2024合肥庐江县八校高一上学期第二次集体练习数学含解析

这是一份2024合肥庐江县八校高一上学期第二次集体练习数学含解析，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 设集合，若，则（ ）
A. B. C. D. 或
2. 若函数（，且）恒过定点P，则点P坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 命题：，，则命题的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 设，，，则使得恒成立，求的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 与表示同一函数的是（ ）
A. B.
C D.
7. 设函数,
A. 3B. 6C. 9D. 12
8. 已知函数，则解析式为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. (多选)下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D. ·
10. 下列运算法则正确的是（ ）
A.
B.
C. （且）
D.
11. 已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ）
A.
B. 函数在区间为增函数
C. 函数在区间为增函数
D.
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________．
14. 函数，若不等式解集是，则____________.
15. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量_______m3．
16. 已知函数，则使得的的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算的步骤．
17. （1）；
（2）.
18. 已知集合，.
（1）是否存在实数，使？若存在求出的值：若不存在，请说明理由.
（2）若，求实数的取值范围.
19. 已知函数是指数函数．
(1)求的表达式；
(2)判断的奇偶性，并加以证明
(3)解不等式：．
20. 某租赁公司有750辆电动汽车供租赁使用,管理这些电动汽车的费用是每日元．根据调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出去的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为元（），用(单位：元)表示出租电动汽车的日净收入．(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)
（1）求关于的函数解析式；
（2）试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时？才能使日净收入最多，并求出日净收入的最大值．
21. 我们知道，，当且仅当时等号成立.即a，b算术平均数的平方不大于a，b平方的算术平均数.
此结论可以推广到三元，即，当且仅当时等号成立.
（1）证明：，当且仅当时等号成立.
（2）已知.若不等式恒成立，利用（1）中的不等式，求实数的最小值.
22. 已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）已知的定义域为.若方程有唯一实根，求实数k的取值范围.每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3
2023-2024学年度第一学期第二次集体练习
高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 设集合，若，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式求得集合，由此求得.
【详解】由，解得，
所以，所以或
故选：D
2. 若函数（，且）恒过定点P，则点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，即可获解
【详解】当时，，所以函数（，且）恒过定点
故选：C
3. 命题：，，则命题的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】命题：，等价于，或，由含有量词的命题的否定可直接判断.
【详解】命题中，由可解得或，
即命题：，等价于，或，
则命题的否定是，.
故选：D.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，注意含有定义域的命题在判断时要将定义域考虑进去，属于基础题.
4. 设，，，则使得恒成立，求的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】因为，，，
所以
当且仅当，即时等号成立，所以
故选：C
【点睛】本题主要考查的是利用基本不等式求最值，考查了学生对基本知识的掌握情况.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
易得，，然后由推出比较即可.
【详解】，
，
，
又，
所以.
故选：D
6. 与表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别判断四个选项中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即可得到答案.
【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，与对应法则相同,是同一个函数；
对于选项D：的定义域为，的定义域为R，故两个函数不是同一个函数；
故选：C
【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于容易题.
7. 设函数,
A 3B. 6C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【详解】.故选C.
8. 已知函数，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，则，代入已知解析式可得的表达式，再将换成即可求解.
【详解】令，则 ，
所以，
所以，
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. (多选)下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D. ·
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据指数幂的运算法则及运算性质，分选项排除即可．
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，成立，故B正确；
对于C，，成立，故C正确；
对于D，由可取且，但此时和无意义，故D错误，
故选：ABC．
10. 下列运算法则正确的是（ ）
A.
B.
C （且）
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】取可判断A选项的正误；取，可判断B选项的正误；利用对数的换底公式可判断C选项的正误；利用指数的运算性质可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若，则无意义，A选项错误；
对于B选项，若，，则无意义，B选项错误；
对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确；
对于D选项，当，、时，，D选项正确.
故选：CD.
11. 已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】本题首先可以根据题意绘出函数的大致图像，然后根据当时得出恰有三个互异的实数解需要满足，最后通过计算即可得出结果.
【详解】当时，
函数的大致图像如图所示：
因为当时，，
所以要存在实数a，使关于的方程恰有三个互异的实数解，
需要满足且，解得，
故选：A、B.
【点睛】本题考查根据方程根的数目求参数，能否绘出函数的图像是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题.
12. 已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ）
A.
B. 函数在区间为增函数
C. 函数在区间为增函数
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】令可判断A；不妨设，可得，即，即可判断B；结合选项B，可取判断C；结合选项B及不等式的性质判断D.
【详解】令，则有，即，故A错误；
不妨设，由，可得，
∴，∴函数在区间为增函数，故B正确；
由选项B可知，函数在区间为增函数，
可取，此时在区间为增函数，
而，可知函数在上为减函数，在上为增函数，故C错误；
∵函数在区间为增函数，，
∴，
∴，
∴，故D正确.
