第05讲 统计与概率-【复习】高一数学寒假衔接讲义练习（人教B版 必修第二册）

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【易错点总结】
一、数据的收集与直观表示
1.总体、个体、样本与样本容量
考察问题涉及的对象全体是总体，总体中每个对象是个体，抽取的部分对象组成总体的一个样本，一个样本中包含的个体数目是样本容量.
2.普查与抽样调查
(1)普查：一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称为全面调查).
(2)抽样调查：只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查.
3.简单随机抽样
(1)定义：一般地，简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体.
(2)两种常用方法：抽签法，随机数表法.
4.分层抽样
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).
5.数据的直观表示
(1)常见的统计图表有柱形图、折线图、扇形图、茎叶图、频数分布直方图、频率分布直方图等.
(2)频率分布直方图
①作频率分布直方图的步骤
(ⅰ)找出最值，计算极差：即一组数据中最大值与最小值的差；
(ⅱ)合理分组，确定区间：根据数据的多少，一般分5～9组；
(ⅲ)整理数据：
逐个检查原始数据，统计每个区间内数的个数(称为区间对应的频数)，并求出频数与数据个数的比值(称为区间对应的频率)，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间；
(ⅳ)作出有关图示：
根据上述整理后的数据，可以作出频率分布直方图，如图所示.频率分布直图的纵坐标是eq \f(频率,组距)，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1.
②频率分布折线图
作图的方法都是：把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来.为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的.
不难看出，虽然作频率分布直方图过程中，原有数据被“压缩”了，从这两种图中也得不到所有原始数据.但是，由这两种图可以清楚地看出数据分布的总体态势，而且也可以得出有关数字特征的大致情况.比如，估计出平均数、中位数、百分位数、方差.当然，利用直方图估计出的这些数字特征与利用原始数据求出的数字特征一般会有差异.
二、数据的数字特征
1.数据的数字特征
(1)最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况.
(2)平均数
①定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn).
这一公式在数学中常简记为eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xi，
②性质：一般地，利用平均数的计算公式可知，如果x1，x2，…，xn的平均数为x，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为aeq \(x,\s\up6(－))＋b.
(3)中位数
有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称eq \f(xn＋xn＋1,2)为这组数的中位数.
(4)百分位数
①定义：一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值.
②确定方法：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取eq \f(xi＋xi＋1,2)为p%分位数.
(5)众数
一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
(6)极差、方差与标准差
①极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差，描述了这组数的离散程度.
②方差
定义：如果x1，x2，…，xn的平均数为x，则方差可用求和符号表示为s2＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－eq \(x,\s\up6(－))2.
性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
③标准差
定义：方差的算术平方根称为标准差.一般用s表示，即样本数据x1，x2，…，xn的标准差为s＝eq \r(\f(1,n)\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－x）2).
性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的标准差为|a|s.
2.用样本的数字特征估计总体的数字特征
一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法合理，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可.
三、随机事件、评率与概率
1.事件的关系
2.事件的运算
3.用频率估计概率
一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为eq \f(m,n)，其中，m是n次重复试验事件A发生的次数，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为eq \f(m,n).
古典概型
1.古典概型
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.
2.古典概型的概率公式
古典概型中，假设样本空间含有n个样本点，如果事件C包含有m个样本点，则P(C)＝eq \f(m,n).
3.概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
【考点剖析】
考点一：统计
1．某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的第80百分位数为（ ）
A．91B．92C．93D．93.5
【答案】D
【详解】数据从小到大为，而，
所以第80百分位数为.
故选：D
2．北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会，南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事．之前，为助力冬奥，提高群众奥运法律知识水平和文明素质，某市有关部门开展冬奥法律知识普及类线上答题，共计30个题目，每个题目2分满分60分，现从参与线上答题的市民中随机抽取1000名，将他们的作答成绩分成6组，并绘制了如图所示的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，可估计这次线上答题成绩的平均数为（ ）
A．33B．34C．35D．36
【答案】B
【详解】由题图，.
故选：B
3．是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）
A．这天中有天空气质量为一级B．这天中日均值最高的是11月5日
C．从日到日，日均值逐渐降低D．这天的日均值的中位数是
【答案】D
【详解】由图易知：第3,8,9,10天空气质量为一级，故A正确，11月5日日均值为82，显然最大，故B正确，从日到日，日均值分别为：82,73,58,34,30，逐渐降到，故C正确，中位数是，所以D不正确，故选D.
