第06讲 平面向量初步-【复习】高一数学寒假衔接讲义练习（人教B版 必修第二册）

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【易错点总结】
平面向量及其线性运算
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小称为向量的模(或大小)，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量.
(3)单位向量：模等于1的向量称为单位向量.
(4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.
(5)相等向量：大小相等、方向相同的向量.
(6)相反向量：大小相等、方向相反的向量.
2.向量的线性运算
3.共线向量定理
如果存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)，则b∥a.
4.向量模的不等式
向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
向量基本定理与向量的坐标
1.平面向量基本定理
(1)平面向量的基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.
(2)平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
2.平面向量的坐标
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).
(2)向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
(3)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
4.向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.
平面向量线性运算的应用
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)向量的垂直：当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量垂直.
(3)数量积的定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cs〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b, 即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(4)数量积的几何意义：①投影向量：设非零向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量eq \(A′B′,\s\up6(→))__为向量a在直线l上的投影向量或投影.
②投影的数量：一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cs〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.
③两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(3)夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.
【考点剖析】
考点一：平面向量及其线性运算
1．下列命题中正确的个数是（ ）
①起点相同的单位向量，终点必相同；
②已知向量，则四点必在一直线上；
③若，则；
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【详解】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，
对于B，向量，则四点共线或，故B错误，
对于C，若，当时，不一定平行，故C错误，
对于D，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误，
故选：A
2．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由于是边上的中点，则.
.
故选：B.
3．在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【详解】在平行四边形中，，所以．
故选：B．
考点二：向量基本定理与向量的坐标
4．已知向量，若，则实数m的值是（ ）
A．3或B．或1C．3或1D．或
【答案】C
【详解】，，
则，
即
解得或3.
故选：C.
5．已知向量，，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【详解】∵，，∴，
∴.
故选：C.
6．如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，因为三点共线，所以，即，
所以，又,
所以
.
故选：C.
考点三：平面向量线性运算的应用
7．向量，，则（ ）
A．B．
C．D．与的夹角为0°
【答案】C
【详解】对于A，，所以与不平行，故A错误；
对于B，，所以与不垂直，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为与不平行，所以与的夹角不为0°，故D错误.
故选：C.
8．已知是的边上一点，且，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，则为锐角，
由，可得，
因为，则，则，
所以，
，
则，可得.
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
故选：A.
9．如图所示，在中，，，P为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，，设，（），则，则，，所以，当且仅当时，取等号.
故选：B
【基础过关】
一、单选题
1．已知点、，且，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设为坐标原点，
,
整理得.
故选：A
2．如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】在中由向量加法的三角形法则得：，
又因为是的中点，所以,
所以.
在中由向量加法的三角形法则得：
又因为E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，
所以
所以.
故选：B.
3．已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数m的值为（ ）．
A．B．12C．D．1
【答案】D
【详解】由得，，或，
∵，∴，从而．
故选：D．
4．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，，
所以，解得.
故选：D.
5．已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，因为不超过5，
所以，解得：，
故选：C.
6．在中，点D在边AB的延长线上，，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【详解】因为点D在边AB的延长线上，，所以，即,
所以.
又，由平面向量基本定理可得：
，.
故选：B
7．在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为是BC的中点，，所以，
所以.
故选：D.
8．梯形ABCD中，，，，，，点E在线段BD上，点F在线段AC上，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，，，，．
故选：D
二、多选题
9．已知，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最小值为5D．若向量与向量的夹角为钝角，则
【答案】AD
【详解】对于A，若，则，解得：，A正确；
对于B，若，则，解得：，B错误；
对于C，因为，所以，则当时，，，C错误；
对于D，若向量与向量的夹角为钝角，则，解得，由上可知，此时两向量不共线，D正确.
故选：AD.
10．在平面直角坐标系中，，分别是与，轴正方向相同的单位向量，对于直角，若，，则实数可能的取值为（ ）
A．－1B．2C．－6D．
【答案】AC
【详解】解：由题可设，则，，，
因为为直角三角形，则或或，
若，则，解得，
若，则，解得，
若，则，即，则，无解，
故实数可能的取值为-1，-6.
故选：AC.
三、填空题
11．已知，若满足且，则___________.
【答案】
【详解】设，
，
由于且，
所以，解得，
所以.
故答案为：
12．已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______．
【答案】
【详解】，
所以向量在方向上的数量投影为.
故答案为：.
四、解答题
13．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且满足﹐.设向量，.
(1)用，表示：
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)
(1)
；
(2)
；
因为，且，因此存在唯一的实数使得，，
即.
根据平面向量基本定理，，解得，因此.
14．已知向量，，，．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)且
（1）
因为，，，．
（2）
，，
，， 解得．
（3）
与的夹角是钝角，，且，
，且，解得且．
15．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，
(1)用，表示
(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以，
因为M为BO中点，
（2）如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，
所以，，，
根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为
【能力提升】
一、单选题
1．在中，，分别在，上，且，，，交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
如图，过点作的平行线交于
在中，为中位线，
又
在中，
所以
故选：A
2．已知，若非零向量满足，则（ ）
A．B．10C．3D．
【答案】A
【详解】设，则，
，则，
.
故选：A
3．已知向量，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为向量，
所以.
故选：B
4．在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】.
设，
则,
又，且三点共线，则共线，
即，使得，即，
又不共线，则有，解得，
所以，.
故选：D.
5．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：
①与的夹角为；
②；
③；
④向量在向量上的投影向量为（其中是与同向的单位向量）.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】对于①，因为八边形为正八边形，所以，
所以与的夹角为，①错误；
对于②，，显然不成立，②错误；
对于③，，所以，，所以，③正确；
对于④，，向量在向量上的投影向量为，④正确，
故选：B.
二、填空题
6．已知为内一点，且满足，则为的________心．
【答案】重
【详解】
如图，取的中点由．得，
又，故，则与共线，
又，有公共点，
故三点共线，且，
因此可得为的重心．
故答案为：重.
7．在中，点是边上（不包含顶点）的 动点，若，则 的最小值______.
【答案】##
【详解】如图，
可知x，y均为正，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：.
三、解答题
8．某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.
(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x､y的值；
(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？
【答案】(1)(2)两人约有小时不能通话
【详解】（1）因为，所以，
因此建立如图所示的平面直角坐标系，
，
设保安甲从C出发小时后达点D，所以有，
设，由，
即，当时，，
由
；
（2）设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为，
于是有，
因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话，
所以有，所以
解之：或，又
所以两人约有小时不能通话.
9．已知，.
(1)当为何值时，与共线；
(2)若，且三点共线，求的值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，，
，，
又与共线，
，即；
（2）解：，，
、、三点共线，
，即．
10．（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标；
（2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】（1）的坐标为或；（2）
【详解】（1）设点的坐标，由，
得，
因为点是直线上一点，且，
所以或，
即
或，
解得或，所以点的坐标为或；
（2）因为与的夹角为，
所以，
，
因为与的夹角为锐角，所以，即，
解得，又当与共线时有，解得，所以，
综上，实数的取值范围是．
向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：
①当λ>0时，与a的方向相同；
②当λ<0时，与a的方向相反.
(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb