1.3 探索三角形全等的条件（七~八）-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版）

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1.角平分线的画法：
如图，是任意一个角，在，边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是平分线，此作法用的判定三角形全等的方法是什么？SSS
那除了用刻度尺的画法，我们还可以用圆规和直尺作角平分线吗？
作法：
以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D；
分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M；
作射线OM。
OM是∠ABC的角平分线。
2.如图，PC=PD，QC=QD，PQ与CD相交与点E，
证：PQ⊥CD
由此，你能发现用直尺和圆规过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法吗？
作法：
（1）以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于点C、D；
（2）分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点Q；
（3）作直线PQ。
直线PQ是经过直线AB外一点P的AB的垂线。
3.按下列做法，用直尺和圆规作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。
作法：
（1）作∠PCQ=90°；
（2）在射线CP上截取CB=a；
（3）以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ与点A；
（4）连接AB。
Rt▲ABC就是所求作的三角形。
看一下自己作的三角形和其他同学完全重合吗？
4.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′
求证： △ABC≌△A′B′C′
证：把两个直角三角形拼在一起，可证∠B=∠B′；
然后运用AAS证全等即可。
通过自己实践后发现： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 （简写成“ 斜边、直角边 ”或“ HL ” ）
几何语言：
在Rt▲ABC与Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°
∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL）
【解惑】
例1：王师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们都在两边上分别取，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是（ ）
A．；B．；C．；D．；
【答案】C
【分析】根据题意可知：王师傅用角尺平分一个角时使得：，，，故王师傅的依据为：；学生小顾用三角尺平分一个角时使得：，，且，故学生小顾的依据为：；即可得到结果
【详解】∵王师傅用角尺平分一个角，在两边上分别取，使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；
∴，，，
∴，
故王师傅的依据为：；
∵学生小顾用三角尺平分一个角，在两边上分别取，分别过，作，的垂线，交点为，
∴，，且，
∴，
故学生小顾的依据为：；
故答案为：C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和角平分线的概念，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键
例2：如图，是的角平分线，于点，点，分别是边，上的点，且，则______度．
【答案】180
【分析】过点作于点，由是的角平分线可得，可证出，可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
故答案为：180．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，证出．
例3：下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l外一点P ．
求作：直线l的垂线，使它经过点P ．
作法：如图2，
① 以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点；
② 连接PA和PB；
③ 作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q．
④ 作直线PQ ．
∴ 直线PQ就是所求的直线．
根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；
（2）补全下面证明过程：
证明：∵ PQ平分∠APB，
∴ ∠APQ=∠QPB．
又∵ PA= ，PQ=PQ，
∴ △APQ≌△BPQ（ ）（填推理依据）．
∴ ∠PQA=∠PQB（ ）（填推理依据）．
又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°，
∴ ∠PQA=∠PQB ＝ 90°．
∴ PQ ⊥ l ．
【答案】（1）见详解；（2）PB，两边及其夹角相等的两三角形全等，全等三角形对应角相等．
【分析】（1）根据尺规作图的步骤先做出PA，PB，然后再作出∠APQ的角平分线PQ即作出所求图；
（2）根据作图过程知PA=PB，再根据三角形全等的判定定理知所用到的判定定理和性质．
【详解】（1）如图：
（2）PB；两边及其夹角相等的两三角形全等；全等三角形对应角相等．
【点睛】此题考查学生的动手能力——尺规作图中角平分线和垂直平分线的作法，涉及到三角形全等的判定和性质，难度一般．
例4：如图，在8×6的方格纸中有线段AD，其中A，D在格点上，请分别按下列要求作△ABC（所作△ABC不是等腰三角形，作出一个即可．）
（1）在图1中，作△ABC，使AD为△ABC的中线，点B，C在格点上．
（2）在图2中，作△ABC，使AD为△ABC的高线，点B，C在格点上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）利用数形结合的思想画出图形即可．
【详解】解：（1）如图1中，△ABC即为所求．（答案不唯一）
（2）如图2中，△ABC即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
