2023-2024学年上海师大附中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海师大附中高二（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是( )
A.
B.
C.
D.
2.设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若l/​/α，l/​/β，则α/​/βB. 若l/​/α，l⊥β，则α⊥β
C. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD. 若α⊥β，l/​/α，则l⊥β
3.如图所示，已知直线y=kx与曲线y=f(x)相切于两点，函数g(x)=kx+m(m>0)，则对函数F(x)=g(x)−f(x)描述正确的是( )
A. 有极小值点，没有极大值点
B. 有极大值点，没有极小值点
C. 至少有两个极小值点和一个极大值点
D. 至少有一个极小值点和两个极大值点
4.如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是
( )
A. 直线B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线的一支
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，则其准线方程为______．
6.直线m与平面α所成角为60°，则m与平面α内任意直线所成角的取值范围是______ ．
7.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其对角线的长为______ ．
8.若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 ．
9.如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是______．
10.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC= 3,AA1=1，则点B1到平面A1BC的距离为______ ．
12.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD−A1B1C1D1与正四棱锥O−A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1=______．
13.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为 ．
14.空间中有三个点A，B，C，且AB=BC=CA=1，在空间中任取2个不同的点，使得它们与A，B，C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______ 种.
15.能使得命题“曲线x29−y2a2=1(a≠0)上存在四个点A，B，C，D满足四边形ABCD是正方形”为真命题的一个实数a是______ ．
16.三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角P−ABC是由公共端点P且不共面的三条射线PA、PB、PC以及相邻两条射线之间的平面部分组成的图形.设∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，平面APC与平面BPC所成的角为θ，由三面角余弦定理得csθ=csγ−csα⋅csβsinα⋅sinβ.在三棱锥P−ABC中，PA=6，∠APC=60°，∠BPC=45°，∠APB=90°，PB+PC=6，则三棱锥P−ABC体积的最大值为______ ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是BC的中点，O为底面中心，∠SHO=60°．
(1)求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；
(2)求六棱锥的表面积和体积．
18.(本小题14分)
(1)如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使水杯与水平桌面成30°，此时水杯内成椭圆形，求椭圆的离心率；
(2)如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知∠AOC=π3，OA=2，圆柱的高为5，若点D在圆柱表面上运动，且满足BC⊥AD，求点D的轨迹所围成的图形面积．
19.(本小题14分)
(1)“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为1m的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中OP是该圆锥的高，求该圆锥的体积；
(2)“老六”将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形ABCD的面积．
20.(本小题18分)
如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为6，点P在该正方体的表面上运动．

(1)若AP=6 2，求点P的轨迹长度；
(2)已知P到三个平面ABCD、ADD1A1、ABB1A1中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，求满足条件的点P个数；
(3)若点M是线段BC的中点，P是正方形DCC1D1(包括边界)上运动，且满足∠APD=∠MPC，求点P的轨迹长度．
21.(本小题18分)
已知抛物线Γ：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F倾斜角为θ的直线l交抛物线于A、B两点.点A在x轴上方，点B在x轴下方．
(1)求证：|BF|=p1+csθ；
(2)若θ≥π4，试求|FA|的取值范围；
(3)如图，过焦点F作互相垂直的弦AB、CD，若△ACF与△BDF的面积之和最小值为32，求抛物线的方程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；
当截面与轴截面平行时，得到的形状为长方形；
当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状是椭圆；
所以截面的形状不可能是等腰梯形．
故选：D．
根据从不同角度截得几何体的形状判断出正确选项．
本题考查几何体的截面形状，考查空间想象能力，属基础题．
2.【答案】B
【解析】解：设l是直线，α，β是两个不同的平面，
对于A，若l/​/α，l/​/β，则α与β相交或平行，故A错误；
对于B，若l/​/α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；
对于C，若α⊥β，l⊥α，则l与β平行或l⊂β，故C错误；
对于D，若α⊥β，l/​/α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D正确．
故选：B．
对于A，α与β相交或平行；对于B，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于C，l与β平行或l⊂β；对于D，l与β相交、平行或l⊂β．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
3.【答案】C
【解析】解：∵g(x)=kx+m(m>0)，∴F(x)=kx+m−f(x)，则F′(x)=k−f′(x)，
直线y=kx与曲线y=f(x)相切于两点，设两切点横坐标分别为x1，x2，且x1