第08讲 导数的运算-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）

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【考点目录】
【知识梳理】
基本初等函数的导数公式
注意点：对于根式f(x)＝eq \r(n,xm)，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.
(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．
知识点2 导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2).
知识点3 复合函数的导数
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
注：1、求复合函数的导数的步骤
2、利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
3、求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
【考点剖析】
考点一 利用导数公式求函数的导数
1．（2023春·湖南株洲·高二校考期中）求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据函数求导公式即可得出答案.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的求导公式即可解得答案.
【详解】，A项错误；因为是个常数，所以，B项错误；
，C项错误； ，D项正确.
故选：D.
3．（2023·高二课时练习）设一质点的位移s与时间t满足的函数关系是，求：
(1)质点从到的平均速度（其中）；
(2)当时质点的瞬时速度．
【答案】(1)14.3
(2)14
【分析】（1）利用平均速度的定义求解；
（2）由，将代入求解.
【详解】（1）解：因为，
所以质点从到的平均速度为14.3（其中）．
（2）由，得，
所以当时质点的瞬时速度是14．
4．（2023春·云南楚雄·高三校考阶段练习）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．e
【答案】B
【分析】求的导数，代入导数值即可求解.
【详解】因为．所以，
由，解得e．
故选：B.
5．（2021秋·宁夏中卫·高二海原县第一中学校考期中）设函数，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据幂函数的求导公式求导即可.
【详解】∵，
∴，
解得.
故选：B.
6．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考期中）设，则方程的解集为______.
【答案】
【分析】解方程即得解.
【详解】解：由题得.
所以方程的解集为.
故答案为：
考点二 导数的运算法则
7．（2023·高二课时练习）分别求函数在，，处的导数．
【答案】，，.
【分析】求出，代入即可求解.
【详解】因为，所以，，．
8．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）由基本初等函数的导数公式即导数加减乘除的求导法则求各函数的导函数.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）
.
（5）；
（6）.
9．（2023春·陕西西安·高二校考阶段练习）求下列函数的导函数：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化根式为分数指数幂，根据积的导数和基本初等函数的求导公式求解；
（2）由基本初等函数的求导公式，结合商的导数的运算公式化简；
（3）由基本初等函数的求导公式，结合四则运算的导数公式化简即可求解.
【详解】（1），
.
（2），
.
（3），
，
.
10．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】先对求导，再代入即可求得.
【详解】因为，
所以，
故，即，
所以.
故选：B.
11．（2023春·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．-1B．0C．D．1
【答案】B
【分析】先求导函数，然后赋值求出进而求出的值.
【详解】
故选：B
12．（2021春·陕西西安·高三校考阶段练习）已知是二次函数，若方程有两个相等实根，且，求函数的解析式.
【答案】
【分析】设出一般式，由判别式为0及导函数建立方程求解即可.
【详解】设，
由方程有两个相等实根得，
又，故.
故函数的解析式为.
13．（2023春·江苏连云港·高二校考期末）已知函数，．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导后代入可求得，由可得结果.
【详解】，，即，
又，.
故选：D.
14．（2023春·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，若，为的导函数）且，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】首先求函数的导数，再代入，列方程组求解.
【详解】，
所以，解得：.
故选：A
15．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）定义在上的奇函数，当时，，则曲线上的点到直线的最小距离为___________.
【答案】
【分析】先根据奇函数定义求时的解析式，此时斜率为1的点到直线的距离最小，再与原点到直线的距离相比较，取最小值．
【详解】由对称性可知，只需要比较与时的距离.
设，因为函数是奇函数，所以，则
设点，则，解得：
此时点到直线的距离，
设，则原点到直线的距离，
因为，所以曲线上的点到直线的最小距离为.
故答案为：．
考点三 复合函数与导数的运算法则的综合应用
16．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】由基本初等函数的导数，导数的四则运算以及简单复合函数的导数的相关公式和运算法则，即可较易求导，需要特别注意的是，对某些较复杂函数表达式先化解再进行求导，求导过程会比较容易.
【详解】（1）
．
（2）令，，则．
（3）因为，
所以．
17．（2023春·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）函数的导函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由复合函数求导法则进行求解.
【详解】．
故选：A
18．（2023·高二课时练习）已知函数，若，则_______．
【答案】1
【分析】对函数求导，代入，即可求出
【详解】在中，
.
