2020-2021学年北京延庆区初三上学期数学期中试卷及答案

这是一份2020-2021学年北京延庆区初三上学期数学期中试卷及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线x=3B. 直线x=-3C. 直线x=1D. 直线x=-1
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式，对称轴为直线，得出即可．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是要注意抛物线的对称轴是直线．
2. 已知2x=3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例的性质求解即可
【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意；
B．因为，所以，故B不符合题意；
C．因为，所以，故C符合题意；
D．因为，所以，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
3. 函数的图象如图所示，则该函数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据函数的图象顶点坐标求出该函数的最小值即可．
【详解】解：观察图象得：此函数的顶点坐标为（1，-1），
∵此抛物线开口向上，
∴此函数有最小值，最小值为-1；
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合的思想求解．
4. 如图，中，点，分别在，上，，若，，则与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，易得，利用相似三角形的性质，即可．
【详解】，
，，
，
，
，
，
．
故选择：D．
【点睛】本题考查相似三角形的面积比问题，关键是掌握相似三角形的判定方法，会用方法证明两个三角形相似，掌握相似三角形的性质，会利用性质解决对应线段比、周长比，面积比等问题．
5. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】把抛物线向左平移2个单位长度，所得直线解析式为：；再向下平移1个单位为：即，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∵AC=3，AB=6，∴AD=．故选A．
考点：相似三角形判定与性质．
7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意由图可知，抛物线开口向下；与y轴的交于正半轴，；与x轴有两个交点；将x=1代入函数解析式可知，对应的y值；
【详解】、如图，抛物线开口向下，所以，本选项结论正确；
、由图象知道当时，，即，故本选项结论错误；
、抛物线交轴的正半轴，所以，本选项结论正确；
、抛物线与轴有两个交点，所以，故本选项结论正确；
故选：；
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，关键在数形结合的方法理解二次函数与系数的关系；
8. 已知是抛物线上的点，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
A、若，则，故本选项错误，不符合题意；
B、当时，若，则，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，若，则，故本选项错误，不符合题意；
D、若，则，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题 （共8个小题，每题2分，共16分）
9. 请写出一个开口向上，且经过点（0，－1）的二次函数的表达式：___________．（只需写出一个符合题意的函数表达式即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意，写出二次项系数为负，且满足当时，的二次函数表达式即可求解．
【详解】解：依题意，写出一个开口向上，且经过点（0，－1）的二次函数的表达式：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
10. 如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，连接BD，请你再添加一个条件_____，使得△ABD∽△ACB．
【答案】∠ABD=∠C（答案不唯一）
【解析】
【分析】两角分别相等的两个三角形相似，已知一个角相等，再添加一个角相等即可
【详解】∵在△ACB和△ABD中，∠BAD=∠CAB，
∴若∠ABD=∠C即可证明△ABD∽△ACB，
故答案为：∠ABD=∠C（答案不唯一）．
【点睛】本题考查相似三角形的判断，解题的关键是熟练掌握两角分别相等的两个三角形相似．
11. 将二次函数化成的形式：____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
12. 根据右面的两个三角形中所给的条件计算，那么的值是____________．
【答案】3
【解析】
【分析】通过计算三角形内角得到两三角形相似，由角去确定对应边，再根据对应边成比例列式计算即可．
【详解】解：计算两三角形内角都为：
∴两三角形相似
∴
解得：y=3
故答案为：3
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，由对应角去确定对应边是解题关键．
13. 抛物线y＝x2﹣bx+1与x轴只有一个交点，那么b＝_____．
【答案】±2
【解析】
【分析】根据二次函数y＝x2﹣bx+1的图象与x轴只有一个公共点，可知y＝0时，方程x2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根，从而可以求得b的值．
【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣bx+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴y＝0时，方程y＝x2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根．
∴△＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0．
解得，b＝±2，
故答案是：±2．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确二次函数的图象与x轴只有一个公共点就是y=0时，方程有两个相等的实数根．
14. 如图，小吴为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是1米和10米．已知小吴的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为_____米．
【答案】16
【解析】
【分析】设楼房高度为x米，根据同时同地的物高与影长成正比例列式求解即可．
【详解】解：设楼房高度为x米，
由题意得，，
解得x＝16．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了平行投影，利用同时同地的物高与影长成正比例列出比例式是解题的关键．
15. 抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为x＝-1，当时，则x的取值范围是________．
【答案】x＞1或x<-3
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y<0时，x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴一个交点坐标为（-3，0），对称轴为x＝-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当y>0时，x的取值范围是x＞1或x<-3．
故答案为：x＞1或x<-3
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．
16. 如图，正方形OABC的顶点B恰好在函数的图象上，若正方形OABC的边长为，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15°，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】作BD⊥x轴，连接OB，根据正方形性质可知OA=OB，∠A=90°可得∠BOD=60°，再由勾股定理即可得，将点B代入即可求解；
【详解】解：作BD⊥x轴，连接OB，
根据正方形性质可知OA=AB，∠A=90°，
∴∠AOB=45°，
∵∠AOD=15°，
∴∠BOD=60°，
∵
∴，
∴，
将点B代入得，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键．
三、解答题 （共68分）
17. 如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．求证：△AOB∽△DOC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用对顶角相等得到∠AOB=∠COD，再结合已知条件及相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】证明：∵AC，BD相交于的点O，
∴∠AOB＝∠DOC，
又∵∠ABO＝∠C，
