第10讲 正弦函数的图像与性质-【预习】高一数学寒假衔接讲义练习（人教B版 必修第三册）

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1.能借助教材实例理解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值、零点．重点提升数学抽象核心素养．
2．能借助单位圆、科学计算器了解正弦函数的图像，能利用五点法作简单的与正弦函数有关的函数图像．重点培养直观想象核心素养．
3.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，重点提升直观想象核心素养．
4．掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤，重点培养逻辑推理核心素养．
5.能根据正弦型函数(如y＝Asin(ωx＋φ)形式)的部分图像确定其解析式，重点培养直观想象核心素养．
6．掌握正弦型函数的性质并能解决相关问题，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养．
【知识导航】
知识点一 正弦函数的性质
你能利用前面学过的正弦线(如图)探究y＝sin x的主要性质吗？
1．探究函数的值域？
2．研究函数y＝sin x的奇偶性．
3．研究函数y＝sin x的周期性？
4．探究y＝sin x的单调性．
1．周期函数
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个________，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为________函数，________称为这个函数的周期．
(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个________就称为f(x)的最小正周期．
[点拨]
对周期函数的进一步理解
(1)周期函数的定义是对定义域内每一个x来说的，只有个别的x的值满足f(x＋T)＝f(x)时不能说T是f(x)的周期；
(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，强调的是对自变量本身加的非零常数T才是周期，如f(5x＋T)＝f(x)恒成立，T并不是函数f(x)的周期；
(3)若f(x)是周期为T的周期函数，则y＝f(x)的图像每隔|T|个单位重复出现，这是周期函数的图像特征．
2．y＝sin x的性质
知识点二 正弦函数的性质
y＝sin x的图像
利用描点法，结合正弦函数的性质，你能画出y＝sin x在一个长度为2π的闭区间上的图像吗？
y＝sin x的图像及其对称性
知识点三 正弦型函数的图像变换
在同一坐标系中作出y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(π,6)))，y＝3sin x，y＝eq \f(1,3)sin x，y＝sin 3x，y＝sin eq \f(1,3)x，y＝sin x的图像(图略)并回答下列问题．
1．观察y＝sin x，y＝3sin x，y＝eq \f(1,3)sin x的图像，思考由y＝sin x的图像如何得到y＝Asin x(A＞
2．观察y＝sin x，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(π,6)))的图像，思考由y＝sin x的图像如何得到y＝sin(x＋φ)的图像？
3．观察y＝sin x，y＝sin 3x，y＝sin eq \f(1,3)x的图像，思考由y＝sin x的图像如何得到y＝sin ωx(ω＞0)的图像？
1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响
2．ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响
3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响
知识点四 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
1．求函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的定义域、值域、周期．
2．探究函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的单调递增区间和对称轴．
1．正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
2．正弦型函数y＝A sin(ωt＋φ)，(A＞0，ω＞0)中参数的物理意义
eq \a\vs4\al([点拨])
三角函数的最值与周期性之间的关系
由三角函数图像可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期T，相邻最大值与最小值之间的区间长度为eq \f(T,2)，相邻的最值点与零点之间的区间长度为eq \f(T,4).
【知识预习】
考点一：正弦函数的性质与图像
1．根据函数的图像，可得方程的解为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
2．设函数，下列结论不成立的是（ ）
A．B．
C．最小正周期是D．
3．函数，的图像与直线的交点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．三角函数在区间上的图像为（ ）
A．B．
C．D．
5．在上，满足的的取值范围是
A．B．C．D．
考点二：正弦型函数的性质与图像
6．函数的周期、振幅、初相分别是
A．，，B．，，C．，3，D．，3，
7．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数最小正周期为，其图象的一条对称轴是，则此函数的解析式可以是
A．B．
C．D．
9．已知函数，恒成立，且的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
10．函数在闭区间（ ）.
A．上是增函数B．上是增函数
C．上是增函数D．上是增函数
【对点训练】
一、单选题
1．函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
2．满足的x的集合是（ ）
A．B．
C．D．或
3．的单调增区间是（ ）
A．B．
C．D．
4．函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A．B．C．D．
5．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．为了得到函数的图象，可以将函数图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
7．函数的图像如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
8．若函数图象 的一个最高点为，由这个点到相邻最低点的一段图象与轴相交于点，则这个函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线对称
10．已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．
B．直线是曲线的一条对称轴
C．
D．在区间上单调递增
三、填空题
11．已知是奇函数，则__________．（写出一个值即可）
12．函数，的值域为___________.
四、解答题
13．已知函数（）的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)求函数的单调递减区间.
14．的部分图象如图所示．
（1）写出的最小正周期及的值；
（2）求的单调递增区间.
15．已知函数的最小正周期．
(1)求函数单调递增区间和对称中心；
(2)求函数在上的值域．
【提升作业】
一、单选题
1．函数与函数的图像的交点个数是（ ）
A．3B．6C．7D．9
2．函数为增函数的区间是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A．B．1C．1或-1D．
4．已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若函数在处取得最小值3，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．已知函数，若存在，有，则的最小值为______．
7．函数的图象为，现有三个论断：
（1）图象关于直线对称；
（2）函数在区间内是增函数；
（3）由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象.
以上三个论断中，正确结论的序号为______.
三、解答题
8．函数的部分图象如图所示．
(1)写出的最小正周期及图中、的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
9．已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)求函数的单调递减区间：
(3)若，求的最值.
10．已知函数
(1)求函数的最小正周期
(2)求函数的对称轴方程和对称中心
(3)求的单调递增区间
定义域
R
值域
________
周期性
周期函数T＝2π
单调性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上递增，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上递减
奇偶性
奇函数，其图像关于________对称
零点
零点x＝________
y＝sin x
的图像
对称轴
对称中心
轴对称图形，其对称轴为x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，中心对称图形，其对称中心为(kπ，0)，k∈Z
名称
性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝eq \f(2π,ω)
对称中心
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)
对称轴
x＝eq \f(kπ,ω)＋eq \f(π－2φ,2ω)(k∈Z)
奇偶性
当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数
当φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时是偶函数
单调性
由2kπ－eq \f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得单调递增区间
由2 kπ＋eq \f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，解得单调递减区间(整体代换思想)