2024大理白族自治州高一上学期期末考试数学含解析

这是一份2024大理白族自治州高一上学期期末考试数学含解析，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题：，的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则在上的最大值为（ ）
A. B. C. D. 0
6. 已知，，则函数值域为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A. B. 1C. 5D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 下列条件中，是“”的一个充分不必要条件的是（ ）
A. B. C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 终边在轴上角的集合是
B. 若角的终边在第二象限，则角是钝角
C. 若角是钝角，则角终边在第二象限
D. 终边在直线上角的集合是
11. 设正实数，满足，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
12. 已知函数，且，则（ ）
A. B. 奇函数
C. 函数的图象关于点对称D. 不等式的解集为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知是定义域为的奇函数，则______.
14. 若，则______.
15. 若，且，则______.
16. 已知、、都是正数，且，则的最大值为______.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合.
（1）当时，求集合；
（2）若集合只有2个子集，求实数的值.
18 已知函数.
（1）若函数的图象过点，求实数的值；
（2）当时，求关于的不等式的解集.
19. （1）已知，若，求的值；
（2）已知，求最大值.
20. 已知幂函数.
（1）求的值；
（2）若，求实数的取值范围.
21. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间.
22. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.
（1）求函数的次不动点；
（2）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围.大理州2023—2024学年上学期教学质量监测
高一数学
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题：，的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】解：因为命题：，是全称量词命题，
所以其否定为存在量词命题，即，，
故选：C
2. 不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判别式小于等于零解出a的范围即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以判别式，解得，
故选：A.
3. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】集合，，
则
故选：B.
4. 函数零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据连续函数零点的存在性定理直接进行判断在哪个区间上有零点，再结合函数的单调性说明函数在其它区间上没有零点.
【详解】因为：，，，
，.
所以函数在区间上有零点.
又在上为增函数，所以最多一个零点，故在其它区间上不存在零点.
故选：C
5. 若，则在上的最大值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】由，利用正弦函数的性质求解.
【详解】解：，
因为，所以，则，
所以，所以在上的最大值为0，
故选：D
6. 已知，，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得到，再作出其图象求解.
【详解】解：由题意得：，
其图象，如图所示：
由图象知：函数y的值域为，
故选：A
7. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的图象求得，再利用平移变换求解.
【详解】解：由函数的图象知：，，则，所以，
则，因为点在图象上，所以，
则，即，
因为，则，所以，
将函数图象上所有点向右平移个单位，得到，
故选：D
8. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A. B. 1C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件分析出是周期为的周期函数，然后利用周期性可得，结合已知函数值可求结果.
【详解】因为，所以，
又因为是定义域为的奇函数，所以，且,
所以，所以，
所以，所以是周期为的周期函数，
所以，，
因，所以，
因为，所以，
所以，
故选：B.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 下列条件中，是“”的一个充分不必要条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由子集与推出关系判断.
【详解】由：或.
是“”的充分不必要条件对应的集合应该是或的真子集.
满足条件的有AB.
故选：AB
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 终边在轴上角的集合是
B. 若角的终边在第二象限，则角是钝角
C. 若角是钝角，则角的终边在第二象限
D. 终边在直线上角的集合是
【答案】CD
【解析】
【分析】根据终边相同的角的表示方式进行判断AD，根据钝角的概念判断BC.
【详解】对A：终边在轴上的角的集合是：，故A错；
对B：终边在第二象限的，未必都是钝角，例如，故B错；
对C：因为钝角是大于小于的角，必在第二象限，故C对；
对D：终边在直线上的角的集合是：，故D对.
故选：CD
11. 设正实数，满足，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式可判断ACD；利用配方法可判断B.
【详解】对于A，因为，所以，
当且仅当时取等，故A正确；
对于B，，，
所以无最小值，故B错误；
对于C，因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，因为正实数满足，所以
，当且仅当即，等号成立，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
12. 已知函数，且，则（ ）
A. B. 是奇函数
C. 函数的图象关于点对称D. 不等式的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】由，解得，从而判断A；根据奇函数的定义判断B；通过判断是否成立判断C；判断出函数在R上单调递增，将原不等式转化为，求解后判断D.
