广东省茂名市电白区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份广东省茂名市电白区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．要制作一个“爱我中华”的展板，如图所示，用板制作的“中”字的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，身高的小利（）站在距路灯杆的C点处，测得她在灯光下的影长为，则路灯的高度为（ ）
A．B．C．D．
5．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为（ ）
A．B．C．4D．
6．将放大到3倍，得到，则与的面积比是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，当时，y的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则点A到的距离为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）
A．3B．6C．D．
二、填空题
11．，则 ．
12．如图，点A在反比例函数的图像上，轴于点B，点C在y轴上，的面积为，则m的值为 ．

13．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
14．如图，在中，点分别是的中点，点是上一点，，，，则 ．
15．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，．如果，那么 ．
16．如图，P是的斜边（不与点A、C重合）上一动点，分别作于点M，于点N，O是的中点，若，，当点P在上运动时，的最小值是 ．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）解方程：．
18．有两部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择一部观看．
(1)甲、乙两人都选择A电影的概率是______；
(2)用画树状图的方法求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率．
19．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根为，，且，求m的值．
20．如图，，与交于点E，且，，．
(1)求的长；
(2)求证：．
21．从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段，某商家在直播间销售一种进价为每件8元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
(1)求W与x之间的函数关系式；
(2)该商家每天想获得2200元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？
22．某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）

(1)求点到地面的高度；
(2)求建筑物的高度．
23．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与y轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
24．问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与β的数量关系．
问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数；
（2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系；
问题拓展：
将图1特殊化，如图3，当，，且时，求的值．
参考答案：
1．C
【分析】从上往下看，得到俯视图即可．
【详解】解：由题意，俯视图为：

故选C．
【点睛】本题考查三视图．熟练掌握俯视图是从上往下看得到的，是解题的关键，注意存在看不见的线，用虚线表示．
2．B
【分析】本题考查了比例的性质，掌握内项之积等于外项之积是关键．首先根据可得，整理可得，进而得到结果．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理，正切的计算，先用勾股定理求得，再根据正切定义计算即可．
【详解】∵，，，
∴，
∴，
故选B．
4．A
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，证明，列出比例式计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故选A．
5．D
【分析】本题考查配方法解一元二次方程；把的常数项移项，方程方程两边同时加16进行平方，即可得到关于的一元一次方程，解方程求出值即可得答案．熟练掌握配方法的步骤是解题关键．
【详解】解：，
移项得：，
两边同时加16得：，
配方得：，
∵一元二次方程配方后得到方程，
∴，
解得：，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的面积比等于相似比的平方，难度不大．首先确定三角形的相似比，然后确定面积的比即可．
【详解】解：将放大到3倍，得到，
，
与的面积比是，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点与点的坐标得到位似比，然后根据位似比得到点坐标．
【详解】解：与位似，原点是位似中心，
而，，
与的位似比为，
，
点的坐标是为，，即．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限是解答此题的关键．先求出时的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】解：当时，，
反比例函数中，，
在第三象限内随的增大而减小，
．
故选：C．
9．C
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理的应用，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据勾股定理求出菱形的边长是解题的关键．先由菱形的性质求得，，，再根据勾股定理求得，设点到的距离是h，由，得，即可得到问题的答案．
【详解】解：四边形是菱形，，，
，，，
，
设点到的距离是h，
，
，
，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查正方形与折叠，含30度角的直角三角形，根据正方形的性质，折叠的性质，得到，进而得到，，设，则，，即可得到，求解即可．解题的关键是掌握正方形的性质和折叠的性质．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得：．
故选：B．
11．30
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：，
，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了由三角函数值求锐角，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，平行线间的距离处处相等，连接，得到，结合，计算即可．
【详解】连接，
∵ 轴，的面积为，
∴，

∴，
∴，
∵ 反比例函数在二、四象限，
∴，
故答案为：．
13．1
【详解】解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得（30-2x）（20-x）=532，
整理，得x2-35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米，
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据图形列出方程是解题关键．
14．
【分析】根据三角形的中位线即可得到DE的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到EF的长度，进而得到DF即可．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=，
又∵，，
∴，
∴DF=DE-EF=8-5=3cm
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟悉三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线的性质．
15．30
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，根据题意易证四边形是平行四边形，，得到，由，推出，进而得到，根据，由即可求解．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：30．
16．/
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识．连接，证四边形是矩形，得．再根据当时，最小，然后由面积法求出的最小值，即可解决问题．
【详解】解：连接，如图，