∴△AOB∽△DOC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：若一对三角形的两组对应角相等，则这两个三角形相似，由此即可求解．
18. 已知：二次函数y＝x2﹣1．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）画出它的图象．
【答案】（1）抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．
（2）图像见解析．
【解析】
【分析】（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；
（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．
【小问1详解】
解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
【小问2详解】
解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．
解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；
令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；
又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点，
将上述点列表如下：
描点可画出其图象如图所示：
【点睛】本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．
19. 已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）求此抛物线与x轴的交点坐标．
【答案】（1）
（2）此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）
【解析】
【分析】（1）设顶点式，然后把（-2,5）代入求出a，即可得到抛物线解析式．
（2）将（1）中的y=0,解出一元二次方程的根即可．
【小问1详解】
解：设二次函数表达式为
∵ 图像经过（-2，5）
∴ 5=
∴
【小问2详解】
解：令y=0，即=0
解得：x=3或x=-1
故此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定条件，选择恰当的方法设出解析式，也考查了二次函数的性质．
20. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．请写出一对相似三角形，并证明．
【答案】△BEC∽△ADC（答案不唯一），见解析
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可得∠ADC=∠BEC=90°，再由∠C=∠C，可证得△BEC∽△ADC．
【详解】解：△BEC∽△ADC．证明如下：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°
又∵BE⊥AC
∴∠BEC=90°
∴∠ADC=∠BEC=90°
又∵∠C=∠C
∴△BEC∽△ADC
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
21. 在二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式及m的值；
（2）利用所给的网格，建立平面直角坐标系，画出该函数图像；（不用列表）；
（3）观察函数图像，当时，求的取值范围．
【答案】（1）;
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据表中点的坐标特征可设二次函数的解析式为，再把（2，-1）代入即可求得a的值；再把x=4代入求出的解析式可求出m
（2）用表格中点的坐标在平面直角坐标系中描点，再用光滑曲线连接即可
（3）通过图像结合直接求得的范围
【小问1详解】
解：可设二次函数的解析式为
∵点（2，-1）在函数图像上
∴
解得：
故二次函数解析式为
把（4，m）代入得
【小问2详解】
解：图像如下图所示
【小问3详解】
解：由（2）图像知，当时，
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，要根据表中点的坐标特征，灵活设二次函数解析式，再由图像求y的取值范围，数形结合是解题关键．
22. 已知二次函数的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于的一元二次方程的解为 ；
（2）求此抛物线的解析式．
（3）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）先由二次函数的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标，二次函数与x轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解；
（2）利用（1）求出二次函数与x轴的两个交点坐标，利用交点式即可得到答案；
（3）联立得，二次函数与直线没有交点，即一元二次方程没有实数根，然后利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：（1）由函数图像可得，二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
∴一元二次方程的解为，，
故答案为：，；
（2）∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0），
∴抛物线的解析式为；
（3）联立得，
∵二次函数与直线没有交点，
∴一元二次方程没有实数根，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，求二次函数解析式，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系．
23. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，∠EAB=∠EBC．
（1）求证：△ABE∽△BEC；
（2）若BE=2，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到∠CEB=∠ABE，根据AA可证得△ABE∽△BEC，即可；
（2）根据相似三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴
∴∠CEB=∠ABE
又∵∠EAB=∠EBC
∴△ABE∽△BEC
【小问2详解】
解：∵ △ABE∽△BEC
∴，
∴
∵BE=2
∴=4
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
24. 如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE=CF，AB=4．
（1）设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；
（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．
【答案】（1）
（2）当时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积为8
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得BC=CD=AB=4，∠B=∠C=∠D=90°，BE=DF=4-x，从而得到，即可求解；
（2）把函数关系式化为顶点式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=4，∠B=∠C=∠D=90°，
∵CE=CF，CE=x，
∴CF=x，
∴BE=DF=4-x，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，
∴当时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积为8．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，正方形的性质，三角形的面积，正确求得函数的解析式是解题的关键．
25. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质，探究过程如下：
（1）写出自变量x的取值范围；
（2）画函数图象；
列表：下表是x与y的几组对应值，其中____________；
描点画图：利用所给的网格，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；
（3）通过观察图象，写出该函数的两条性质：
①____________；
②____________．
【答案】（1）；（2）；见解析；（3）①当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，②无论x取何值，函数值恒大于0
【解析】
【分析】（1）根据分母不能为0，得出自变量的取值范围；
（2）代入求值即可；经历描点、连线形成图象；
（3）依据函数的增减性，函数值的大小等方面说明性质．
【详解】解：（1）自变量的取值范围为：；
（2）把代入得，；
该函数的图象如下：
（3）①当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
②无论x取何值，函数值恒大于0.
