第02讲 直线和圆-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（人教B版 选择性必修一）

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【易错点总结】
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req \\al(2,1)，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req \\al(2,2)，
则圆心距d＝|C1C2|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
则两圆C1，C2有以下位置关系：
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（xM＋xN）2－4xM·xN).
【重难点剖析】
考点一：直线及其方程
1．无论为何实数值，直线总过一个定点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】当时，，故直线总过定点.
故选：D．
2．直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直B．平行C．重合D．垂直
【答案】C
【详解】直线可化为，
所以直线与直线的位置关系是重合.
故选：C
3．经过两点，的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】直线的倾斜角是钝角，则直线斜率，解得或．
故选：D．
4．若直线与直线平行，则的值为（ ）
A．B．3C．3或D．或6
【答案】B
【详解】直线：与直线：平行，
所以，解得：或，
①当时，：，：，，符合题意；
②当时，：，：，均为，此时，重合，舍去，
故，
故选：B
5．过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，，直线l的方向向量，则有，
解得，因此，，
因当时，取最小值，则有，
所以的取值范围是.
故选：D
考点二：圆及其方程
6．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．外切D．内切
【答案】C
【详解】圆的圆心坐标是，半径，圆的圆心坐标是，半径，
,所以圆心距，所以两圆相外切.
故选：C
7．已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则直线l的方程是 （ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【详解】圆的标准方程为：，
由题意圆心到直线l的距离
（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，符合题意，
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得，则直线方程为，
综上，直线 l的方程为或．
故选：B．
8．过点引圆的切线，其方程是（ ）
A．B．
C．D．和
【答案】D
【详解】解：根据题意，圆，
即，其圆心为，半径r＝1；
过点引圆的切线，
若切线的斜率不存在，切线的方程为x＝2，符合题意；
若切线的斜率存在，设其斜率为k，
则有，
即kx－y＋3－2k＝0，
则有，
解得，
此时切线的方程为，
即12x－5y－9＝0．
综上：切线的方程为x＝2和12x－5y－9＝0．
故选：D．
9．已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为圆，所以圆心为，半径为，如图，
所以圆心到直线的距离，
则，
又点P到直线的距离的最大值为，
所以面积的最大值．
故选：A.
.
10．直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A．6B．4C．D．
【答案】D
【详解】因为可化为，
令，解得，
所以直线恒过定点，该点在圆内，
因为，所以要求的最小值，即求圆心到直线的最大距离，
显然当时，最大，最小，
又因为圆，所以圆心，，则，
故此时.
故选：D.
【基础过关】
一、单选题
1．直线的倾斜角（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题，将直线方程转化为斜截式方程可得，
所以直线的斜率，
因为，所以，
故选:C.
2．已知直线相互垂直，则值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【详解】由可得
∵
故选：C
3．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】的圆心为,半径，
因为为圆的弦的中点，
所以圆心与点确定的直线斜率为，
因为圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，
所以弦所在直线的斜率为，
所以弦所在直线的方程为：，
即.
故选：A.
4．圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【答案】D
【详解】因为圆 的圆心, 半径为,
圆 的圆心, 半径为，,
则两圆的圆心距为,而，
则圆 与圆 的位置关系为内切.
故选: D.
5．过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则m的值为（ ）
A．2B．C．-2D．
【答案】D
【详解】∵点在圆上，圆心为，
∴直线的斜率为，且直线与切线垂直，
∵切线与直线垂直，所以直线与斜率相等，
∴，
∴．
故选：D．
6．两条直线与的距离为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【详解】直线即，
所以与的距离为，
故选：D.
7．对于直线，下列选项正确的为（ ）
A．直线l倾斜角为B．直线l在y轴上的截距为
C．直线l不过第二象限D．直线l过点
【答案】C
【详解】将直线改写成斜截式方程为
由斜截式方程的几何意义可知，斜率为，
所以直线倾斜角满足，即，故A错误；
易知，直线l在y轴上的截距为，所以B错误；
画出直线l的图象如下：
由图象可知，直线l不过第二象限，故C正确；
将点代入直线方程得，
所以直线l不过点，即D错误.
故选：C.
8．直线被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，所以圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以弦长为，
故选：C
二、多选题
9．已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，，O是坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l的方程为
B．过点O且与直线l平行的直线方程为
C．若点到直线l的距离为，则
D．点O关于直线l对称的点为
【答案】ABD
【详解】对A，直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，，直线l的方程为，即，A对；
对B，直线l斜率为1，故过点O且与直线l平行的直线方程为，即，B对；
对C，点到直线l的距离为，故或0，C错；
对D，点O关于直线l对称的点满足，解得，故该点为，D对.
故选：ABD
10．已知直线：和圆：，则（ ）
A．直线恒过定点B．存在使得直线与直线：垂直
C．直线与圆相离D．若，直线被圆截得的弦长为
【答案】BD
【详解】直线，即，则直线恒过定点，故A错误；
当 时，直线与直线垂直，故B正确；
∵定点在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C不正确：
当时，直线l化为，即x+y+2=0，
圆心O到直线的距离，
直线l被圆O截得的弦长为，故D正确，
故选：BD.