考点二：概率
4．下列事件是必然事件的是（ ）
A．在标准大气压下，水加热到时会沸腾
B．实数的绝对值不小于零
C．某彩票中奖的概率为，则买10000张这种彩票一定能中奖
D．连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上
【答案】B
【详解】因为在标准大气压下，水加热到才会沸腾，所以A不是必然事件；
因为实数的绝对值不小于零，所以B是必然事件；
因为某彩票中奖的概率为，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即C不是必然事件；
抛掷骰子，每一面出现都是随机的，所以D是随机事件．
故选：B．
5．由于夏季某小区用电量过大，据统计一般一天停电的概率为0.2，现在用数据0，9表示停电；用1、2、3、4、5、6、7、8表示当天不停电，（那么使用随机模拟方法得到以下30个数据），
38 21 79 14 56 74 06 89 53 90 14 57 62 30 93
78 63 44 71 28 67 03 53 82 47 63 10 94 29 43
那连续两天中恰好有一天停电的概率为（ ）
A．0.260B．0.300C．0.320D．0.333
【答案】B
【详解】连续两天中恰好有一天停电的情况有：
79 06 89 30 93 03 10 94 29
共9种，
所以连续两天中恰好有一天停电的概率为，
故选：B
6．孪生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数．那么在不超过12的素数中任意取出不同的两个，则能组成孪生素数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】不超过12的素数有：2,3,5,7,11共5个，
任意取出不同的两个素数有：共10对，
又素数对为孪生素数，所以不超过12的素数组成的孪生素数有：共2对，
所以能够组成孪生素数的概率为.
故选：B
考点三：统计与概率的应用
7．已知与满足，若的中位数为6，则的中位数为（ ）
A．6B．12C．15D．24
【答案】C
【详解】解：记 为的中位数，为中对应的中位数
因为，，
所以为
故选C.
8．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图所示，，，，，的面积分别为，，．
将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点．
记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以．
故选：D．
9．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设甲、乙获一等奖的概率分别是，不获一等奖的概率是，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：.
故选：D
【基础过关】
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．某事件发生的频率为
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
【答案】B
【详解】解：对于A，事件发生的频率为，故A错误；
对于B，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故B正确；
对于C，小概率事件是指发生可能性极小的事件，是可能发生的，并不是不可能发生的事件，大概率事件就是发生可能性很大的事件，也可能不发生，并不是必然要发生的事件，故C错误；
对于D，概率是稳定值，是频率的理想值，并不会随着频率变化而变化，故与试验次数无关，故D错误.
故选：B.
2．某校高三（1）班有56名学生，学号为01到56，现采用随机数表法从该班抽取8名学生参与问卷调查，已知随机数表中第2行和第3行的各数如下：
98 29 32 60 57 34 81 32 08 92 15 64 59 72 08 26
75 90 86 73 51 98 75 81 70 09 16 21 80 89 79 30
若从随机数表的第2行第5列的数开始向右读，则抽取的第6名学生的学号是（ ）
A．08B．26C．51D．09
【答案】C
【详解】由题意可知抽取的学生的学号依次为32，34，08，15，26，51，09，16，
则抽取的第6名学生的学号是51.
故选：C.
3．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件及的概率分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【详解】，，．因为事件A，B，C两两互斥，则．．
故选：A.
4．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，所有的情况有(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)共8种，
“3次跳动后，恰好是沿着饕餐纹的路线到达点B”的情况有 (下，下，右)共1种，
由古典概型的概率公式可知,
故选:B
5．下列命题正确的是（ ）
A．事件、满足，则、是对立事件
B．互斥事件一定是对立事件
C．若事件、、两两互斥，则
D．若为不可能事件，则
【答案】D
【详解】对于A选项，例如，在编号为、、、、的小球中任取一球，
定义事件所抽小球的编号不小于，定义事件所抽小球编号不小于，
则，且，A错；
对于B选项，互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，B错；
对于C选项，若事件、、两两互斥，则，C错；
对于D选项，若为不可能事件，则，D对.
故选：D
6．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为，且前两局以领先，则最后甲获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】最后甲获胜含3种情况：①第三局甲胜，概率为；
②第三局乙胜，第四局甲胜，概率为；
③第三局和第四局乙胜，第五局甲胜，概率为．
所以最后甲获胜的概率为．
故选：D
7．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立D．
【答案】C
【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则，A不正确；
事件B含有的基本事件有8个：，
其中事件发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；
抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，
即事件A与事件B相互独立，C正确；
，D不正确.
故选：C
8．已知A和B是随机试验E中的两个随机事件，事件，下列选项中正确的是（ ）
A．A与B互斥B．A与C互斥
C．A与B相互独立D．A与C相互独立
【答案】C
【详解】由题知，，因为，故A错误；
因为，A发生时C一定发生，故B错误；
因为，所以，
又，所以，故C正确；
因为，所以，由，，故D错误.