例5：如图，四边形中，，，，，与相交于点F．
(1)求证：
(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据即可证明．
（2）根据得到，结合得到，即可得结论．
【详解】（1）解：
在和中，
∴．
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【摩拳擦掌】
1．（2022·四川广元·统考一模）已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（ ）
A．20°B．50°C．60°D．40°
【答案】D
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：连接CN、DN．
由作图可知，CM=DM，CN=DN,
在△MCN和△MDN中，
，
∴△MCN≌△MDN（SSS），
∴∠CMN=∠DMN，
∵∠AOB=∠CMN=∠DMN，
∴∠CMD=2∠AOB=40°，
故选：D
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2022秋·天津·八年级天津市第五十五中学校考期末）如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；
（2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C；
（3）画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线．
在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．ASAB．SASC．SSSD．AAS
【答案】C
【分析】连接EC，DC，根据作图的过程证明三角形全等即可；，
【详解】
【点睛】本题主要考查了角平分线作图和全等三角形的判定，准确分析证明是解题的关键．
3．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期中）如图所示，利用尺规作∠AOB的平分线，做法如下：①在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSSB．ASAC．AASD．SAS
【答案】A
【分析】利用基本作图得到，，加上公共边线段，则利用“SSS”可证明△EOC≌△DOC，于是有∠EOC＝∠DOC．
【详解】由作法得，，
而OC＝OC，
所以△EOC≌△DOC(SSS)，
所以∠EOC＝∠DOC，即射线OC就是∠AOB的角平分线，
故选：A．
【点睛】本题属于角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的全等判定是解决本题的关键.
4．（2022秋·湖南·八年级期中）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径作圆弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．连结OG、OH．若∠A＝124°，则∠AEB的大小是___度．
【答案】28．
【分析】由作图可知BE平分∠ABC，根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再利用平行线的性质求出∠AEB的大小即可．
【详解】解：由作图可知：∠ABE＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，∠A＋∠ABC=180°，
∵∠A＝124°，
∴∠ABC=56°，
∴∠AEB＝∠ABC=＝28°，
故答案为：28．
【点睛】本题考查了角平分线的作法和平行线的性质，解题关键是明确角平分线的作法和熟练运用平行线的性质进行推理计算．
5．（2022秋·八年级课时练习）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，则________（填“”、“”或“”）．
【答案】=
【分析】根据作图步骤可判定MN为线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质和题中的条件，即可确定线段BD与AC的大小．
【详解】由作图步骤①可得：直线MN是线段BC的垂直平分线，点D在MN上
∴BD=CD
又∵CD=AC
∴BD=AC
故答案为：=
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质定理，根据作图的过程判定直线MN是线段BC的中点是本题解题的关键．
6．（2023秋·八年级课时练习）如图，中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为____________.

【答案】
【分析】先证明，然后得到求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
7.（2021秋·北京·八年级北京四中校考期中）如图，已知．按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交、于M、N两点；
②分别以点M，N为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内部交于点C．
则射线是的角平分线．
根据上面的作法，完成以下问题：
（1）使用直尺和圆规，作出射线（请保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明过程．（注：括号里填写推理的依据）．
连接，．
在和中，
∵
∴（ ），
∴________（ ），
即平分．
【答案】（1）见解析；（2），，全等三角形的对应角相等
【分析】（1）根据题目中的作图步骤画图即可；
（2）根据全等三角形的判定定理和性质，补充完整即可．
【详解】（1）如图所示，射线即为所求；
（2）连接，．
在和中，
∵
∴（ SSS ），
∴∠BOC（ 全等三角形对应角相等），
即平分．
【点睛】本题考查了角平分线的画法和全等三角形的判定与性质，解题关键是明确角平分线画法，熟练运用全等三角形的判定与性质进行证明．
8．（2020秋·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图,在△ABC中, ∠BAC是钝角,按要求完成下列画图．
（不写作法，保留作图痕迹）
①用尺规作∠BAC的角平分线AE．
②用三角板作BC边上的高AD．
③用尺规作AB边上的垂直平分线．
【答案】见解析.