由，
得，
则，
解得．
故答案为：1.
19．（2023春·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数的导函数为，若，则__________.
【答案】
【分析】求导，得到，代入，求出，得到导函数解析式，再代入求出答案.
【详解】，
故，
即，解得：，
则，
故.
故答案为：.
20．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，则________.
【答案】
【分析】利用偶函数定义可构造方程求得，代入解析式中，求得后，代入即可.
【详解】为上的偶函数，，
即，，解得：，
，，.
故答案为：.
考点四 与切线有关的综合问题（切点、某点）
21．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）函数在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求解即得.
【详解】因为，
所以，又，
所以切线的斜率，
所以函数在点处的切线方程为，
即.
故答案为：.
22．（2023·全国·高二假期作业）已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可求得切线方程.
【详解】，，
又，
所求切线方程为：，即.
故选：C.
23．（2023春·四川遂宁·高三校考阶段练习）函数且的图象恒过定点P，若点P在曲线上，且 ，则曲线在点P处的切线方程为__________
【答案】
【分析】求得定点P的坐标，求出函数的导数，根据导数的几何意义可求得答案.
【详解】对于函数，令，
即函数且的图象恒过定点 ，
而，则，
则曲线在点P处的切线方程为，即，
故答案为：
24．（2023春·贵州遵义·高三统考阶段练习）若函数在处切线方程为，则实数（ ）
A．B．C．2D．0
【答案】B
【分析】求导，利用导数的几何意义得到，求出，得到切点坐标，代入切线方程中，求出.
【详解】，则，解得：，
所以，，
所以切点坐标为，将其代入中，
故，解得：.
故选：B
25．（2023春·江苏扬州·高三统考期中）已知直线是曲线的切线，则实数________．
【答案】
【分析】设切点坐标，对函数求导，代入切点横坐标得切线的斜率，又因为直线过原点，由切点和坐标原点可以表示斜率，解方程得k的值.
【详解】设切点坐标，，则切线斜率，
因为直线过原点，则切线斜率，所以，
解得，.
故答案为：.
26．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若直线是曲线和的公切线，则实数的值是______.
【答案】1
【分析】设直线与曲线分别相切于点,利用导数求出曲线在点处的切线方程,以及曲线在点处的切线方程,可得出关于的方程组,解出这两个量的值,即可求得的值.
【详解】设直线与曲线分别相切于点,
对函数求导得,则，
曲线在点处的切线方程为,
即,
对函数求导得,则,
曲线在点处的切线方程为,
即,
所以，化简可得，
故答案为：1.
27．（2023春·江苏连云港·高二期末）设b为实数，若直线为函数图象的切线，则b的值是_____________．
【答案】或
【分析】设切点为，求导得到，得到，解得切点，代入得到答案.
【详解】设切点坐标为 ，由函数的导数为，
由直线得到斜率为，得到 ，解得，
把代入中解得，把代入中解得，
所以切点坐标是或，
当切点坐标是，代入直线的方程，得：；
当切点坐标是，代入直线的方程，得：.
综上所述：或.
故答案为：或
28．（2023春·辽宁锦州·高三校考阶段练习）函数在处的切线与坐标轴围成的面积为________.
【答案】2
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义求得函数在处的切线方程，求出切线与坐标轴的交点，即可求得答案.
【详解】由题意得 ，故 ，
故在处的切线方程是，即 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得，
故三角形的面积为 ，
故答案为:2．
29．（2023·高二课时练习）已知曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则______．
【答案】
【分析】求出原函数的导函数，得到曲线在x=1处的切线的斜率，由直线方程的点斜式得到切线方程，
求出切线在两坐标轴上的截距，由切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4列式求得的值．
【详解】因为，所以，得该曲线在处的切线的斜率，
切点为，进而得切线方程为．
令，得；令，得．
所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积，
解得．
故答案为：.
30．（2023春·广东广州·高三校考期中）函数，（其中），的图象在点处的切线与的图象相切，则______.
【答案】－1或3
【分析】先求出的图象在点处的切线方程为，再分当在上与当不在上时两种情况，进行求解.