故选：BD.
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，函数的定义域为，
所以函数有意义应满足，解得，
所以的定义域为.
故答案为：
14. 函数，若不等式的解集是，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据－1和2是方程的解可得．同时可得．
【详解】由题意，方程有两个不等实解，，，
又不等式的解集为，∴和2是方程的解且，
∴或，解得或（舍去）．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查已知一元二次不等式的解集求参数，解题关键是掌握“三个二次”的关系．
15. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量_______m3．
【答案】16
【解析】
【分析】
由表格列出分段函数，再将水费代入求解对应用水量即可
【详解】设用数量，交纳水费为，由题可知，当时，解得，
故答案为：16
【点睛】本题考查实际问题中函数模型的应用，属于基础题
16. 已知函数，则使得的的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】令，则，利用奇偶性和单调性求解不等式.
【详解】令，显然是偶函数，且在内单增.
因为，
所以，解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算的步骤．
17. （1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解；
（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解.
【详解】（1）根据指数幂的运算法则可得：原式
.
（2）根据对数的运算法则可得：原式=.
18. 已知集合，.
（1）是否存在实数，使？若存在求出的值：若不存在，请说明理由.
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）不存在实数，使，理由见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意可得，解得，然后验证即可；
（2）由题意只可能为，，，，分类讨论即可求解.
【详解】（1），所以且中不含除0，2，4以外的实数，即，解得.
验证：此时，所以不存在实数，使.
（2）题干可转化为，即只可能为，，，
①，即，解得
②，即，无解
③中只有一根时，当时，解得成立
当，即，解得，此时，不符合题意
综上所述，
【点睛】本题主要考查了交集，并集及其运算，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
19. 已知函数是指数函数．
(1)求的表达式；
(2)判断的奇偶性，并加以证明
(3)解不等式：．
【答案】（1）（2）见证明；（3）
【解析】
【分析】(1)根据指数函数定义得到，检验得到答案.
(2) ，判断关系得到答案.
(3)利用函数的单调性得到答案.
【详解】解：（1）∵函数是指数函数，且，
∴，可得或（舍去），∴；
（2）由（1）得，
∴，∴，∴是奇函数；
（3）不等式：，以2为底单调递增，
即，
∴，解集为．
【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.
20. 某租赁公司有750辆电动汽车供租赁使用,管理这些电动汽车的费用是每日元．根据调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出去的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为元（），用(单位：元)表示出租电动汽车的日净收入．(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)
（1）求关于的函数解析式；
（2）试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时？才能使日净收入最多，并求出日净收入的最大值．
【答案】(1) ;(2) 当每辆电动汽车的日租金为170元时,才能使日净收入最多,为85000元
【解析】
【分析】(1)分情况讨论,当与两种情况进行计算即可
(2)分当与两种情况表达日净收入的表达式,再根据函数性质求解最值即可.
【详解】(1) 当时,,;
当时, ,
故关于函数解析式为
(2)由(1)有当时为增函数,
故当时取最大值；
当时, 为二次函数，对称轴为.
故当时取最大值；
故当每辆电动汽车的日租金为170元时,才能使日净收入最多,为85000元．
【点睛】本题主要考查函数的实际应用,需要根据题目条件分段列出关系式,再求解函数在每个区间段上的最大值分析即可.属于中等题型.
21. 我们知道，，当且仅当时等号成立.即a，b的算术平均数的平方不大于a，b平方的算术平均数.
此结论可以推广到三元，即，当且仅当时等号成立.
（1）证明：，当且仅当时等号成立.
（2）已知.若不等式恒成立，利用（1）中的不等式，求实数的最小值.
【答案】21. 证明见解析
22.
【解析】
【分析】（1）运用作差法比较并配方后即得；
（2）将题中的相关量整体替换入（1）中的不等式并化简， 再运用参变分离法即可求得.
【小问1详解】
故，当且仅当时等号成立.
【小问2详解】
当时，由（1）中的不等式得，，
所以，即，
当且仅当时等号成立.因此的最大值为.
由恒成立可得：，因的最大值为，
故有：即实数的最小值为.
22. 已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）已知的定义域为.若方程有唯一实根，求实数k的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用换元法以及，即可求解的解析式；
（2）根据，的定义域得出，结合函数的解析式将方程化为，利用换元法得，讨论的值，结合二次函数的性质即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）令，则，，
又，解得，
所以
（2）因为的定义域为，，解得，的定义域为.
，即在恒成立，
在单调递减，当时，最大值为1，.
又，，
化简得，
令，则在有唯一实数根，
令，
当时，令，得，即，得符合题意，所以；
当时，，所以只需，解得，因为，所以此时无解；
综上，实数k的取值范围是.
【点睛】方法点睛：本题考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数图象，利用数形结合的方法求解每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3