【分析】（1）根据角平分线的做法作图即可；
（2）利用直角三角板，一条直角边与AC重合，另一条直角边过点B，再画垂线即可；
（3）根据线段垂直平分线的作法作图．
【详解】解：(1)如图所示：AE即为所求；
(2)如图所示：AD即为所求；
(3)如图所示：MN即为所求．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的基本作图方法．
【知不足】
1．（2021·河北·九年级专题练习）图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：
（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；
（2）弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；
（3）弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；
（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；
其中正确说法的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根据基本作图的方法即可得到结论．
【详解】解：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；
（2）弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；
（3）弧③是以A为圆心，大于AB的长为半径所画的弧，错误；
（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．
故选C．
【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法．
2．（2023·湖南永州·统考二模）判定三角形全等的方法有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．①②③④B．①②③⑤C．①②④⑤D．①③④⑤
【答案】A
【分析】根据判定三角形全等的方法分析即可求解．
【详解】解：判定三角形全等的方法有①；②；③；④，
故选：A．
【点睛】本题考查了判定三角形全等的方法，熟练掌握判定三角形全等的判定定理是解题的关键．
3．（2023秋·八年级单元测试）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．
4．（2022秋·辽宁铁岭·八年级校考期末）如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ______．
【答案】6或12/12或6
【分析】分情况讨论：①，此时，可据此求出P的位置；②，此时，点P与点C重合．
【详解】解：①当时，
∵，
在与中，
∴，
∴；
②当P运动到与C点重合时，，
在与中，
∴，
∴，
∴当点P与点C重合时，才能和全等，
综上所述，或12，
故答案为：6或12．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解题的关键，当题中没有明确全等三角形的对应边和对应角时，要分情况讨论，以免漏解．
5．（2023秋·福建莆田·八年级期末）如图，在中，，，，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，，要使与全等，则_____．
【答案】12或者6/6或12
【分析】分、两种情况讨论即可作答．
【详解】∵，
∴，
∴是直角三角形，
分情况讨论：
∵，，
∴当时，结合，利用“”即有；
当时，结合，利用“”即有；
即的值为12或者6，
故答案为：12或者6．
【点睛】本题主要考查了全等直角三角形的判定的知识，掌握利用“”证明两个直角三角形全等是解答本题的关键．
6．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是________________．
【答案】
【分析】根据判断出．
【详解】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题．
7．（2023春·八年级课时练习）如图，在与中，，，，，则______．
【答案】40°
【分析】根据HL，可以证明，则，再根据余角的性质即可求出的度数．
【详解】解：在中，
，
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为：40°
【点睛】此题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形两锐角互余的性质．
8．（2021秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图①，点P是∠AOB的平分线OC上的一点，我们可以分别OA、OB在截取点M、N，使OM=ON，连结PM、PN，就可得到.
（1）请你在图①中,根据题意，画出上面叙述的全等三角形和，并加以证明．
（2）请你参考（1）中的作全等三角形的方法，解答下列问题：
（Ⅰ）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角,∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系.
（Ⅱ）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（Ⅰ）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）（Ⅰ）FE=FD，证明见详解；（Ⅱ）FE=FD仍成立；理由见详解.
【分析】（1）根据题意，画出图形，直接根据SAS，即可证明；
（2）（Ⅰ）过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分别为G、H，连接BF，由角平分线性质，得到FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，又∠FDH=FEG=75°，由AAS证明△EFG≌△DFH，即可得到FE=FD；
（Ⅱ）与（Ⅰ）同理，得到FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，由∠ABC=60°，得到∠FDH=∠ABC+∠BAF=60°+∠BAF，又∠FEG =∠BAF+60°，则∠FDH=∠FEG=∠BAF+60°，然后利用AAS证明△EFG≌△DFH，即可得到结论成立.
