2024b+12023a+12024b=4时,必有a=12023,b=12024,
所以(2023a+2024b)(12023a+12024b)=4成立,
所以由2023a+2024b+12023a+12024b=4,可推出(2023a+2024b)(12023a+12024b)=4,
因为(2023a+2024b)(12023a+12024b)=2+2023a2024b+2024b2023a
≥2+2 2023a2024b⋅2024b2023a=4,
当且仅当2023a2024b=2024b2023a,即2023a=2024b时取等号,
所以当(2023a+2024b)(12023a+12024b)=4时,必有2023a=2024b成立,
此时a=12023,b=12024不一定成立,
所以由(2023a+2024b)(12023a+12024b)=4推不出2023a+2024b+12023a+12024b=4,
所以“2023a+2024b+12023a+12024b=4”是“(2023a+2024b)(12023a+12024b)=4”的充分非必要条件.
故选:A.
根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断即可.
本题考查了充分必要条件,考查不等式问题,是中档题.
4.【答案】A
【解析】解:①中,过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分,
所以对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个,①正确.
②, x2+1> x2=|x|≥x,所以f(x)=ln( x2+1−x)的定义域为R,f(−x)=ln( x2+1+x)=ln( x2+1+x)( x2+1−x) x2+1−x=ln1 x2+1−x=−ln( x2+1−x)=−f(x),所以f(x)是定义在R上的奇函数,
图象关于原点对称,f(x)=ln( x2+1−x)=ln( x2+1−x)( x2+1+x) x2+1+x=ln1 x2+1+x,
所以f(x)=ln( x2+1−x)在R上递减,
f(x)=ln( x2+1−x)是太极函数,②正确.
③,函数f(x)=x23=3x2,f(x)的定义域为R,f(−x)=3(−x)2=3x2=f(x),所以f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,
所以函数f(x)=3x2不是某个圆的太极函数.
④,y=1x是奇函数,图象关于原点对称,但y=1x不是太极函数,
所以④错误.
所以正确的为①②.
故选:A.
根据“太极函数”的定义对选项进行分析,从而确定正确答案.
本题考查太极函数的对称性的应用,属于中档题.
5.【答案】{0,1,2}
【解析】解:因为A={x|x>2,x∈N},
所以A−={x|x≤2,x∈N},
所以A−={0,1,2},
故答案为:{0,1,2}.
先用描述法求出A−,进而采用列举法求出A−.
本题考查补集的计算,属于基础题.
6.【答案】三
【解析】解:因为2024°=5×360°+224°,
因为224°为第三象限角,
故2024°角的终边在第三象限角.
故答案为:三.
结合终边相同角的表示及象限角的定义即可判断.
本题主要考查了终边相同角的表示及象限角的判断,属于基础题.
7.【答案】2.
【解析】解:依题意,tanθ=21=2.
故答案为:2.
根据三角函数的定义求得正确答案.
本题考查任意角三角函数的定义,属于基础题.
8.【答案】a+2b
【解析】解:∵lg2=a,lg3=b,
∴lg18=lg(2×9)=lg2+lg9=lg2+2lg3=a+2b.
故答案为:a+2b.
把18分解为2×9,然后直接利用对数的运算性质展开,代入lg2=a,lg3=b得答案.
本题考查了对数的运算性质,是基础的会考题型.
9.【答案】4
【解析】解:∵|x+1|+|x−3|≥|(x+1)−(x−3)|=|4|=4,
当且仅当(x+1)⋅(x−3)≤0,即−1≤x≤3时,等号成立,∴|x+1|+|x−3|的最小值为4.
故答案为:4
直接根据绝对值不等式求解|x+1|+|x−3|的最小值即可.
本题主要考查了绝对值的几何意义的应用,属于基础题.
10.【答案】32
【解析】解:二分法计算此函数在区间[1,3]上零点的近似值,
第一次计算f(1)、f(3)的值,
f(x)=x−4lg2x,则f(1)=1>0,f(3)=3−4lg230、m为奇数,由此求得m的值.
本题主要考查幂函数的定义和性质,属于基础题.
12.【答案】(−1,2]
【解析】解:当a=2时,原不等式为−12
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