第04讲 排列、组合与二项式定理-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（人教B版 选择性必修二）

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【易错点总结】
排列与组合
1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号Aeq \\al(m,n)表示.
(2)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
二项式定理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2.二项式系数的性质
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，一直到Ceq \\al(n－1,n)，Ceq \\al(n,n).
【重难点剖析】
考点一：排列与组合
1．现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A．B．C．20D．9
2．将4名新老师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．54B．36C．24D．18
3．北京某大学为第十八届四中全会招募了名志愿者（编号分别是，，…，号），现从中任意选取人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保号、号与号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ）
A．B．
C．D．
4．某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有（ ）
A．360种B．480种C．600种D．720种
5．当前，国际疫情仍未得到有效控制，国内防控形势依然严峻､复杂.某地区安排A，B，C，D四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，每人只去一个地区，且A，B两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．24种B．30种C．36种D．72种
．
考点二：二项式定理
6．展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
7．的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．80D．200
8．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（ ）
A．16B．32C．1D．
9．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．展开式所有项的系数和为B．展开式二项式系数最大为
C．展开式中没有常数项D．展开式中有理项共有5项
10．若，则的值是（ ）
A．1B．2C．D．
【基础过关】
一、单选题
1．甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（ ）
A．6种B．12种C．36种D．48种
2．已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（ ）
A．B．C．15D．20
3．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和2个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法有多少种？（ ）
A．24B．12C．6D．2
4．已知甲袋子中装有1个红球和3个白球，乙袋子中装有3个红球和2个白球，若从甲、乙两个袋子中各取出2个球，则取出的4个球中恰有2个红球的不同取法共有（ ）
A．9种B．18种C．27种D．36种
5．已知（1+2x）n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为（ ）
A．211B．210C．29D．28
6．教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市4所高校的校长计划拜访当地的甲、乙两家企业，若每名校长拜访1家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（ ）
A．8种B．10种C．14种D．20种
7．若展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ）
A．160B．60C．D．
8．某中学为了更好地培养学生劳动实践能力，举办了一次劳动技术比赛.根据预赛成绩，最终确定由甲、乙等5名同学进入决赛，决出第1名到第5名的名次.决赛后甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲都不是最差的.”从这两个回答分析，甲、乙等5人的决赛名次可能有（ ）种排列情况.
A．18B．36C．54D．72
二、多选题
9．在二项式的展开式中，正确的说法是（ ）
A．常数项是第项B．各项的系数和是
C．第项二项式系数最大D．奇数项二项式系数和为
10．现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
三、填空题
11．若的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中的系数是___________.
12．为弘扬我国古代“六艺”文化，某校研学活动社团计划开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程.若甲、乙、丙三位同学均只能体验其中一门课程，则恰有3门课程没有被这三位同学选中的概率为______.
四、解答题
13．在的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项系数和．
14．（1）书架上有3本不同的语文书，4本不同的数学书，2本不同的英语书，将这些书全部竖起排成一排，如果同类书不能分开，一共有多少种不同的排法？
（2）某学校要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则共有多少种不同的安排方法？
15．某学习小组有4名男生和3名女生共7人．
(1)将这7人排成一排，4名男生相邻有多少种不同的排法？
(2)从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种不同的选派方法？
【能力提升】
一、单选题
1．若，则（ ）
A．5B．C．3D．
2．从1，2，3，4，5，6这6个数中任取两个数，则两个数之和为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．80D．200
4．某校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动.现有，，，四名同学拟参加足球、篮球、排球、羽毛球、乒乓球等五项活动，由于受个人精力和时间限制，每个人只能等可能的参加其中一项，则恰有两人参加同一项活动的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．当前，国际疫情仍未得到有效控制，国内防控形势依然严峻､复杂.某地区安排A，B，C，D四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，每人只去一个地区，且A，B两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．24种B．30种C．36种D．72种
二、填空题
6．某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的方法有___________种．
7．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年、1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则.在的二项式展开式中，的系数为______.
三、解答题
8．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节．
(1)若“射”和“乐”两门课程相邻，且它们都与“数”不相邻，求不同的排课顺序有多少种；
(2)若“射”不排在第一节，“数”不排在第四节，求不同的排课顺序有多少种．
9．若，.
(1)求；
(2)求的值；
(3)求的值.
10．在10件产品中，有4件次品，从这10件产品中任意抽出3件．
(1)抽出的3件中恰好有2件是次品的抽法有多少种？
(2)若已知抽出的3件中至少有1件是次品，那么抽出的3件中恰好有2件是次品的概率是多少？
名称
定义
排列
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象
并按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列
组合
并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,（n－m）！).
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(Aeq \\al(m,n),Aeq \\al(m,m))＝eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)
＝eq \f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特别地Ceq \\al(0,n)＝1
性质
(1)0！＝1；Aeq \\al(n,n)＝n！.
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m＋1,n)＋Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m＋1,n＋1)
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
增减性
二项式系数Ceq \\al(k,n)
当k＜eq \f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递增的
当k＞eq \f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递减的
二项式
系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值