【详解】解：（1）如图，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OM=ON，OP=OP，
∴△POM≌△PON（SAS）；
（2）（Ⅰ）如图，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分别为G、H，连接BF，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴点F为内心，则BF平分∠ABC，
∵FG⊥AB，FH⊥BC，
∴FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，
∵∠B=60°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠DAC=15°，∠ACE=45°，
∴∠FEG=∠BAC+ACE=30°+45°=75°，∠FDH=90°-15°=75°，
∴∠FDH=FEG=75°，
∴△EFG≌△DFH（AAS），
∴FE=FD；
（Ⅱ）FE=FD仍成立；理由如下：
如图，与（Ⅰ）同理，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分别为G、H，连接BF，
由（Ⅰ）可知，FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠BCA）=，
∵∠FDH=∠ABC+∠BAF=60°+∠BAF，
∠FEG=∠BAC+∠FCA=∠BAF+∠FAC+∠FCA=∠BAF+60°，
∴∠FDH=∠FEG=∠BAF+60°，
∴△EFG≌△DFH（AAS），
∴FE=FD.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线定理，以及三角形外角性质.解题的关键是正确作出辅助线，构造出全等三角形的条件，从而证明三角形全等.
【一览众山小】
1．（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，于点D，，若cm，则的值为（ ）
A．7cmB．8cmC．9cmD．10cm
【答案】B
【分析】由条件可证明，则可求得，可求得答案．
【详解】∵，
∴
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握证全等及边的转换．
2．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线． 可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．HLD．SSS
【答案】C
【分析】根据作图过程可以证明RtRt（HL），进而可得结论．
【详解】∵，
在Rt和Rt中，
，
∴RtRt（HL），
∴，
∴射线就是的平分线
故选：C
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面材料：
已知线段a，b．
求作：，使得斜边，一条直角边．
作法：
（1）作射线、，且．
（2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线于点C．
（3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线于点B．
（4）连接．则就是所求作的三角形．
上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】由作法可知，根据即可判定三角形全等．
【详解】解：题干尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形全等的判定．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）在课堂上，老师发给每人一张印有（如图所示）的卡片，然后，要同学们尝试画一个，使得.小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示
老师评价：他俩的做法都正确.请你选择一位同学的做法，并说出其作图依据.我选______的做法（填“小赵”或“小刘”），他作图判定的依据是______
【答案】 小刘(或小赵) （或）
【分析】由图可知小赵同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为 ．
由图可知小刘同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为 ．
【详解】小赵同学画了后，再截取两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是定理；
小刘同学画了后，再截取一直角边和一个斜边，所以确定的依据是定理．
故答案为：小刘(或小赵)；（或）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键．
5．（2022秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期末）数学活动课上，同学们探究了角平分线的作法．下面给出三个同学的作法：
请根据以上情境，解决下列问题
(1)小红的作法依据是 ．
(2)为说明小明作法是正确的，请帮助他完成证明过程．
证明：∵OM＝ON，OC＝OC， ，
∴△OMC≌△ONC( )(填推理的依据)
(3)小刚的作法正确吗?请说明理由
【答案】（1）等腰三角形三线合一定理；（2）CM=CN，边边边；（3）正确，证明见详解．
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一定理，即可得到结论成立；
（2）利用SSS，即可证明△OMC≌△ONC，补全条件即可；
（3）利用HL，即可证明Rt△OPM≌Rt△OPN，即可得到结论成立．
【详解】解：（1）∵OM=ON，
∴△OMN是等腰三角形，
∵OP⊥MN，
∴OP是底边上的高，也是底边上的中线，也是∠MON的角平分线；
故答案为：等腰三角形三线合一定理；
（2）证明：∵OM＝ON，OC＝OC，CM=CN，
∴△OMC≌△ONC（边边边）；
∴∠MOC=∠NOC，
∴OC平分∠AOB；
故答案为：CM=CN，边边边；
（3）小刚的作法正确，证明如下：
∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
∵OM=ON，OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP平分∠AOB；
小刚的作法正确．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质进行证明．
6．（2021·吉林·九年级专题练习）在数学课上，老师提出如下问题
老师说：“小华的作法正确”
请回答：小华第二步作图的依据是______．
【答案】等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：小华第二步作图的依据是等腰三角形的性质，
故答案为等腰三角形的性质．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：五种基本作图一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，逐步操作．
7．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算．
已知：在中，，．
(1)作边上的高，作的平分线，与相交于点．
(2)求所作图形中的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用基本作图，过点作于，再利用基本作图作的平分线， 与相交于点；
（2）首先根据直角三角形两锐角互余计算出，再根据角平分线的性质得出，根据同角的余角相等得，最后根据三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】（1）如图，线段是边上的高，线段是的角平分线．
（2），，
，，
是的角平分线，
，
线段是边上的高，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了作图——基本作图，也考查了三角形内角和定理，角平分线性质，熟练掌握基本几何图形的性质是解本题的关键．
8．（2022秋·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，，点A、B分别在射线OM、ON上，点C在内部.