故选：C
二、多选题
9．最近几个月，新冠肺炎疫情又出现反复，各学校均加强了疫情防控要求，学生在进校时必须走测温通道，每天早中晚都要进行体温检测并将结果上报主管部门.某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．甲同学体温的极差为0.4℃
B．乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数相等
C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D．甲同学体温的第60百分位数为36.4℃
【答案】ABC
【详解】观察折线图知，甲同学体温的极差为0.4℃，A正确；
乙同学体温从小到大排成一列：36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，
乙同学体温的众数为36.4℃，中位数为36.4℃，平均数℃，B正确；
乙同学的体温波动较甲同学的小，极差为0.2℃，也比甲同学的小，因此乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C正确；
将甲同学的体温从小到大排成一列：36.2℃，36.2℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，
因，则甲同学体温的第60百分位数为36.5℃，D不正确.
故选：ABC
10．某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男、女同学各50人进行研究，对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把测评结果转化为个人的素养指标x和y，制成下图，其中“*”表示男同学，“+”表示女同学．
若，则认定该同学为“初级水平”；若，则认定该同学为“中级水平”；若，则认定该同学为“高级水平”．若，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质”；否则为“不具备明显艺术发展潜质”．下列说法中，错误的有（ ）
A．50名参加测试的女同学中，指标的有20人
B．从50名女同学中随机选出1名，则该同学为“初级水平”的概率为
C．50名参加测试的男同学中，“具备一定艺术发展潜质且为中级或高级水平”的有24人
D．从所有“不具备明显艺术发展潜质却为中级或高级水平”的男同学中任选2名，则选出的2名均为“高级水平”的概率为
【答案】AC
【详解】由图知，在50名参加测试的女同学中，指标的有15人，故A说法错误；
从50名女同学中随机选出1名，则该同学为“初级水平”的概率为，故B说法正确；
由图知，参加测试的男同学中，“具备一定艺术发展潜质且为中级或高级水平”的有26人，故C说法错误；
由图知，“不具备明显艺术发展潜质却为中级或高级水平”的男同学共有6人，其中“中级水平”有3人，分别记为，，，“高级水平”有3人，分别记为，，，则任选2名的样本空间，共有15个样本点，设事件C表示“两人均为高级水平”，则，有3个样本点，所以，故D说法正确.
故选：AC
三、填空题
11．一组5个数据中，前4个数据的平均数是20，全部5个数据的平均数是19，则第5个数据是______．
【答案】15
【详解】设5个数据为，因为前4个数据的平均数是20，
所以，则①，
全部5个数据的平均数是19，
所以，所以②，
②①得：.
故答案为：15.
12．一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是______．
【答案】0.386##
【详解】解：由题意可得没有明显疗效的人数为，
所以没有明显疗效的频率为，
故答案为：0.386
四、解答题
13．柜子里有双不同的鞋，如果从中随机取出只，那么
(1)写出试验的样本空间．
(2)求事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）记第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为，
则样本空间为.
（2）由（1）知：，
，，
.
14．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数.小王的“微信步数排行榜”里有120个好友．
(1)若小王想统计性别对于运动步数的影响，他选择以分层抽样的方法选取一个30人的样本，已知小王“微信步数排行榜”里有的好友中男性比女性多24人，那么他所选取的样本中有女性多少人?
(2)某一天，小王的微信显示“您今天超越了的好友运动步数”，于是小王对120个好友的步数做了统计，作出如下频率分布直方图，若数据均匀分布，求这天大家的运动平均步数．并估算小王这天的运动步数（结果精确到）．
【答案】(1)12
(2)运动平均步数万步，小王的运动步数约为万步
【详解】（1）由题意得好友中男性有72人，女性有48人，
选取30人的样本，则应选取女性人
（2）由解得，
则运动平均步数（万步）
运动步数在的频率为，在的频率为，
则位数位于间，小王的运动步数为（万步）
15．建三江一快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元，假定评定为等级的概率分别是.
(1)若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；
(2) 若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为6元的概率.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设事件分别表示“被评为等级”，
由题意，事件两两互斥，
又“不被罚款”，
所以.
因此“不被罚款”的概率为.
（2）若想要奖励之和为6元，则需要两个订单都评定为A级，设两单奖励之和为6元为事件，所以.