三、填空题
11．已知直线，直线，若直线与的交点在第一象限，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【详解】由题意得两直线不平行，即，得，
由得，
由于直线与的交点在第一象限，
所以，解得，则实数的取值范围为，
故答案为：.
12．圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的标准方程为_____________.
【答案】
【详解】由解得交点坐标分别为，
设圆心坐标为，半径为，则，
解得，
所以该圆的标准方程为，
故答案为：
四、解答题
13．设直线的方程为.
(1)已知直线在轴上的截距为，求的值；
(2)已知直线的斜率为1，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意知，即且，
令，则，
即，得或 (舍去)．
∴.
（2）由题意知，，即且，
由直线l化为斜截式方程
得，
则，
得或 (舍去)．
∴.
14．已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．
(1)判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
(2)若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．
【答案】(1)点P不在圆上，证明见解析
(2)x＝0或3x＋4y－8＝0．
【详解】（1）点P不在圆上．
证明如下：
∵，
∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，
综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
15．已知圆与圆.
(1)若圆与圆相外切，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，若直线被圆所截得的弦长为，求实数的值.
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）圆的方程可整理为：，
圆心，半径；其中,
由圆方程知：圆心，半径；
圆与圆相外切，，解得：.
（2）由（1）知：圆心，半径，
圆心到直线的距离，
，解得：或.
【能力提升】
一、单选题
1．已知直线和互相平行，则实数m的取值为（ ）
A．﹣1或3B．-3或﹣1C．﹣1D．3
【答案】C
【详解】当时，不存在，，不平行.
当时，，，
因为平行，所以，解得或.
当时，，，重合，舍去.
当时，，，.
综上.
故选：C
2．点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【详解】设，直线的方程为，
点到直线的距离，，
所以，解得：或，
所以点的坐标为或.
故选：A
3．如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】直线AB的斜率为，又直线AB过点，
所以直线AB的方程为：，即.
圆心到直线AB：的距离为，
则．
故选：B
4．设m为实数，直线和圆相交于P，Q两点，若，则m的值为（ ）
A．或B．C．D．
【答案】A
【详解】解：圆，即，
所以圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
由弦长公式得，则，即，
解得，
所以，
即，
即，解得或.
所以m的值为或．
故选：A．
5．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B的距离为2，动点Р满足，若点Р不在直线AB上，则面积的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【详解】以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则，设点，由得：，即，
整理得：，因此点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，则P到直线AB距离的最大值为，
所以面积的最大值为.
故选：B
二、填空题
6．已知圆与圆相交于两点，则_________.
【答案】
【详解】解：因为圆与圆相交于两点，
所以直线AB的方程为：，
即，
圆心到弦AB的距离，
所以，
故答案为：.
7．已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是___________________．
【答案】
【详解】圆，即，圆心为，半径.
圆，即，圆心为，半径.
圆心角，所以两圆相内切.
由解得，
所以两圆切点的坐标为，
，所以公切线的斜率为，
所以公切线的方程为.
故答案为：
三、解答题
8．已知圆，直线．
(1)求圆的圆心坐标和半径；
(2)若直线与圆相切，求实数的值．
【答案】(1)圆心的坐标为，半径为2．
(2)
【详解】（1）圆，
圆的标准方程为．
圆的圆心的坐标为，半径为2．
（2）直线与圆相切，
圆心到直线的距离，解得．
实数的值为．
9．已知，圆.
(1)若圆与圆外切，求实数的值；
(2)当在中任意取值时，求圆心的轨迹方程；
(3)是否存在定直线，使得：动圆截直线所得的弦长恒为?若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)或
(2)
(3)存在，且的方程为或.
【详解】（1）圆
，
，
所以圆的圆心为，半径.
圆的圆心为，半径为，
由于圆与圆外切，所以，
解得或.
（2）由（1）得，即，
消去得，所以圆心的轨迹方程为.
（3）设直线交圆于两点，设到直线的距离为，
则，假设存在符合题意的定直线，
则，
即圆心与直线的距离恒为，
而圆心的轨迹方程为，
所以可设直线的方程为，且，
解得或，
所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或.
10．已知圆：，直线：．圆与圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点分别为、．求四边形面积的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)
由题可知的圆心为，圆的半径与之相同，圆心与之关于对称，
设的圆心为，故可根据中点在对称的直线上得到①，根据斜率相乘为-1得到②，联立①②可得，
所以圆心坐标为，且半径为，故的方程为
(2)
连接，将四边形分割成两个全等的直角三角形，所以有，四边形面积的范围可转化为MP长度的范围，
在中，根据勾股定理可知，因为为半径长度不变，所以最大时最大；所以最小时最小；
画出如下图，当动点P移动至在时面积最小，时面积最大；
设点P的坐标为，所以有，解得，所以，，
所以，所以；
，所以.
所以
位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d位置关系
外离
内含
相交
内切
外切
圆心距
与半径
的关系
d>r1＋r2
d<|r1－r2|
|r1－2|d＝|r1－r2|
d＝r1＋r2
图示
公切线条数
4
0
2
1
3