(1)若，
①如图1，若，求证：.
②如图2，若，求证：OC平分.
(2)如图3，点A、B分别在射线OM、ON上运动，点C随之运动，且，P为OM上定点，当点C运动到何处时，PC的长度最短？请用尺规作图作出PC最短时C点的位置（保留作图痕迹，不要写作法）
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)当点C运动到PC⊥OC时，PC最短，作图见解析
【分析】（1）①如图1，连接OC，可证得Rt△OAC≌Rt△OBC（HL），即可得出CA=CB．
②如图2，过点O作OD⊥CB交CB的延长线于点D，作OE⊥AC于点E，连接OC，可证得△OAE≌△OBD（AAS），Rt△OCE≌Rt△OCD（HL），即可得出OC平分∠ACB．
（2）如图3，过点C作CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点E，作射线OC，可证得△CAD≌△CBE（AAS），Rt△OCD≌Rt△OCE（HL），得出点C在∠MON的平分线上运动，所以当点C运动到PC⊥OC时，PC最短时C点的位置．
【详解】（1）证明：①如图1，连接OC，
∵CA⊥OM，CB⊥ON，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
在Rt△OAC和Rt△OBC中，
，
∴Rt△OAC≌Rt△OBC（HL），
∴CA=CB．
②如图2，过点O作OD⊥CB交CB的延长线于点D，作OE⊥AC于点E，连接OC，
则∠OEA=∠ODB=90°，
∵∠ACB=∠MON=90°，∠OAE+∠OBC+∠ACB+∠MON=360°，
∴∠OAE+∠OBC=180°，
∵∠OBD+∠OBC=180°，
∴∠OAE=∠OBD，
在△OAE和△OBD中，
，
∴△OAE≌△OBD（AAS），
∴OE=OD，
在Rt△OCE和Rt△OCD中，
，
∴Rt△OCE≌Rt△OCD（HL），
∴∠OCE=∠OCD，
∴OC平分∠ACB．
（2）如图3，过点C作CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点E，作射线OC，
则∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=∠MON=90°，∠CAD+∠OBC+∠ACB+∠MON=360°，
∴∠CAD+∠OBC=180°，
∵∠CBE+∠OBC=180°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△CAD和△CBE中，
，
∴△CAD≌△CBE（AAS），
∴CD=CE，
在Rt△OCD和Rt△OCE中，
，
∴Rt△OCD≌Rt△OCE（HL），
∴∠COD=∠COE，
∴OC平分∠MON．
∴点C在∠MON的平分线上运动，
∴当点C运动到PC⊥OC时，PC最短，
可以过点P作OC的垂线段找到，如图3所示，点C′即为所求作的点．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段最短，作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．（2023春·全国·七年级期末）已知ABC．
(1)如图1，按如下要求用尺规作图：
①作出ABC的中线CD；
②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）
(2)在（1）中，直线AE与直线BC的关系是 ；
(3)如图2，若∠ACB＝，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；
(4)如图3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF＝4，则DE的长是 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
(4)
【分析】（1）①根据三角形的中线的定义，作的垂直平分线，交于点，连接即可．
②根据要求，延长CD至E，使DE＝CD，连接AE即可．
（2）结论：，利用全等三角形的判定和性质证明即可．
（3）结论：．利用全等三角形的判定和性质证明即可．
（4）利用全等三角形的性质证明，再利用（3）中结论解决问题．
【详解】（1）①如图1所示，作的垂直平分线，交于点，连接，则线段CD即为所求；
②如图1中，线段DE，AE即为所求；
（2）结论：．
理由：在△CDB和△EDA中，
，
∴△CDB≌△EDA（SAS），
∴∠B=∠DAE，
∴．
故答案为：．
（3）AB与CD的数量关系是：AB=2CD，理由如下：
如图3-2，延长CD至E，使DE=DC，连接BE，
∵CD是中线，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴∠E=∠ACD，AC=BE，
∴，