【能力提升】
一、单选题
1．从装有6个红球和4个白球的口袋中任取4个球，那么互斥但不对立的事件是（ ）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有2个红球与恰有3个红球
【答案】D
【详解】从装有6个红球和5个白球的口袋中任取4个球，
在A中，至少一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，至少一个红球与都是白球是对立事件，故B错误；
在C中，至少一个红球与至少一个白球能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
在D中，恰有2个红球与恰有3个红球是互斥而不对立的事件，故D正确．
故选：D．
2．春运期间，小明和小华两位同学报名参加了去本地客运站疏导乘客的公益活动，若两人分别被随机分配到、、三个客运站中的一个，则两人被分在同一个客运站的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】两人被随机分到三个客运站，一共有种分法，其中，两人被分到同一个客运站的分法有3种，所以所求概率为．
故选：D．
3．某省在新高考改革方案中规定：每位考生必选语文、数学、英语科，再从物理、历史科中选科，从化学、生物、地理、政治科中选科，甲考生随机选择，最后他选择物理、化学、地理这个组合的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】在物理、历史任选一科只有两种选法；
而在化学、生物、地理、政治中任选二科有六种选法；
甲考生随机选科的组合共有12种，即
物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，
历化生，历化地，历化政，历生地，历生政，历地政.
满足要求的组合为：物化地共一种；
所以甲考生选择物理、化学、地理的概率为 .
故选：C.
4．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】依题意，，，而，A不正确；
，，B不正确；
事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件和，
事件是必然事件，因此，C正确；
因，，则，即D不正确.
故选：C
5．抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，B．当时，事件A与事件不独立
C．当时，D．当时，事件A与事件不独立
【答案】D
【详解】当时，所有基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，
且，,，，，，
所以，故A正确；
，所以事件A与事件不独立，故B正确；
当时，所有基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，
(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，
(反，反，反)，共8种，
，，，，
所以，故C正确；
，，，，所以事件A与事件独立，故D错误.
故选：D.
二、填空题
6．一所初级中学为了估计全体学生的平均身高和方差，通过抽样的方法从初一年级随机抽取了30人，计算得这30人的平均身高为154cm，方差为30；从初二年级随机抽取了40人，计算得这40人的平均身高为167cm，方差为20；从初三年级随机抽取了30人，计算得这30人的平均身高为170cm，方差为10．依据以上数据，若用样本的方差估计全校学生身高的方差，则全校学生身高方差的估计值为_________．
【答案】64.4
【详解】初一学生的样本记为，，…，，方差记为，初二学生的样本记为，，…，，方差记为，初三学生的样本记为，，…，，方差记为．
设样本的平均数为，则，
设样本的方差为．
则
又，
故，
同理，，
因此，
．
故答案为：.
7．2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.
【答案】
【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率.
同理，丙购买不到冰墩墩的概率.
所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率.
故答案为：.
三、解答题
8．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为．已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢．
(1)求第四盘棋甲赢的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）记第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件的和，
，，则，
所以第四盘棋甲赢的概率是.
（2）记甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和，
甲只在第三盘赢的事件为、只在第四盘赢的事件为、只在第五盘赢的事件为，
则，，，
则有，
所以比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为.
9．某班名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
(1)求这次数学考试学生成绩的众数和平均数；
(2)从成绩在的学生中任选人，求此人的成绩都在中的概率.
【答案】(1)众数为；平均数为(2)
【详解】（1），；
由频率分布直方图可知：这次数学考试学生成绩的众数为；
平均数为.
（2）由（1）得：成绩在的人数为，记为；成绩在的人数为，记为；
从上述人中，任选人，则有，，，，，，，，，，共种情况；
其中人的成绩都在中的情况有：，，，共种；
人的成绩都在中的概率.
10．女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在比赛中，每一个回合，赢球的一方可得1分，并获得下一球的发球权，输球的一方不得分.现有甲乙两队进行排球比赛.
(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
(2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分均为14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为.求甲队在4个球以内（含4个球）赢得整场比赛的概率.
【答案】(1)(2)
（1）
甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为.
（2）
设甲队x个球后赢得比赛，根据比赛规则，x的取值只能为2或4,对应比分为
两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，
打第二个球甲发球甲得分，此时概率为；
两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，
打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，
或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，
打第四个球甲发球甲得分，此时概率为.
故所求概率为：
定义
表示法
图示
包含关系
一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)
记作A⊆B(或B⊇A)
互斥事件
给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB＝∅(或A∩B＝∅)
若A∩B＝∅，则A与B互斥
对立事件
给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作A
若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立
定义
表示法
图示
并事件
给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)
记作A＋B(或A∪B)
交事件
给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)
记作AB(或A∩B)