【点睛】本题考查反比例函数图象和性质，掌握函数图象的绘制方法是画出图象的关键，求出变量之间的对应值是画图象的前提．
26. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
【答案】水管长为2.25m．
【解析】
【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．
【详解】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0）求得：a＝．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y＝（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
令x＝0，则y＝＝2.25．
故水管长为2.25m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
27. 在平面直角坐标系xOy中， 过点（0，-3）且平行于x轴的直线， 与直线y=x-6交于点A， 点A关于直线x=1的对称点为B， 抛物线:经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C2:与线段AB恰有一个公共点．结合函数的图像，求a的取值范围．
【答案】（1）A（3，-3），B（-1，-3）
（2）y=x2-2x-6，顶点坐标（1，-7）
（3）
【解析】
【分析】（1）点A是直线y=-3与直线y=x-6的交点，构造方程组可确定点A的坐标，根据点B、A关于x=1对称，可确定点B坐标
（2）把点A、点B的坐标代入抛物线:，可确定抛物线的表达式及顶点坐标
（3）把A、B代入，求出a的值，确定a的取值范围
【小问1详解】
解：∵点A是直线y=-3与直线y=x-6的交点，
∴ x-6=-3，解得x=3
∴点A（3，-3）
∵点A点B关于直线x=1对称
∴ 点B（-1，-3）
【小问2详解】
∵抛物线:经过点A、B
∴，
解得：
∴函数表达式为：
∴该抛物线的顶点坐标为（1，-7）
【小问3详解】
如图，当过点A、B时为临界，
把点B（-1，-3）代入，得a=-3
把点A（3，-3）代入，得9a=-3,解得：a=,
∴ a的取值范围为
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法确定二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征等知识，运用数形结合的方法是解题关键．
28. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，点E为边AB上一点，连结DE，过点D作DE的垂线与直线AC交于点F，连结EF．求证：AF=BE．
探究过程：经过分析小明发现，△ADF≌△BED，然后根据全三角形的性质：全等三角形的对应边相等，可以得到AF=BE．
请你根据小明的探究过程解决以下问题：
（1）探索发现：如图2，若点E为边AB延长线上一点，其他条件不变，AF与BE还相等吗？请说明理由．
（2）类比迁移：如图3，在等边△ABC中，点D是BC的中点，点E为边AB上一点，连结DE，以DE为一边作∠EDF=60°，交直线AC于点F，且AE=2AF．请你依据题意补全图形，若AB=4，求AF的长．
【答案】（1）AF与BE相等，见解析
（2）AF长为
【解析】
【分析】（1）结论：AF与BE相等．证明△DAF≌△DEB ，可得结论．
（2）分两种情形；当点F在线段AC上时，当点F在线段CA的延长线上结合相似三角形的判定和性质，即可求解．
【小问1详解】
解：AF与BE相等，理由如下：
∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠CBA=45°，
∴∠CBE=135°；
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=DB，∠CAD=∠BAD=45°，
∴∠ADB=90°，∠DAF=135°，
∵DE⊥DF，
∴∠FDE=90°，
∴∠ADF=∠EDB，
又∵∠CBE=∠DAF=135°,
在△DAF和△DBE中
∴△DAF≌△DEB,
∴AF=BE;
【小问2详解】
解：分两种情况讨论:
①如图1：当点F在AC边上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=4，∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠BED+∠BDE=120°，
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=120°，
∴∠BED=∠CDF，
∵∠B=∠C=60°，
∴△CFD∽△BDE，
∴，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD=2，
∵AE=2AF．
∴，
∴，
此时，或（舍去）；
②如图2，当点F在AC边延长线上时，
∵等边三角形ABC，D为BC中点，
∴ DA⊥BC，CD=BD=2，∠B=∠C=60°，
∴∠FAD=150°，
∴∠F+∠ADF=30°，
∵∠FDE=60°，
∴∠BDE+∠ADF=30°，
∴∠F=∠BDE，
又∵ ∠B=∠C=60°，
∴△CFD∽△BDE，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述：AF长为．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
x
-2
-1
0
1
2
y＝x2﹣1
3
0
-1
0
3
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
-1
0
m
…
x
…
－3
－2
－1
1
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