∴∠ACB+∠EBC=，
∵∠ACB=，
∴∠EBC=，
在△ACB和△EBC中，
，
∴△ACB≌△EBC（SAS），
∴AB=CE，
∵CE=2CD，
∴AB=2CD．
（4）如图3中，
∵BE⊥AC，∠ACB=，
∴∠CEB=∠BEA=，∠ECB=∠EBC=，
∴EC=EB，
∵AC=BC，CD是中线，
∴CD⊥AB，
∵∠CEF=∠BDF=，∠CFE=∠BFD，
∴∠ECF=∠ABE，
在△CEF和△BEA中，
，
∴△CEF≌△BEA（ASA），
∴CF=AB=4，
∵AD=BD，∠AEB=，
∴DE=AB=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的中线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的性质，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（2020·广西·九年级统考学业考试）如图，已知，直线及上两点，．尺规作图：作，使点在直线的上方，，．（保留作图痕迹，且用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明）
【答案】见解析．
【分析】分别根据过直线上一点作已知直线的垂线、作一个角等于已知角的作图步骤，尺规作图即可.
【详解】如图所示，作出，
作出，
即为所求.
【点睛】本题考查过直线上一点作已知直线的垂线、作一个角等于已知角这两个尺规作图的结合，熟练掌握这几种尺规作图的具体作法是解题的关键.
11．（2021春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，已知，，请用尺规作图在上取一点，使得．
【答案】详见解析.
【分析】作线段的垂直平分线，直线交于点，连接，点即为所求．
【详解】解：如图点即为所求．
理由：垂直平分线段，
，
．
【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键在于灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（2019秋·江苏无锡·七年级校考期末）作图，思考并回答问题：如图，已知：ABC
（1）按下列要求作图：取边AB、AC的中点D、E，连结线段DE；
（2）用刻度尺测量线段 DE、BC的长度分别为 ；
（3）用量角器得B与 ADE的度数分别为 ；
（4）通过（2）、（3）你发现DE与BC什么关系？请写出你的猜想．
【答案】（1）见详解图；（2）DE=2.3cm，BC=4.6cm；（3）∠B=30°，∠ADE=30°（4）DE∥BC且DE=BC.
【分析】（1）分别作出AB，AC中点，连接即可得出DE；
（2）用刻度尺测量线段DE、BC的长度即可；
（3）用量角器得∠B与∠ADE的度数即可；
（4）通过（2）、（3）你发现DE与BC的数量关系是相等，位置关系是平行．
【详解】(1)如图所示：DE即为所求；
(2)线段DE、BC的长度分别为：2.3cm，4.6cm；
(3)∠B与∠ADE的度数分别为：30°,30°；
(4)通过(2)、(3)发现：DE∥BC且DE=BC.
【点睛】本题考查尺规作图，主要考查作线段的中点，做线段的中点的主要步骤①分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半的长度为半径作弧，两弧交于两点，②过这两点作直线，与原线段的交点即为中点．
13．（2019·浙江金华·校联考一模）如图，在4×4方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．请按要求完成下列作图，仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角．
（1）在图1中，画出一个与△ABC面积相等的且与△ABC有公共边的格点三角形；
（2）在图2中，画出直线CE，使得CE⊥AB，其中E是格点．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）根据要求画出△BCD即为所求．
（2）取格点E，作直线EC即可．
【详解】解：（1）△BCD即为所求．
（2）取格点E，作直线EC即可．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
小红的作法
如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再过点O作MN的垂线，垂足为P，则射线OP便是∠AOB的平分线．
小明的作法
如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．
小刚的作法
如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，则射线OP便是∠AOB的平分线．