第10讲 函数的极值与最大（小）值-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）

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【考点目录】
【知识梳理】
知识点1 函数的极值点和极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
知识点2 函数极值的求法与步骤
(1)求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③列表；
④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
注：已知函数的极值求参数时应注意两点
(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．
知识点3 函数的最大(小)值与导数
(1)函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
知识点4 用导数求函数f(x)最值的基本方法
(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；
(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；
(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；
(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；
(5)求区间端点的函数值；
(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.
注：1. 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
2. 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
【考点剖析】
考点一 求函数的极值点和极值
1．（2023秋·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·北京大兴·高二统考期中）已知函数，则（ ）
A．有极小值，无极大值B．有极大值，无极小值
C．既有极小值又有极大值D．无极小值也无极大值
3．【多选】（2023秋·福建宁德·高二古田县第一中学校考阶段练习）设，函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数没有极大值，有极小值
B．当时，函数既有极大值也有极小值
C．当时，函数有极大值，没有极小值
D．当时，函数没有极值
4．【多选】（2023秋·湖北武汉·高二校联考期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数既存在极大值又存在极小值B．函数存在个不同的零点
C．函数的最小值是D．若时，，则的最大值为
5．（2023春·高二校考期末）已知函数．
(1)若，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间．
6．（2023·全国·高二假期作业）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值；
(2)求函数在区间上的最值．
考点二 利用函数的极值求参数
7．（2023秋·四川资阳·高二校考期中）函数在处有极值为，那么，的值为（ ）
A．，B．，
C．，或，D．，
8．（2023秋·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期末）已知函数在时有极值0，则= ______ .
9．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数有极值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．（2021春·陕西咸阳·高二校考期中）已知没有极值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023秋·福建宁德·高二校联考期中）若函数在内有极大值，则a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·高二课时练习）已知函数既存在极大值又存在极小值，求实数a的取值范围.
13．（2023春·山东济南·高二济南市历城第二中学校考期末）若函数在和两处取到极值，则实数的取值范围是___________；若，则实数的取值范围是___________.
考点三 函数（导函数）的图像与极值的关系
14．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）如图是函数的导函数的图象：
①函数在区间上严格递减；
②；
③函数在处取极大值；
④函数在区间内有两个极小值点．
则上述说法正确的是______．
15．【多选】（2023秋·河北邢台·高二校联考阶段练习）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
16．（2023秋·北京西城·高二统考期末）设函数的极小值为－8，其导函数的图象过点（－2，0），如图所示，则＝（ ）
A．B．
C．D．
17．（2023·高二单元测试）函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（ ）．
A．函数在内一定不存在最小值
B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点
D．函数在内可能没有零点
18．（2023秋·贵州遵义·高二统考期末）函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数在，上单调递增
B．函数在，上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
19．【多选】（2023秋·辽宁锦州·高二统考期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是的极小值点
C．函数在上有极大值D．是的极大值点
考点四 求函数的最值
20．（2023秋·四川乐山·高二统考期末）已知函数，则函数在上的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
21．（2023秋·四川乐山·高二统考期末）已知函数，则函数在的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
22．（2023秋·四川绵阳·高二校考期中）函数在区间上取得最大值时的值为（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·高二课时练习）设函数，若对任意的有恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
24．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ）
A．1B．2C．D．3
考点五 由函数的最值求参数
25．（2023秋·山东烟台·高二统考期末）若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（ ）
A．－2B．－1C．2D．
26．（2023秋·吉林·高二校联考期末）当时，函数取得最小值，则（ ）
A．B．C．D．
27．（2023秋·广东潮州·高二饶平县第二中学校考开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
28．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
29．（2023秋·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
30．（2023秋·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）若函数在区间内有最小值，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点六 由极值与最值关系求参数范围
31．（2023·高二课时练习）已知函数，若对任意的，，都有恒成立，则实数k的最大值是（ ）
A．－1B．0C．1D．2
32．（2023秋·青海西宁·高二校联考期末）已知函数若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
33．（2023秋·辽宁辽阳·高二辽阳市第一高级中学校联考期末）已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
34．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）若且）恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．D．
35．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·贵州毕节·高二统考期末）已知为函数的极大值点，则（ ）
A．3B．C．D．
2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市阿城区第一中学校校联考期末）若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·广东佛山·高二佛山市第四中学校考期末）设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在处取得极小值
D．函数在处取得极大值
4．（2023春·江苏连云港·高二校考期末）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．为函数的零点B．为函数的极大值点
C．函数在上单调递减D．是函数的最小值
5．（2023秋·青海西宁·高二校联考期末）给定函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数有两个零点B．函数在上单调递增
C．函数的最小值是D．当或时，方程有1个解
6．（2023秋·上海宝山·高二上海市行知中学校考期末）关于函数，下列判断正确的是（ ）
①是的极大值点
②函数有且只有1个零点
③存在正实数，使得成立
④对任意两个正实数，且，若，则
A．①④B．②③C．②④D．①③
二、多选题
7．（2023秋·河北廊坊·高二统考期末）已知函数，以下结论中正确的是（ ）
A．是偶函数B．有无数个零点
C．的最小值为D．的最大值为1
8．（2023秋·辽宁辽阳·高二辽阳市第一高级中学校联考期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在点的切线方程是
B．当时，在R上是减函数
C．若只有一个极值点，则或
D．若有两个极值点，则
9．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在定义域上单调递增
B．函数在定义域上有极小值
C．函数的单调递增区间为
D．不等式的解集为
三、填空题
10．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知函数在处取得极值0，则______．
11．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）已知是函数的极小值点，则_____．
12．（2023秋·新疆阿克苏·高二校考期末）若函数有两个极值点，则实数取值范围是______
13．（2023秋·山东泰安·高二统考期末）已知函数，，则的最大值为___________.
14．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知函数，若关于的方程，有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______．

四、解答题
15．（2023春·陕西渭南·高二统考期末）已知函数.
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；
(2)若函数在区间内存在极小值，求实数的取值范围.
16．（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知函数，为的导函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值．
17．（2023春·北京·高二北京八十中校考期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间和极值.
(3)若关于的方程有唯一的实数根，直接写出实数的取值范围.
18．（2023春·陕西渭南·高二统考期末）已知a，b是实数，1和3是函数的两个极值点．
(1)求a，b的值；
(2)求在上的最大值．