【详解】解：因为，所以，解得，故A错误；
所以，
因为，
所以是奇函数，故B正确；
因为，
所以函数的图象不关于点对称，故C错误；
因为，
易知在R上单调递增，
所以，解得，
所以不等式的解集为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：如果，则函数关于点中心对称.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知是定义域为的奇函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求得的值，则可求.
【详解】因为是定义域为的奇函数，
所以，所以，
所以，
故答案为：.
14. 若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正切和角公式得到方程，求出.
【详解】，
故，解得.
故答案为：
15. 若，且，则______.
【答案】5
【解析】
【分析】由代入即可求得解析式，再次用代入法即可求解.
【详解】依题得，解得，则，
则.
故答案为：5
16. 已知、、都是正数，且，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为、、都是正数，且，
由基本不等式可得，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
故答案为：.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合.
（1）当时，求集合；
（2）若集合只有2个子集，求实数的值.
【答案】17.
18. 0或
【解析】
【分析】（1）代入求解出方程的解，则可知；
（2）根据进行分类讨论：当时，根据（1）的结果分析即可，当时，考虑的情况，由此可求结果.
【小问1详解】
当时，由解得，
所以.
【小问2详解】
因为集合只有个子集，所以集合中只有个元素，
当时，，显然满足；
当时，若中只有个元素，只需满足方程仅有个解，
所以，解得，解方程可得，此时，满足条件；
综上所述，的取值为0或
18. 已知函数.
（1）若函数的图象过点，求实数的值；
（2）当时，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入于解析式，则的值可求；
（2）将不等式变形为“”，结合对数函数的单调性可求解出不等式的解集.
【小问1详解】
因为的图象过，
所以，即，
所以.
【小问2详解】
因且，所以，
所以，又在上单调递增，
所以，即不等式的解集为.
19. （1）已知，若，求的值；
（2）已知，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数关系得到，，利用半角公式和正弦和角公式化简，代入求值即可；
（2）根据正弦差角公式和辅助角公式得到，整体法求出最大值.
【详解】（1），
因为，所以，
又，故，
因为，所以，故，
则；
（2）
，
其中，
故的最大值为，
此时.
20. 已知幂函数.
（1）求的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由幂函数的概念求解即可；
（2）由的单调性，进行分类讨论即可得出答案.
【小问1详解】
因为是幂函数，
所以，即，所以，
解得：
【小问2详解】
由（1）知，的定义域为，
所以在上单调递减，
当，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
故实数的取值范围为：.
21. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用平方差公式及平方关系和余弦的二倍角公式即可化简函数，结合周期的公式即可求；
（2）去绝对值，讨论出单调性即可.
【小问1详解】
由
，
则其最小正周期为；
【小问2详解】
由（1）得，
当，由，
得，结合定义域，故单调递减，
当时，
由，得，
结合定义域，故单调递减，
综上函数的单调递减区间
22. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.
（1）求函数的次不动点；
（2）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围.
【答案】（1）和
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的次不动点定义建立方程，求解即得；
（2）因函数各有一个不动点和一个次不动点，故相当于对应的两个方程各有一个解，将两个方程利用参变分离法转化成求解对应函数的值域问题，最后求交即得.
【小问1详解】
设函数的次不动点为，则，即，将等式两边平方整理得：或，均符合题意，
故函数的次不动点为和.
【小问2详解】
设函数在上的不动点和次不动点分别为和.则由可得：，
即：，化简得：，，因在时为增函数，故，即；
再由可得：，即：，化简得：，，
因在时为增函数，故，即.综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查的是函数新定义问题.
解题关键在于设出不动点（或次不动点）后，对于方程有解的问题最便捷的方法就是运用参变分离法，把求参数取值范围的问题转化为求对应函数在给定区间上的值域问题.