∵，，
∴．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，与互相平分．
∵点O是的中点，
∴点O在上，．
∵当时，最小，
又∵此时，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．（1）（2），
【分析】本题主要考查实数的运算和解一元二次方程，三角函数求值，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
（1）代入三角函数值，计算绝对值，化简二次根式，最后计算加减运算即可；
（2）先去括号，移项，再因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：，
或，
，．
18．(1)
(2)
【分析】（1）画树状图展示所有4种等可能的结果数，找出甲、乙两人都选择A电影的结果数，然后利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出甲、乙、丙3人选择同1部电影的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：画树状图如下：
由树状图可知共有4种可能结果，
其中甲、乙两人都选择A电影的有1种结果，
∴甲、乙两人都选择A电影的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知共有8种可能结果，
其中三人选择同一部电影的有2种结果，
∴三人选择同一部电影的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
19．(1)
(2)的值为4
【分析】（1）根据方程的根的判别式即可．
（2）根据根与系数关系定理，得，结合计算即可，熟练掌握根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键．
【详解】（1）∵方程一元二次方程有实数根，，
∴，
解得．
（2）∵的两个实数根分别是，，
∴，
∵，
∴，
解得．
20．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质：
（1）利用根据相似三角形的判定得，再根据即可求解；
（2）利用及即可求解结论；
熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）解：，，
，
，
；
，
．
（2）证明：，，
，
，
．
21．(1)
(2)将销售单价应定为18元
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意，构造二次函数，运用函数的性质解决问题即可．
（1）根据总利润等于单件的利润乘以销售件数，列出等式即可．
（2）令，结合实际确定即可．
【详解】（1）根据题意，单件的利润为元，销售件数为，
故，
化简，得：，
即函数关系为：．
（2）令，可得：，
解得：，，
当时，销量：（件）；
当时，销量：（件）；
销量越高，越有利于减少库存，即为了减少库存，将销售单价应定为18元．
22．(1)点到地面的高度为；
(2)．
【分析】（）作，利用坡度的定义求解即可；
（）在（）的基础之上，作，利用三角函数求解的长度即可；
此题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握坡度，仰角俯角等基本定义，灵活构造直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）过点作于点，于点，

在中，，设，，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴，
∴点到地面的高度为；
（2），过点作于点，如上图，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，∴，
即：，解得：，
∴，
答：建筑物的高度约为米．
23．(1)；
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，利用图象法求不等式的解集：
（1）把代入，可得反比例函数的解析式，进而求出点A坐标，将，B坐标代入可得一次函数的解析式；
（2）先求出点C，点D的坐标，再根据求解；
（3）一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的x的值，即为不等式的解集．
【详解】（1）解：把代入，得：，
反比例函数的解析式为；
把代入，得：，
，
把、代入，得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：由可知C的坐标为，
点D与点C关于x轴对称，
，
，
；
（3）解：根据图象得：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
不等式的解集为：或．
24．问题探究（1）；（2）；问题拓展：
【分析】问题探究（1）在上截取，使得，证明得到，进一步证明，，即可求出；
（2）在上截取，使，连接，证明得到，求出得到，进而得到；
问题拓展：过点A作的垂线交的延长线于点P，先计算出，．在中，，，再求出，进而证明，得到，即可求出．
【详解】解：问题探究（1）如图2中，在上截取，使得．
∵四边形是正方形，
，，
∵，
，
∵，，
，
∵，
，
，
∵，，
∴，
，
，
；
（2）结论：；
理由：如图1中，在上截取，使，连接．
∵，，
．
∵，
，
．
∵，，
．
∵，
，
∴，
；
问题拓展：如图3中，过点A作的垂线交的延长线于点P．
∵，，
，．
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴在中，，
，，
∴．
∵，
∴由（2）知，，
∴，
又∵，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用勾股定理解直角三角形等知识，综合性强，理解题意，根据题意添加辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题关键．