【详解】，故在的图象上，
，则，
故的图象在点处的切线方程为，
当在上时，，解得：，
故，
则，则，
则在处的切线方程为，满足要求，
当不在上时，设切点为，
，则，
由于在处的切线方程为，
所以，
解得：，，经检验符合要求，
故答案为：-1或3
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·吉林松原·高二校考期末）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求导，再代入即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
故选：A.
2．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【分析】将求导，将1代入导数得的值，再将代入导数就可计算出的值.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，所以
，所以 .
故选：C.
3．（2023秋·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）函数特性：“函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直”，则下列函数中满足特性的函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】若满足特性，即在两点处切线斜率乘积为，利用导数的几何意义即可判断选项.
【详解】设函数的图像上存在两点，，若，则图像在这两点处的切线互相垂直，
对A，，则，故A不正确；
对B，，则，因为，所以存在，满足，故B正确；
对C，，则，故C不正确；
对D，，则，故D不正确，
故选：B
4．（2023秋·云南昭通·高二校联考期末）定义满足方程的实数解叫做函数的“自足点”，则下列函数存在“自足点”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据逐个答案进行分析求解即可.
【详解】对于A选项，，则，由，
即，，因此，不存在“自足点”，故A不满足易于题意；
对于B选项，，则，由，
得，又，所以无解，所以不存在“自足点”，故B不满足题意；
对于C选项，，则，其中，所以，
又，故函数存在“自足点”，C选项满足题意；
对于D选项，，则，
由，得，
所以，即，
因为，，
所以无解，D选项不满足题意.
故选：C.
二、多选题
5．（2023秋·广东云浮·高二统考期末）下列函数求导正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则
C．已知，则
D．已知，则
【答案】AD
【分析】根据初等函数和复合函数的求导方法计算即可.
【详解】对于A，已知，则，故正确；
对于B，已知，则，故错误；
对于C，已知，则，故错误；
对于D，已知，则，故正确.
故选：AD.
6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期末）下列求导运算错误的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用导数的运算法则进行计算即可判断.
【详解】对于A，，故选项A错误；
对于B，，故选项B正确；
对于C，，故选项C错误；
对于D，，故选项D错误，
所以导数运算错误的是：，
故选：.
7．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆外国语学校校考期末）以下函数求导正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．设，则．
【答案】AC
【分析】直接由导数的求导法则依次判断即可.
【详解】A选项：，正确；B选项：，错误；
C选项：，正确；D选项：，错误.
故选：AC.
8．（2023春·山西晋中·高二统考期末）下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用导数的运算求解判断.
【详解】A. 因为，所以，故正确；
B.因为，所以，故错误；
C. 因为，所以，故正确；
D. 因为，所以，故正确.
故选：ACD
三、填空题
9．（2023秋·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）已知，则_________.（精确到0.001）
【答案】
【分析】求导后将代入即可.
【详解】由题，，
所以，
故答案为：
10．（2023秋·辽宁阜新·高二校考期末）曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】解：，
当时，，
所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：.
11．（2023春·陕西渭南·高二统考期末）设函数的导函数为，若，则____________．
【答案】
【分析】求导得，进而计算即可.
【详解】解：由题知，，
所以
故答案为：
12．（2023秋·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期末）函数在点处的切线方程为______.
【答案】
【分析】求出函数的导数，继而可求得切线的斜率，根据直线的点斜式方程即可求得答案.
【详解】由函数可得，
故在点处的切线的斜率为，
故切线方程为，即，
故答案为：.
13．（2023秋·山东德州·高二校考期末）已知函数，则函数在点处的切线的方程为___________.
【答案】
【分析】首先求出导函数，再将代入求出切线斜率，最后根据点斜式求解切线方程即可.
【详解】已知，得.
将代入，得，
故切线方程为：，即.
故答案为：
14．（2023秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）函数的图像在点处的切线的倾斜角为______.
【答案】
【分析】先求导，再由导数的几何意义可得，再结合倾斜角的范围求解即可.
【详解】因为，所以，
则，
设直线的倾斜角为，则，
又，
所以，
故答案为：.
四、解答题
15．（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据基本初等函数的导数公式去求导即可解决
（1）
，则
（2）
，则
（3）
，则
（4）
，则
16．（2023春·陕西渭南·高二统考期末）求下列函数的导数：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数运算法则运算求解即可；
（2）根据导数运算法则运算求解即可；
【详解】（1）解：
（2）解：
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)